MATH2010 模擬卷 A — 解答與評分
按有理據的數學步驟給分。等價而正確的方法應獲相同分數。同一小題內，若前面的算術失誤被一致地沿用，後續正確的推理仍可得分。
題卷 · 複習路線
Q1. 平面、投影與體積 — 16 分
題目給出的兩個方向都是三維空間中的向量。從 P P P
(a) [6] 計算叉積得
u × v = ( 2 ⋅ 1 − 0 ⋅ ( − 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 , 1 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 2 ) . u\times v=(2\cdot1-0\cdot(-1),\ 0\cdot2-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-2\cdot2). u × v = ( 2 ⋅ 1 − 0 ⋅ ( − 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 , 1 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 2 ) . n = u × v = ( 2 , − 1 , − 5 ) , ∥ n ∥ 2 = 30. n=u\times v=(2,-1,-5),\qquad \|n\|^2=30. n = u × v = ( 2 , − 1 , − 5 ) , ∥ n ∥ 2 = 30. 可核對 n ⋅ u = 2 − 2 + 0 = 0 n\cdot u=2-2+0=0 n ⋅ u = 2 − 2 + 0 = 0 n ⋅ v = 4 + 1 − 5 = 0 n\cdot v=4+1-5=0 n ⋅ v = 4 + 1 − 5 = 0 X = ( x , y , z ) X=(x,y,z) X = ( x , y , z ) P P P X X X n ⋅ ( ( x , y , z ) − P ) = 0 n\cdot((x,y,z)-P)=0 n ⋅ (( x , y , z ) − P ) = 0
2 ( x − 1 ) − ( y + 1 ) − 5 ( z − 2 ) = 0 , 2 x − y − 5 z + 7 = 0. 2(x-1)-(y+1)-5(z-2)=0,
\qquad 2x-y-5z+7=0. 2 ( x − 1 ) − ( y + 1 ) − 5 ( z − 2 ) = 0 , 2 x − y − 5 z + 7 = 0. 評分：叉積 3 分；點法式方程 2 分；化簡後一致的方程 1 分。取相反的法向量會得到同一平面。
(b) [6] 將平面方程左側的純量表達式記作 N ( x , y , z ) = 2 x − y − 5 z + 7 N(x,y,z)=2x-y-5z+7 N ( x , y , z ) = 2 x − y − 5 z + 7 n n n N N N N ( O ) = 7 N(O)=7 N ( O ) = 7 O O O
∣ N ( O ) ∣ ∥ n ∥ = 7 30 . \frac{|N(O)|}{\|n\|}=\frac7{\sqrt{30}}. ∥ n ∥ ∣ N ( O ) ∣ = 30 7 . 要找垂足而不只是距離，可利用通過 O O O X = λ n = ( 2 λ , − λ , − 5 λ ) X=\lambda n=(2\lambda,-\lambda,-5\lambda) X = λn = ( 2 λ , − λ , − 5 λ )
2 ( 2 λ ) − ( − λ ) − 5 ( − 5 λ ) + 7 = ( 4 + 1 + 25 ) λ + 7 = 30 λ + 7 = 0. 2(2\lambda)-(-\lambda)-5(-5\lambda)+7
=(4+1+25)\lambda+7=30\lambda+7=0. 2 ( 2 λ ) − ( − λ ) − 5 ( − 5 λ ) + 7 = ( 4 + 1 + 25 ) λ + 7 = 30 λ + 7 = 0. 因此 λ = − 7 / 30 \lambda=-7/30 λ = − 7/30
B = − 7 30 ( 2 , − 1 , − 5 ) = ( − 7 15 , 7 30 , 7 6 ) . B=-\frac7{30}(2,-1,-5)
=\left(-\frac7{15},\frac7{30},\frac76\right). B = − 30 7 ( 2 , − 1 , − 5 ) = ( − 15 7 , 30 7 , 6 7 ) . 代入可核對 N ( B ) = ( − 28 − 7 − 175 + 210 ) / 30 = 0 N(B)=(-28-7-175+210)/30=0 N ( B ) = ( − 28 − 7 − 175 + 210 ) /30 = 0 O B ∥ n OB\parallel n OB ∥ n λ \lambda λ n n n ∣ λ ∣ ∥ n ∥ = 7 / 30 |\lambda|\|n\|=7/\sqrt{30} ∣ λ ∣∥ n ∥ = 7/ 30
(c) [4] 純量三重積為
( u × v ) ⋅ w = ( 2 , − 1 , − 5 ) ⋅ ( 0 , 1 , 1 ) = − 6. (u\times v)\cdot w=(2,-1,-5)\cdot(0,1,1)=-6. ( u × v ) ⋅ w = ( 2 , − 1 , − 5 ) ⋅ ( 0 , 1 , 1 ) = − 6. 此處平行四邊形底面的面積為 ∥ u × v ∥ = 30 \|u\times v\|=\sqrt{30} ∥ u × v ∥ = 30 w w w 6 / 30 6/\sqrt{30} 6/ 30 6 6 6
若本題較吃力，可重溫向量與投影 及平面與體積 。
Q2. 集合及其邊界 — 16 分
先把不等式轉成幾何圖像：半徑平方的限制表示半徑由 1 1 1 2 2 2 y > 0 y>0 y > 0
(a) [8] 將不等式改為嚴格不等式便得到內部；補回缺少的水平邊緣便得到閉包：
Int S = { 1 < x 2 + y 2 < 4 , y > 0 } , S ‾ = { 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 } . \operatorname{Int}S=\{1<x^2+y^2<4,\ y>0\},
\qquad
\overline S=\{1\le x^2+y^2\le4,\ y\ge0\}. Int S = { 1 < x 2 + y 2 < 4 , y > 0 } , S = { 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 } . 邊界為
∂ S = { x 2 + y 2 ∈ { 1 , 4 } , y ≥ 0 } ∪ { ( x , 0 ) : 1 ≤ ∣ x ∣ ≤ 2 } . \partial S=
\{x^2+y^2\in\{1,4\},\ y\ge0\}
\ \cup\,
\{(x,0):1\le |x|\le2\}. ∂ S = { x 2 + y 2 ∈ { 1 , 4 } , y ≥ 0 } ∪ {( x , 0 ) : 1 ≤ ∣ x ∣ ≤ 2 } . 對內部而言，嚴格的徑向及垂直不等式留下了空間，讓點沿每一個方向稍作移動後仍留在 S S S
對閉包而言，把嚴格的垂直不等式改為非嚴格不等式，恰好補上缺少的水平邊緣。對每個新增點，保持半徑不變，讓上半平面的角度趨近 0 0 0 π \pi π S S S
邊界等於閉包扣除內部：兩條上半圓弧加上兩條坐標軸線段。由 − 1 -1 − 1 1 1 1 S S S 1 / 2 1/2 1/2 S S S 1 1 1 2 2 2 S S S
(b) [6] S S S 不是開集 ：( 0 , 1 ) ∈ S (0,1)\in S ( 0 , 1 ) ∈ S 1 1 1 不是閉集 ：點列 ( 1 , 1 / k ) (1,1/k) ( 1 , 1/ k ) k k k S S S ( 1 , 0 ) ∉ S (1,0)\notin S ( 1 , 0 ) ∈ / S 有界 ，因為 ∥ ( x , y ) ∥ ≤ 2 \|(x,y)\|\le2 ∥ ( x , y ) ∥ ≤ 2 3 3 3
為證道路連通，將任意兩點寫成上半平面內唯一的極坐標形式 ( r 0 , θ 0 ) , ( r 1 , θ 1 ) (r_0,\theta_0),(r_1,\theta_1) ( r 0 , θ 0 ) , ( r 1 , θ 1 ) 1 ≤ r i ≤ 2 1\le r_i\le2 1 ≤ r i ≤ 2 0 < θ i < π 0<\theta_i<\pi 0 < θ i < π 0 ≤ s ≤ 1 0\le s\le1 0 ≤ s ≤ 1
r ( s ) = ( 1 − s ) r 0 + s r 1 , θ ( s ) = ( 1 − s ) θ 0 + s θ 1 , γ ( s ) = ( r ( s ) cos θ ( s ) , r ( s ) sin θ ( s ) ) . r(s)=(1-s)r_0+sr_1,\qquad
\theta(s)=(1-s)\theta_0+s\theta_1,
\qquad
\gamma(s)=(r(s)\cos\theta(s),r(s)\sin\theta(s)). r ( s ) = ( 1 − s ) r 0 + s r 1 , θ ( s ) = ( 1 − s ) θ 0 + s θ 1 , γ ( s ) = ( r ( s ) cos θ ( s ) , r ( s ) sin θ ( s )) . 半徑是 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] 0 0 0 π \pi π
直線段是另一種構造，未必適用：半圓環兩側之間的線段可能穿過中間的洞。所選的極坐標路徑在改變半徑與角度的同時，全程維持集合的限制。評分：開集與閉集的判斷及反例點 2 分；有界性 1 分；正確的路徑及其包含關係 3 分。
(c) [2] 該點為
( 3 2 cos 2 π 3 , 3 2 sin 2 π 3 ) = ( − 3 4 , 3 3 4 ) . \left(\frac32\cos\frac{2\pi}3,\frac32\sin\frac{2\pi}3\right)
=\left(-\frac34,\frac{3\sqrt3}4\right). ( 2 3 cos 3 2 π , 2 3 sin 3 2 π ) = ( − 4 3 , 4 3 3 ) . 餘弦值為 − 1 / 2 -1/2 − 1/2 3 / 2 \sqrt3/2 3 /2 9 / 16 + 27 / 16 = 9 / 4 9/16+27/16=9/4 9/16 + 27/16 = 9/4 1 1 1 4 4 4 S S S
重溫點集與邊界判斷 及坐標轉換 。
Q3. 哪些逼近方法能證明極限？ — 18 分
第一個目標是控制每一個鄰近點，而不是收集沿若干路徑都成功的例子。對第二個函數，只要找到一條給出不同結果的路徑，就足以否定極限。分清這兩個目標，才能決定應尋找哪一種方法。
(a) [6] 展開非負平方 ( x 2 − y 2 ) 2 ≥ 0 (x^2-y^2)^2\ge0 ( x 2 − y 2 ) 2 ≥ 0 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ≥ 0 x^4-2x^2y^2+y^4\ge0 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ≥ 0 4 x 2 y 2 4x^2y^2 4 x 2 y 2 4 x 2 y 2 ≤ ( x 2 + y 2 ) 2 4x^2y^2\le(x^2+y^2)^2 4 x 2 y 2 ≤ ( x 2 + y 2 ) 2 r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2
0 ≤ F ( x , y ) ≤ x 2 + y 2 4 = r 2 4 ⟶ 0. 0\le F(x,y)\le\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{r^2}{4}\longrightarrow0. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 4 x 2 + y 2 = 4 r 2 ⟶ 0. 對 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ = 2 ε \delta=2\sqrt\varepsilon δ = 2 ε 0 < r < δ 0<r<\delta 0 < r < δ r 2 / 4 < δ 2 / 4 = ε r^2/4<\delta^2/4=\varepsilon r 2 /4 < δ 2 /4 = ε ∣ F ( x , y ) − F ( 0 , 0 ) ∣ < ε |F(x,y)-F(0,0)|<\varepsilon ∣ F ( x , y ) − F ( 0 , 0 ) ∣ < ε 0.01 0.01 0.01 0.2 0.2 0.2 δ \delta δ
(b) [4] 沿 y = m x y=mx y = m x m ≠ 1 m\ne1 m = 1
G ( x , m x ) = ( m − 1 ) x 3 x 4 + ( m − 1 ) 2 x 2 = ( m − 1 ) x x 2 + ( m − 1 ) 2 ( x ≠ 0 ) . G(x,mx)=\frac{(m-1)x^3}{x^4+(m-1)^2x^2}
=\frac{(m-1)x}{x^2+(m-1)^2}\quad(x\ne0). G ( x , m x ) = x 4 + ( m − 1 ) 2 x 2 ( m − 1 ) x 3 = x 2 + ( m − 1 ) 2 ( m − 1 ) x ( x = 0 ) . G ( x , m x ) = ( m − 1 ) x x 2 + ( m − 1 ) 2 ⟶ 0. G(x,mx)=\frac{(m-1)x}{x^2+(m-1)^2}\longrightarrow0. G ( x , m x ) = x 2 + ( m − 1 ) 2 ( m − 1 ) x ⟶ 0. 取極限期間，斜率固定，因此分母趨近正數 ( m − 1 ) 2 (m-1)^2 ( m − 1 ) 2 m = 1 m=1 m = 1 x 4 > 0 x^4>0 x 4 > 0 x = 0 x=0 x = 0 y 2 > 0 y^2>0 y 2 > 0
(c) [4] 要找一條有用的曲線，可先比較分母中的 x 4 x^4 x 4 ( y − x ) 2 (y-x)^2 ( y − x ) 2 y − x = x 2 y-x=x^2 y − x = x 2 y = x + x 2 y=x+x^2 y = x + x 2 x ≠ 0 x\ne0 x = 0
G ( x , x + x 2 ) = x 4 x 4 + x 4 = 1 2 . G(x,x+x^2)=\frac{x^4}{x^4+x^4}=\frac12. G ( x , x + x 2 ) = x 4 + x 4 x 4 = 2 1 . 這與沿直線 y = x y=x y = x y / x = 1 + x y/x=1+x y / x = 1 + x
(d) [4] 固定 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0
lim y → 0 G ( x , y ) = G ( x , 0 ) = − x 1 + x 2 . \lim_{y\to0}G(x,y)=G(x,0)=-\frac{x}{1+x^2}. y → 0 lim G ( x , y ) = G ( x , 0 ) = − 1 + x 2 x . 第一步中，分母趨近 x 4 + x 2 > 0 x^4+x^2>0 x 4 + x 2 > 0 y = 0 y=0 y = 0 x → 0 x\to0 x → 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x → 0 x\to0 x → 0 y 2 > 0 y^2>0 y 2 > 0 lim x → 0 G ( x , y ) = 0 \lim_{x\to0}G(x,y)=0 lim x → 0 G ( x , y ) = 0
每個累次取極限的程序，都是在另一個坐標固定時，先完成其中一個坐標的極限。它沒有測試兩個坐標沿曲線同時變動的情形。因此，兩個累次極限相等，並不能證明聯合極限存在；(c) 正好是這項錯誤推論的明確反例。真正的聯合極限證明，需要例如 (a) 中的統一估計等條件。評分：兩個累次極限各 1 分；正確解釋邏輯關係 2 分。
重溫統一估計與路徑 及連續延拓 。
Q4. 對正確的變量求導 — 16 分
輸入包含兩個實坐標，輸出則是一個實數。每個偏導數，都是沿一個坐標方向的純量變化率。梯度把這兩個變化率收集成向量；混合偏導數則是再對其中一個變化率函數求一次純量導數。
(a) [6] 對 x x x y y y x y xy x y y y y log ( 1 + y ) \log(1+y) log ( 1 + y ) y y y x x x log ( 1 + y ) \log(1+y) log ( 1 + y ) 1 / ( 1 + y ) 1/(1+y) 1/ ( 1 + y )
H x = y e x y + 2 x log ( 1 + y ) , H y = x e x y + x 2 1 + y , ∇ H ( 1 , 0 ) = ( 0 , 2 ) . H_x=ye^{xy}+2x\log(1+y),\qquad
H_y=xe^{xy}+\frac{x^2}{1+y},\qquad
\nabla H(1,0)=(0,2). H x = y e x y + 2 x log ( 1 + y ) , H y = x e x y + 1 + y x 2 , ∇ H ( 1 , 0 ) = ( 0 , 2 ) . 代入指定點時，x y = 0 xy=0 x y = 0 e 0 = 1 e^0=1 e 0 = 1 log 1 = 0 \log1=0 log 1 = 0 1 + y = 1 1+y=1 1 + y = 1 H x ( 1 , 0 ) = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 H_x(1,0)=0\cdot1+2\cdot1\cdot0=0 H x ( 1 , 0 ) = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 H y ( 1 , 0 ) = 1 ⋅ 1 + 1 2 / 1 = 2 H_y(1,0)=1\cdot1+1^2/1=2 H y ( 1 , 0 ) = 1 ⋅ 1 + 1 2 /1 = 2 x = 1 x=1 x = 1 H ( 1 , y ) = e y + log ( 1 + y ) H(1,y)=e^y+\log(1+y) H ( 1 , y ) = e y + log ( 1 + y ) e 0 + 1 / ( 1 + 0 ) = 2 e^0+1/(1+0)=2 e 0 + 1/ ( 1 + 0 ) = 2 H ( 1 , 0 ) = 1 H(1,0)=1 H ( 1 , 0 ) = 1
(b) [6] 此處 H x y H_{xy} H x y H x H_x H x y y y y e x y ye^{xy} y e x y
∂ y ( y e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ y ( 2 x log ( 1 + y ) ) = 2 x 1 + y . \partial_y(ye^{xy})=e^{xy}+xye^{xy},\qquad
\partial_y(2x\log(1+y))=\frac{2x}{1+y}. ∂ y ( y e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ y ( 2 x log ( 1 + y )) = 1 + y 2 x . 至於 H y x H_{yx} H y x H y H_y H y x x x
∂ x ( x e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ x ( x 2 1 + y ) = 2 x 1 + y . \partial_x(xe^{xy})=e^{xy}+xye^{xy},\qquad
\partial_x\!\left(\frac{x^2}{1+y}\right)=\frac{2x}{1+y}. ∂ x ( x e x y ) = e x y + x y e x y , ∂ x ( 1 + y x 2 ) = 1 + y 2 x . 所以兩次計算分別得到
H x y = e x y ( 1 + x y ) + 2 x 1 + y , H y x = e x y ( 1 + x y ) + 2 x 1 + y . H_{xy}=e^{xy}(1+xy)+\frac{2x}{1+y},\qquad
H_{yx}=e^{xy}(1+xy)+\frac{2x}{1+y}. H x y = e x y ( 1 + x y ) + 1 + y 2 x , H y x = e x y ( 1 + x y ) + 1 + y 2 x . 在 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 1 ( 1 + 0 ) + 2 / 1 = 3 1(1+0)+2/1=3 1 ( 1 + 0 ) + 2/1 = 3
(c) [4] 一條充分條件定理是：若 H H H C 2 C^2 C 2
這裏 D D D 1 + y > 0 1+y>0 1 + y > 0 D D D H H H C ∞ C^\infty C ∞ D D D C 2 C^2 C 2 1 / 2 1/2 1/2 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) D D D y = − 1 y=-1 y = − 1
重溫偏導數與混合偏導數 。
Q5. 帶有誤差控制的線性近似 — 18 分
線性近似的目的，是在基點附近，用一個常數加上線性預測變化量，取代平方根的計算。增量有兩個坐標，而預測變化量及誤差各是一個實數。此處基點是原點，所以 ρ = x 2 + y 2 \rho=\sqrt{x^2+y^2} ρ = x 2 + y 2 t = x + 2 y t=x+2y t = x + 2 y
(a) [4] 由平方根的一元導數得
f x ( x , y ) = 1 2 9 + x + 2 y , f y ( x , y ) = 2 2 9 + x + 2 y . f_x(x,y)=\frac1{2\sqrt{9+x+2y}},\qquad
f_y(x,y)=\frac2{2\sqrt{9+x+2y}}. f x ( x , y ) = 2 9 + x + 2 y 1 , f y ( x , y ) = 2 9 + x + 2 y 2 . 第二個分子中的因子 2 2 2 x + 2 y x+2y x + 2 y y y y f = 3 f=3 f = 3 f x = 1 / 6 f_x=1/6 f x = 1/6 f y = 1 / 3 f_y=1/3 f y = 1/3
L ( x , y ) = 3 + x + 2 y 6 = 3 + t 6 . L(x,y)=3+\frac{x+2y}{6}=3+\frac t6. L ( x , y ) = 3 + 6 x + 2 y = 3 + 6 t . 常數 3 3 3 x / 6 + y / 3 x/6+y/3 x /6 + y /3 L L L
(b) [6] 先作有理化，再減去線性項：
9 + t − 3 = t 9 + t + 3 , \sqrt{9+t}-3=\frac{t}{\sqrt{9+t}+3}, 9 + t − 3 = 9 + t + 3 t , 因為乘以共軛式後，分子變成 ( 9 + t ) − 9 = t (9+t)-9=t ( 9 + t ) − 9 = t t / 6 t/6 t /6 3 − 9 + t 3-\sqrt{9+t} 3 − 9 + t
E = f − L = t 9 + t + 3 − t 6 = 6 t − t ( 9 + t + 3 ) 6 ( 9 + t + 3 ) = t ( 3 − 9 + t ) 6 ( 9 + t + 3 ) = − t 2 6 ( 9 + t + 3 ) 2 . \begin{aligned}
E&=f-L\\
&=\frac{t}{\sqrt{9+t}+3}-\frac t6\\
&=\frac{6t-t(\sqrt{9+t}+3)}{6(\sqrt{9+t}+3)}\\
&=\frac{t(3-\sqrt{9+t})}{6(\sqrt{9+t}+3)}\\
&=-\frac{t^2}{6(\sqrt{9+t}+3)^2}.
\end{aligned} E = f − L = 9 + t + 3 t − 6 t = 6 ( 9 + t + 3 ) 6 t − t ( 9 + t + 3 ) = 6 ( 9 + t + 3 ) t ( 3 − 9 + t ) = − 6 ( 9 + t + 3 ) 2 t 2 . 在所給定義域上，分母為正，而且推導不需要除以 t t t t = 0 t=0 t = 0 f ≤ L f\le L f ≤ L
(c) [4] 選取 ρ ≤ 1 \rho\le1 ρ ≤ 1 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ∣ t ∣ ≤ 5 ρ ≤ 5 < 9 |t|\le\sqrt5\rho\le\sqrt5<9 ∣ t ∣ ≤ 5 ρ ≤ 5 < 9 9 + t > 0 9+t>0 9 + t > 0 6 ⋅ 3 2 = 54 6\cdot3^2=54 6 ⋅ 3 2 = 54
t 2 = ( x + 2 y ) 2 ≤ ( 1 2 + 2 2 ) ( x 2 + y 2 ) = 5 ρ 2 . t^2=(x+2y)^2\le(1^2+2^2)(x^2+y^2)=5\rho^2. t 2 = ( x + 2 y ) 2 ≤ ( 1 2 + 2 2 ) ( x 2 + y 2 ) = 5 ρ 2 . 因此，對 0 < ρ ≤ 1 0<\rho\le1 0 < ρ ≤ 1
∣ E ∣ ≤ t 2 54 ≤ 5 ρ 2 54 , ∣ E ∣ ρ ≤ 5 ρ 54 ⟶ 0. |E|\le\frac{t^2}{54}\le\frac{5\rho^2}{54},
\qquad \frac{|E|}{\rho}\le\frac{5\rho}{54}\longrightarrow0. ∣ E ∣ ≤ 54 t 2 ≤ 54 5 ρ 2 , ρ ∣ E ∣ ≤ 54 5 ρ ⟶ 0. 這正是可微性的條件。估計說明，誤差最多為增量長度平方的某個常數倍；再除以增量長度，所得量便趨於零。只證明誤差趨於零，得到的只是較弱的事實。只除以 x x x x = 0 x=0 x = 0 54 54 54
(d) [4] 先代入實際增量：t = 0.06 + 2 ( − 0.015 ) = 0.03 t=0.06+2(-0.015)=0.03 t = 0.06 + 2 ( − 0.015 ) = 0.03 0.03 / 6 = 0.005 0.03/6=0.005 0.03/6 = 0.005 L = 3.005 L=3.005 L = 3.005 t > 0 t>0 t > 0 9 + t + 3 > 6 \sqrt{9+t}+3>6 9 + t + 3 > 6
0 < L − f < 0.03 2 216 = 1 240000 . 0<L-f<\frac{0.03^2}{216}=\frac1{240000}. 0 < L − f < 216 0.0 3 2 = 240000 1 . 這個上界來自 0.03 2 = 0.0009 0.03^2=0.0009 0.0 3 2 = 0.0009 0.0009 / 216 = 1 / 240000 0.0009/216=1/240000 0.0009/216 = 1/240000 3.005 − 1 / 240000 < f ( 0.06 , − 0.015 ) < 3.005 3.005-1/240000<f(0.06,-0.015)<3.005 3.005 − 1/240000 < f ( 0.06 , − 0.015 ) < 3.005 0.00000417 0.00000417 0.00000417
重溫可微性與線性近似 。
Q6. 方向、速率與可微性 — 16 分
此處輸入是三維空間中的位置，輸出則是純量。梯度的三個分量，是沿三個坐標方向的局部變化率。單位方向只指定朝向，不包含速率；題目給出的非單位向量，須先單位化，才能求每單位距離的變化率。
(a) [4] 多項式可微，而且
∇ g = ( 2 x + 2 y , 2 x + 6 y , 2 z − 2 ) , ∇ g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) . \nabla g=(2x+2y,2x+6y,2z-2),\qquad
\nabla g(A)=(0,-4,2). ∇ g = ( 2 x + 2 y , 2 x + 6 y , 2 z − 2 ) , ∇ g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) . 例如，混合項 2 x y 2xy 2 x y 2 y 2y 2 y 2 x 2x 2 x 2 − 2 = 0 2-2=0 2 − 2 = 0 2 − 6 = − 4 2-6=-4 2 − 6 = − 4 4 − 2 = 2 4-2=2 4 − 2 = 2 ∥ v ∥ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 3 \|v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3 ∥ v ∥ = 2 2 + ( − 1 ) 2 + 2 2 = 3 v / 3 v/3 v /3
D v / 3 g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) ⋅ ( 2 / 3 , − 1 / 3 , 2 / 3 ) = 8 3 . D_{v/3}g(A)=(0,-4,2)\cdot(2/3,-1/3,2/3)=\frac83. D v /3 g ( A ) = ( 0 , − 4 , 2 ) ⋅ ( 2/3 , − 1/3 , 2/3 ) = 3 8 . 內積逐項相加為 0 + 4 / 3 + 4 / 3 = 8 / 3 0+4/3+4/3=8/3 0 + 4/3 + 4/3 = 8/3 8 8 8 v v v
(b) [6] 限定單位方向，才能比較同一空間距離下的變化。若容許把速率乘以任意正數，正的方向變化率就能任意增大；在那個不同的問題下，便不會有有限的最快變化率。
梯度長度為 0 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 = 20 = 2 5 \sqrt{0^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 0 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 = 20 = 2 5 ∥ u ∥ = 1 \|u\|=1 ∥ u ∥ = 1 ∣ ∇ g ( A ) ⋅ u ∣ ≤ ∥ ∇ g ( A ) ∥ = 2 5 |\nabla g(A)\cdot u|\le\|\nabla g(A)\|=2\sqrt5 ∣∇ g ( A ) ⋅ u ∣ ≤ ∥∇ g ( A ) ∥ = 2 5
u + = ( 0 , − 2 5 , 1 5 ) , u − = − u + . u_+=\left(0,-\frac2{\sqrt5},\frac1{\sqrt5}\right),\qquad
u_-=-u_+. u + = ( 0 , − 5 2 , 5 1 ) , u − = − u + . 兩個向量的長度平方均為 4 / 5 + 1 / 5 = 1 4/5+1/5=1 4/5 + 1/5 = 1 2 5 2\sqrt5 2 5 − 2 5 -2\sqrt5 − 2 5 y y y z z z x x x x x x
(c) [6] 未證明可微性之前，不能直接使用梯度內積公式。因此，先從方向導數的定義出發。對單位向量 u = ( a , b ) u=(a,b) u = ( a , b ) s ≠ 0 s\ne0 s = 0 q ( s a , s b ) = s a 2 b / ( a 2 + 3 b 2 ) q(sa,sb)=s a^2b/(a^2+3b^2) q ( s a , s b ) = s a 2 b / ( a 2 + 3 b 2 )
q ( s a , s b ) − q ( 0 , 0 ) s = a 2 b a 2 + 3 b 2 . \frac{q(sa,sb)-q(0,0)}s=\frac{a^2b}{a^2+3b^2}. s q ( s a , s b ) − q ( 0 , 0 ) = a 2 + 3 b 2 a 2 b . 由於 u u u s s s a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0 ∇ q ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) \nabla q(0,0)=(0,0) ∇ q ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) u = ( 1 , 1 ) / 2 u=(1,1)/\sqrt2 u = ( 1 , 1 ) / 2 1 / ( 2 2 ) 1/(2\sqrt2) 1/ ( 2 2 ) 2 2 2
D u q ( 0 , 0 ) = 1 4 2 ≠ 0. D_uq(0,0)=\frac1{4\sqrt2}\ne0. D u q ( 0 , 0 ) = 4 2 1 = 0. 若 q q q ∇ q ( 0 , 0 ) ⋅ u = 0 \nabla q(0,0)\cdot u=0 ∇ q ( 0 , 0 ) ⋅ u = 0
也可以直接看出同一個問題。沿 ( x , y ) = ( s , s ) (x,y)=(s,s) ( x , y ) = ( s , s ) q ( s , s ) = s / 4 q(s,s)=s/4 q ( s , s ) = s /4 2 ∣ s ∣ \sqrt2|s| 2 ∣ s ∣ 1 / ( 4 2 ) 1/(4\sqrt2) 1/ ( 4 2 ) s s s ∣ q ( x , y ) ∣ ≤ ∣ y ∣ ≤ x 2 + y 2 |q(x,y)|\le |y|\le\sqrt{x^2+y^2} ∣ q ( x , y ) ∣ ≤ ∣ y ∣ ≤ x 2 + y 2
重溫小餘項條件 ，以及方向導數 中單位方向導數與最快變化方向 的部分。
選擇下一步的複習內容
記下各小題所得分數，以及一項具體錯誤類型：算術、定義、假設、統一性，或方向單位化。遮住答案，重新做相應筆記中的例題。然後在白紙上再做該小題，並補充上次未能說明的步驟理由。即使總分較高，仍應重溫尚未證明的論斷或遺漏的邊界情形。
