MATH2010 複習路線

補充模擬卷B：曲線、座標與等號條件 · 完整分步詳解與評分

先用筆記回想方法，再在模擬卷中自行選擇方法，最後利用評分指引找出需要改善的步驟。開始計算前，先嘗試憑記憶解釋一個定義。正確的數值答案，應由清楚說明的幾何或分析理由推導出來。

模擬卷 A：6 題，100 分 · 解答與評分

1. 把幾何轉換成方程

在 $\mathbb R^3$ 中，一個平面需要法向量及平面上的一點。若已知線性獨立的方向 $u,v$，先求 $n=u\times v$，再寫成 $n\cdot(X-P)=0$。檢查所給的點是否滿足最終方程。法向量決定一條垂線；它與平面的交點就是投影點。這也能核對由點到平面距離公式計算所得的結果。

$$\begin{aligned} d(Q,\Pi)&=\frac{|n\cdot(Q-P)|}{\|n\|},\\ B&=Q-\frac{n\cdot(Q-P)}{\|n\|^2}n. \end{aligned}$$

距離公式與投影向量公式的分母不同。純量三重積的正負號記錄定向；求體積時應取絕對值。轉換坐標時，要先固定每個角度的定義及取值範圍。上半平面的點，其極角位於 $(0,\pi)$；只知道半徑的平方，並不足以決定點的位置。

公式中的 $Q$ 是要投影的點，$P$ 是平面上一個已知點，$B$ 是所得的垂足。位移 $Q-P$ 與法向量 $n$ 各有三個分量，兩者的內積是一個純量。將該純量除以法向量長度的平方，再乘以 $n$，便重新得到一個向量：這是位移中垂直於平面的部分。減去這部分，就得到 $B$。相比之下，距離是一個非負純量，因此其公式使用絕對值，分母則是法向量長度的一次方。Q1 會逐步完成兩項計算，並核對兩者是否一致。

重溫 1.1 向量與內積、1.2 平面與體積及 1.3 坐標。用 Q1 與 Q2(c) 檢查掌握程度。

2. 先描述集合，再檢查函數

對一點 $a$，以下所說的開球都以 $a$ 為中心。內點的意思是，存在一個完全留在集合內的開球。閉包中的點則滿足：每個開球都碰到集合。邊界點的每個開球，則同時碰到集合及其補集。畫出輪廓有助理解，但究竟哪些點屬於原集合、哪些點只屬於閉包，仍須由不等式決定。

$$\partial S=\overline S\setminus\operatorname{Int}S.$$

由多個不等式描述的集合，可能有多塊不同的邊界。半圓環既有圓弧，也有坐標軸上的直線段，端點同樣要檢查。要證明集合不是閉集，可指出一個缺少的極限點，並給出集合內趨近該點的點列或路徑。要證明集合不是開集，則可找出一個無法被集合內開球包圍的集合成員。

開球的檢查在周圍整個平面中進行。如果先把每個測試用的開球與原集合相交，就會失去那些用來揭示邊界的集合外點。洞內的點可能是外點，而非邊界點：它可以有一個完全不碰到原集合的小開球。Q2 就利用這一點，精確判斷坐標軸上哪些部分才屬於邊界。

要證明道路連通，須在任意兩點之間構造連續路徑，並核對整條路徑都留在集合內。即使集合道路連通，直線段仍可能穿過中間的洞。笛卡兒坐標的線性插值不適用時，極坐標插值可能有效。

重溫 2.1 定義域與點集。用 Q2(a–b) 檢查掌握程度。

3. 分清否定極限的證據與證明極限的方法

兩種逼近方式若得到不同的極限值，就能否定聯合極限。很多種逼近方式都得到同一數值，仍未構成證明。即使所有直線的結果都相同，也還有曲線逼近方式未被檢查。累次極限回答的是另一個問題：暫時固定一個坐標，讓另一個坐標先取極限。

要證明聯合極限，可尋找只依賴於目標距離的估計。記 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，假設只要 $0<r<r_0$，便有 $|F(x,y)-L|\le Cr^\alpha$，其中 $C>0$、$\alpha>0$ 及 $r_0>0$。明確的 epsilon–delta 選取方式是：

$$\delta=\min\{r_0,(\varepsilon/C)^{1/\alpha}\}.$$

這個選擇來自對誤差要求的求解。先指定容許的輸出誤差 $\varepsilon$。要令 $Cr^\alpha<\varepsilon$，便要求 $r<(\varepsilon/C)^{1/\alpha}$。但估計本身只在 $r<r_0$ 時有效，因此兩項限制要同時成立；取兩個半徑中較小的一個即可。各常數必須與逼近方向無關。若對每條直線各自選一個依賴斜率的半徑，便不能把所有鄰近點一起控制。

估計必須對定義域內所有充分接近目標的點成立。使用極坐標計算時，角度因子的上界必須對所有角度統一適用。要在缺少的點補上函數值以得到連續延拓，先要證明聯合極限存在；之後延拓值便由該極限唯一決定。

尋找反例時，可比較分母各項的大小。在 Q3 中，令分母兩項大小相等，就能找出一條曲線，使分子也具有相同量級。這提供了選擇路徑的理由，而不只是逐條猜測。兩個累次極限相等是較弱的證據，因為每個累次極限在內層取極限時，都固定了另一個坐標。

重溫 2.2 點列與多元極限，以及 2.3 連續性中連續延拓的部分。用 Q3 檢查掌握程度。

4. 分清各類導數及其假設

偏導數把其他坐標固定。梯度把一點處的各偏導數收集起來。可微性則要求：存在同一個線性映射，能預測所有充分小的增量，而誤差相對於增量長度足夠小：

$$\begin{aligned} f(a+h)&=f(a)+A h+E(h),\\ \frac{|E(h)|}{\|h\|}&\longrightarrow0. \end{aligned}$$

純量函數可微時，有 $A h=\nabla f(a)\cdot h$。仿射線性近似包括常數項 $f(a)$；導數映射本身則把零映至零。開鄰域內的一階偏導數連續，提供了一個方便的可微性充分條件。只有該點的偏導數存在，是弱得多的資訊。

此處 $a$ 是基準輸入，$h$ 是輸入位移，$E(h)$ 是輸出誤差。對有兩個輸入坐標的純量函數，$A:\mathbb R^2\to\mathbb R$ 把兩個位移分量組合成一個預測的純量變化，可寫成包含兩個係數的一行。輸入長度是 $\|h\|$，而 $A h$ 與 $E(h)$ 都是輸出量。條件要求誤差相對於該輸入長度變得可忽略。只有誤差趨於零仍太弱。Q5 先求出精確誤差，再驗證這個更強的比值條件。

計算混合偏導數時，要依指定次序求導。在開鄰域內屬於 $C^2$ 的函數，其混合二階偏導數在該處相等。只在一點算得相等數值，並不等於已核對上述假設。尋找開鄰域時，要保留對數及分母對定義域的限制。

充分條件提供了一條證明路線。未能驗證偏導數連續，本身不構成不可微的證明；應回到定義，或尋找其他充分論證。要否定可微性，只要唯一可能的線性近似在一條路徑上失效，就已足夠。相反，要用定義證明可微性，就必須對所有鄰近增量控制除以增量長度後的誤差。

重溫 3.1 偏導數與混合偏導數及 3.2 可微性與線性近似。用 Q4 及 Q5 檢查掌握程度。Q5 利用有理化求得精確餘項，因此可以直接建立誤差估計。

5. 選擇方向並檢查尺度

對可微的純量函數，以及單位向量 $u$，有

$$D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u.$$

此公式是把線性近似用於位移 $h=su$ 而得。由可微性，有 $f(a+su)-f(a)=s\nabla f(a)\cdot u+E(su)$。除以非零純量 $s$，便得到方向差商。由於 $\|u\|=1$，所以 $\|su\|=|s|$，從而 $|E(su)/s|=|E(su)|/\|su\|\to0$。因此，差商的極限就是上式的內積。若沒有可微性中的餘項條件，該誤差項便尚未受控制，這項推導也就不能成立。Q6(c) 說明，過早把偏導數代入此公式，可能得到錯誤答案。

若題目給出非零方向向量 $v$，求每單位距離的變化率時，應使用 $u=v/\|v\|$。直接與 $v$ 作內積，對應的是參數速度為 $v$ 的運動，會把速率計算在內。Cauchy–Schwarz 不等式可找出極端變化率。梯度非零時，增加與減少最快的單位方向，分別是單位化的梯度及其相反向量。梯度為零時，所有單位方向的變化率均為零。

單位長度的限制，讓比較使用同一段移動距離。否則，只要在增加的方向加快移動，便可使變化率任意增大。梯度為零，表示該點所有一階方向變化率都消失，卻不表示鄰近的函數值保持不變。

所有方向導數可能都存在，而函數仍不可微。檢查反例時，先求坐標偏導數，再測試另一個方向，並與這些偏導數所迫使的線性映射比較。另一種方法，是沿精心選取的路徑檢查除以增量長度後的餘項。

使用 3.3 方向導數中單位方向導數及最快變化方向的內容。用 Q6 檢查掌握程度。

按所求結論選擇方法

這些是不同的邏輯任務。Q3(d) 及 Q6(c) 要求糾正一項推論，因此只給數值輸出並未完成作答。應指出哪一個推論方向失效，再補上欠缺或與之矛盾的證據。

作答、評分、修正

修正一個小題後，解釋一種看似可行的錯誤方法為何失效。這是最後一步，用來檢查你是否能把方法運用到新問題。