1.3 座標、曲線與曲面

區分幾何對象與描述方式

同一個點可以使用直角座標或極座標。同一個圓可以寫成方程、等值集，也可以是參數曲線的像。直角座標便於線性代數運算，徑向座標顯示旋轉對稱，參數式描述運動，等值集則按高度組織曲面。選擇表示方式的目的，是使當前問題更容易處理，同時保持所描述的幾何對象不變。

參數式還包含方程沒有說明的信息：點按什麼順序被訪問，以及運動有多快。兩組參數式可以畫出同一個圓，卻描述不同運動。反過來，公式不變而參數範圍改變，所描繪的點集也可能改變。因此，討論曲線時應把公式與參數定義域一併保留。

曲線及其導數

定義

參數曲線

$\mathbb R^n$ 中的曲線是從區間出發的連續映射 $r:I\to\mathbb R^n$，可寫成 $r(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$。若 $I=[a,b]$ 且 $r(a)=r(b)$，稱曲線閉合。若沒有重複點，閉曲線的首尾重合除外，稱曲線簡單。

像集 $r(I)$ 是曲線經過的所有點。曲線映射本身還包含參數及遍歷信息。

繞圓一周與繞圓兩周具有相同像集，但第二個參數式在到達終點以前已經重複經過相同點，因此不是簡單曲線。閉曲線未必簡單，簡單曲線也未必閉合。這些區別在討論平面閉曲線的內部與外部時很有用。

定理

逐個分量求導

導數 $r'(t_0)$ 存在，當且僅當全部分量導數存在；此時

$$r'(t_0)=(x_1'(t_0),\ldots,x_n'(t_0)).$$

若 $r'(t_0)\ne0$，曲線在該點的切線為

$$\ell(s)=r(t_0)+s\,r'(t_0),\qquad s\in\mathbb R.$$

證明

從割線位移到切向量

導數是向量差商 $[r(t_0+h)-r(t_0)]/h$ 的極限。向量趨於零等價於各座標都趨於零：每個座標的絕對值不超過範數，而範數又不超過最大座標絕對值的 $\sqrt n$ 倍。將這一事實用於差商，便得到逐分量求導公式。非零的極限速度提供一個方向，經過位置 $r(t_0)$ 就得到切線。

若參數是時間，一階導數是速度向量，其範數是速率，二階導數是加速度。速度帶有方向，速率則是非負標量。若導數為零，仍可能存在切線，但需要進一步分析；不能把零向量直接當作切線方向。上述結論處理的是導數本身能夠提供方向的正則情形。

普通乘積法則也適用於向量運算。對標量函數 $f$ 及向量曲線 $r,q$，

$$(fr)'=f'r+fr',\qquad \langle r,q\rangle'=\langle r',q\rangle+\langle r,q'\rangle.$$

在三維中，$(r\times q)'=r'\times q+r\times q'$，叉積次序保持不變。把座標展開，再用標量乘積法則，就可證明這些公式。例如，若曲線到原點的距離固定，對範數平方求導得到 $\langle r,r'\rangle=0$，說明球面上的運動速度垂直於位置向量。

速率與弧長

定理

連續可微曲線的弧長

若 $r:[a,b]\to\mathbb R^n$ 連續可微，則按遍歷次數計算的長度為

$$L=\int_a^b\|r'(t)\|\,dt.$$

若以連續可微、單調且導數非零的函數改變參數，端點仍遍歷同一段參數區間，則弧長不變。

證明

為什麼積分速率

把參數區間細分，用相鄰曲線點之間的弦連接。在長度為 $\Delta t$ 的小區間上，位移近似為 $r'(t)\Delta t$，弦長近似為 $\|r'(t)\|\Delta t$。閉區間上導數的一致連續性控制總誤差，使折線長度趨於上述積分。若 $t=\phi(u)$，鏈式法則給出 $\|(r\circ\phi)'(u)\|=\|r'(\phi(u))\||\phi'(u)|$，再用積分換元，就得到遞增或遞減參數變換下的長度不變性。

變換後速率中的絕對值不可省略。反向走同一條路徑會反轉速度方向，卻不會使長度變負。弧長也不同於端點距離：閉曲線的兩端相同，弧長卻可以為正。如果同一圈被重複遍歷，積分會把每次經過都計入。改變方向或重複經過的參數式，並不是一次遍歷的單調一一重參數化，因此長度不變性不會抹掉重複運動。

對正則曲線，用速度除以速率，可得到沿遍歷方向的單位切向量。歸一化只改變大小，不改變方向，且只在速率為正的位置進行。計算弧長積分時，則直接使用未歸一化導數的範數。

例題

螺旋線的切線、速率及一周長度

令 $r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)$，其中 $0\le t\le2\pi$，則

$$r'(t)=(-3\sin t,3\cos t,4),\qquad \|r'(t)\|=5.$$

$t=0$ 時位置為 $(3,0,0)$，切向量為 $(0,3,4)$，所以切線是 $(3,0,0)+s(0,3,4)$。一周弧長為 $\int_0^{2\pi}5\,dt=10\pi$，端點的豎直距離則為 $8\pi$，小於實際路程。前兩個座標的圓周運動與豎直上升共同貢獻速率。

三種徑向座標

定義

極座標、柱座標與球座標

採用非負半徑。平面極座標滿足

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0.$$

空間柱座標再加上保持不變的高度 $z$。球座標寫成 $(\rho,\theta,\phi)$，其中 $\phi\in[0,\pi]$ 從正 $z$ 軸量起，且

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,\qquad \rho\ge0.$$

平面極座標的半徑是到平面原點的距離；柱座標半徑則是到豎直軸的距離。球座標半徑是到空間原點的距離，因此兩個空間半徑一般不同。它們與高度構成直角三角形。兩種空間座標共享方位角，因為它們都使用點在水平面上投影的方向。

角度具有週期性。選代表值時常用 $0\le\theta\lt2\pi$，描述曲線時則可以允許角度連續增加多周。平面半徑為零時，點不能決定方位角；球座標的豎直軸上也有同樣問題，在原點處兩個角都不唯一。這是座標描述的多義性，並不表示有多個不同的幾何點。

從直角座標反求角度時，應先用座標符號確定象限。單獨使用反正切主值不能區分相反射線，而且橫座標為零時也不能求座標比。選好象限後，再代回正弦、餘弦公式檢查，比只記一個反三角函數表達式更可靠。

例題

同一點的兩種空間座標

取 $P=(-2,-2,2\sqrt2)$，平面半徑為 $r=2\sqrt2$，可選方位角 $5\pi/4$。柱座標為 $(2\sqrt2,5\pi/4,2\sqrt2)$。球半徑為 $\rho=4$，且 $\cos\phi=z/\rho=1/\sqrt2$，所以球座標為 $(4,5\pi/4,\pi/4)$。代回公式，正好恢復兩個負的水平座標及正的高度。

座標方程本身也描述幾何集合。固定正極半徑給出圓；固定正柱半徑給出圓柱面；固定正球半徑給出球面。固定方位角在平面中給出射線，在空間中給出豎直半平面。球座標中固定一個嚴格介於零與直角之間的極角，給出圓錐面的上半支；取直角則給出水平面。角度範圍決定了得到半平面還是整個平面，以及得到一支圓錐還是兩支。

例題

極座標方程及允許的角度

考慮 $r=6\sin\theta$，並要求 $r\ge0$，則角度必須滿足 $\sin\theta\ge0$。兩邊乘以 $r$ 得

$$x^2+y^2=6y,\qquad x^2+(y-3)^2=9.$$

這是圓心 $(0,3)$、半徑 $3$ 的圓，在 $0\le\theta\le\pi$ 上遍歷一周，首尾都在原點。若允許帶符號半徑，就使用等價關係 $(r,\theta)=(-r,\theta+\pi)$；這屬於另一種座標約定，但直角座標仍由同一組正弦與餘弦公式給出。

圖形、等值集與截痕

二元實值函數的圖形由空間點 $(x,y,f(x,y))$ 組成。等值集則是在輸入空間中使函數等於某個固定常數的點集。因此圖形比定義域高一個維度，等值集仍留在輸入空間。圖形的水平截面對應被抬到相應高度的等值集；固定一個輸入座標，則得到豎直截痕。

定義域、等值集與截痕回答不同問題。定義域指出公式在哪些位置有意義，等值集指出哪些輸入產生相同輸出，截痕則描述圖形與指定平面的交線。畫曲面前，先求幾條截痕，並研究它們隨參數怎樣變化，往往比直接想象三維形狀更清晰。方程可以直接發現空截面、分離部分及特殊高度。

下面各式中的 $a,b,c$ 都為正數。

環境空間必須確定。三維方程缺少一個變量時，該座標可以自由變化，因而常描述柱面。完成平方可以找出平移後的中心或頂點，再以縮放顯示主方向長度，最後用符號區分曲面類型。等號另一側的常數也須檢查：非負平方項之和不能等於負數。

例題

先完成平方，再識別曲面

考慮 $x^2+4y^2-2x+8y-2z+1=0$，完成平方得到

$$(x-1)^2+4(y+1)^2=2(z+2).$$

這是頂點為 $(1,-1,-2)$、向正 $z$ 方向開口的橢圓拋物面。$z\gt-2$ 時，水平截痕是橢圓；$z=-2$ 時只有一個點；更低處沒有截點。平面 $y=-1$ 與 $x=1$ 中的截痕都是向上的拋物線，但彎曲程度不同。

統一的解題流程

曲線題先判斷問題關心像集還是遍歷過程。求切線，要同時計算指定參數處的位置與速度；求路程，要先對速度取範數，再積分。直接積分速度得到的是位移，可以比路程小，閉合旅程的位移甚至為零。開始積分以前，這個幾何區別就能幫助判斷答案是否合理。

座標轉換題先寫清角度約定及半徑非負條件，再判斷象限，最後用代入檢查。曲面題先確定空間與定義域限制，必要時完成平方，再考察座標平面截痕及若干水平截面。比較參數式與隱式方程時，一方面檢查每個參數值都滿足方程，另一方面檢查所需點是否都能由規定範圍的參數達到；單向代入只能證明像集包含於方程解集。

常見錯誤

方程不能脫離空間與範圍

$x^2+y^2=4$ 在二維中是圓，在三維中是圓柱面。半徑非負時，固定方位角只給出半平面。切線既需要一個點，也需要非零方向。環境空間及參數範圍都屬於幾何描述的一部分。

練習與解答

思考檢查

1. 計算運動量及切線。

對 $r(t)=(t,t^2,t^3)$，求 $t=1$ 時的速度、加速度、速率與切線。

解答 · 1. 對三個座標分別求導

$r'(t)=(1,2t,3t^2)$、$r''(t)=(0,2,6t)$。$t=1$ 時速率為 $\sqrt{14}$，切線為 $(1,1,1)+s(1,2,3)$。

思考檢查

2. 選擇正確的極座標象限。

求 $(-\sqrt3,-3)$ 在 $r\ge0$、$0\le\theta\lt2\pi$ 下的極座標。

解答 · 2. 兩個座標都為負

半徑為 $\sqrt{3+9}=2\sqrt3$。點位於第三象限，參考角為 $\pi/3$，所以 $(r,\theta)=(2\sqrt3,4\pi/3)$。

思考檢查

3. 用截痕識別二次曲面。

描述 $x^2/4+y^2/9-z^2=1$，並求它在 $z=0$、$x=0$、$y=0$ 中的截痕。

解答 · 3. 單葉雙曲面

$z=0$ 時是橢圓 $x^2/4+y^2/9=1$；另兩個截痕為雙曲線 $y^2/9-z^2=1$ 及 $x^2/4-z^2=1$。任意固定高度都給出非空橢圓 $x^2/4+y^2/9=1+z^2$，所以曲面是單葉雙曲面。

有符號半徑、內環與面積上下限

僅在本小節中，容許半徑 $r$ 帶符號。笛卡爾座標仍是 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$。負半徑表示點落在相反射線上：實際距離是 $|r|$，幾何方向角是 $\theta+\pi$，相差整周視為同一方向。因此，有符號極座標 $(-1,0)$ 表示笛卡爾點 $(-1,0)$，不是向右一個單位的點。這裏臨時採用的有符號約定，不改變前面座標定義中的非負距離約定。

例題

先找內環，再積分

考慮有符號極座標曲線 $r=1-2\cos\theta$。先求經過極點的參數：

$$1-2\cos\theta=0\quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\pm\frac\pi3\pmod{2\pi}.$$

在 $-\pi/3<\theta<\pi/3$ 內，半徑為負；兩個端點的半徑為零。在 $\theta=0$ 時半徑為 $-1$，對應點 $(-1,0)$。實際幾何方向角從 $2\pi/3$ 變化到 $4\pi/3$。所以曲線從原點進入左上半平面，經過 $(-1,0)$，再從左下半平面回到原點。這才是完整的一次內環，不是朝右的環。

為甚麼只描繪一次？區間內部半徑非零且符號固定，實際方向角嚴格增加，變化範圍又小於一整周。因此兩個不同的內部參數不能表示同一個非零點。兩端都表示原點，除此之外沒有重複。區間 $\pi/3\le\theta\le5\pi/3$ 上半徑非負，描繪外環，並在 $\theta=\pi$ 經過 $(-3,0)$。如果一開始對原方程強制要求半徑非負，負半徑分支就會被捨棄；在那種解釋下，內環並不存在。

定理

指定描繪方式後，一個徑向環的面積

若一個簡單閉環在角度區間 $[\alpha,\beta]$ 上隨角度增加描繪一次，內部徑向扇形互不重疊，則它圍成的面積為

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r(\theta)^2\,d\theta.$$

若分支內部半徑始終為負，改用 $\rho=-r$ 和 $\varphi=\theta+\pi$，則 $\rho^2=r^2$、$d\varphi=d\theta$，仍得到同一公式。半徑平方不會自動選出正確的環，也不會消除重複描繪；這些必須靠積分上下限保證。

角度很小的扇形，若角度為 $\Delta\theta$、距離為 $\rho$，面積約為 $\rho^2\Delta\theta/2$。把這些扇形相加，就解釋了二分之一這個係數。不重疊和只描繪一次的要求，也說明為甚麼盲目對整個周期積分，可能多算並非題目所問的區域。

例題

算出內環面積並檢查合理性

使用剛才找到的內環上下限：

$$A_{\mathrm{inner}}=\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(1-2\cos\theta)^2\,d\theta.$$

被積函數是偶函數，對稱性帶來的二倍恰好抵消二分之一。展開後使用 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$，得到

$$A_{\mathrm{inner}}=\int_0^{\pi/3}(3-4\cos\theta+2\cos2\theta)\,d\theta =\left[3\theta-4\sin\theta+\sin2\theta\right]_0^{\pi/3} =\pi-\frac{3\sqrt3}{2}.$$

數值約為 $0.544$，是一個較小的正面積。內環到原點的距離至多為一，所以若答案大於單位圓盤面積，就必然有錯。對 $0\le\theta\le2\pi$ 積分會得到 $3\pi$：這是按描繪累計的兩個環面積之和，不是內環面積，也不是兩區域聯集的面積。內環位於外環內部，因此這個和重複計算了內環區域。

常見錯誤

螺線轉一周，不自動成為閉環

阿基米德螺線 $r=k\theta$，其中 $k>0$、$0\le\theta\le2\pi$，兩端分別是原點與 $(2\pi k,0)$。它們雖然在同一條射線上，卻不是同一點，所以完整轉一周仍不是閉曲線。面積題必須說明其餘邊界，例如從終點連回原點的徑向線段。方向角回到原方向，與位置回到原點，是兩件不同的事。

思考檢查

4. 放大的內環與誤導性的整周期積分。

對有符號曲線 $r=2-4\cos\theta$，找出描繪內環一次的區間、$\theta=0$ 時的點和內環面積。說明為甚麼把半徑平方後對整個周期積分，不能回答此題。

解答 · 4. 長度放大倍數要平方才是面積倍數

零點仍是 $\theta=\pm\pi/3$，所以使用 $[-\pi/3,\pi/3]$。零角度的有符號半徑為 $-2$，對應笛卡爾點 $(-2,0)$。每個距離都是例題的兩倍，因此

$$A=\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}4(1-2\cos\theta)^2\,d\theta =4\pi-6\sqrt3.$$

整周期積分還會包含外環，得到的是 $12\pi$。半徑平方使每個扇形的面積貢獻非負，但不會標記該扇形屬於哪一個環。

思考檢查

5. 先說明螺線的邊界，再求面積。

對 $r=k\theta$，其中 $k>0$、$0\le\theta\le2\pi$，求這一周螺線與從終點返回原點的徑向線段所圍成的面積。為甚麼這不是內環計算？

解答 · 5. 徑向線段補齊邊界

每個內部角度與螺線只相交一次；該方向上的區域由距離零到 $k\theta$ 的所有點組成。因此

$$A=\frac12\int_0^{2\pi}k^2\theta^2\,d\theta =\frac{k^2}{6}(2\pi)^3=\frac{4\pi^3k^2}{3}.$$

線段把兩個不同的端點位置連接起來。這段螺線沒有從極點出發再回極點的環，因為半徑只在初始角度為零。若去掉指定線段，剩下的是開曲線，而不是題目所說的閉合邊界。