2.1 定義域與點集

二元函數的公式通常不會允許平面上每一點作為輸入。平方根可能把輸入限制在圓盤中，對數可能只保留一條曲線的一側，分母還可能從原來的區域刪去一條直線。研究函數在一點附近如何變化之前，必須先知道哪些鄰近輸入確實可用。因此，定義域的幾何不是附帶的畫圖問題，而是多元分析的一部分。

本節的基本工具是距離。在實數軸上，我們用區間表達靠近；在歐幾里得空間中，同樣的工作由球完成。我們將用球區分集合內部、外部和邊界上的點。這些定義還能解釋：為什麼一個集合可以既不開也不閉，為什麼平面中的圓周沒有內部，以及為什麼一個被刪去的點仍然會影響極限。

函數與定義域

定義

定義域、陪域與值域

函數 $F:D\to\mathbb R^m$，其中 $D\subseteq\mathbb R^n$，給每個 $x\in D$ 指定唯一輸出 $F(x)$。$D$ 稱為定義域，寫出的 $\mathbb R^m$ 是陪域，實際取得的值組成值域 $F(D)=\{F(x):x\in D\}$。寫成 $F=(F_1,\ldots,F_m)$ 時，各個 $F_i$ 是標量分量函數。

輸入維數與輸出維數回答不同問題。空間中的溫度場形如 $T:\mathbb R^3\to\mathbb R$；參數化空間曲線則形如 $\gamma:I\subseteq\mathbb R\to\mathbb R^3$。後者只有一個輸入變量，卻有三個輸出座標。不能因為出現三個分量，就把它當成三元標量函數。

若題目明確寫出定義域，它就是函數的一部分。若只給出表達式，自然實定義域由使每項運算都有意義的全部輸入組成。求定義域時應把各項條件取交集：平方根內非負，對數真數為正，分母非零。化簡表達式可能揭示一種延拓方式，但不會自動改變原函數的定義域。

例題

同時滿足三個限制

求

$$f(x,y)=\frac{\sqrt{16-x^2-y^2}}{\log(y-x)}$$

的自然定義域。平方根要求 $x^2+y^2\le16$，對數要求 $y-x>0$，而對數出現在分母還要求 $y-x\ne1$。所以

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le16,\ y>x,\ y-x\ne1\}.$$

幾何上，先取半徑為 $4$ 的閉圓盤，保留 $y=x$ 上方的一側，再刪去直線 $y=x+1$ 與圓盤相交的線段。圓弧上的某些點可以屬於 $D$，因為分子等於零沒有問題；兩條被排除直線上的點則不屬於定義域。逐項檢查，可以避免遺漏對數本身等於零的地方。

開球與局部描述

定義

開球與鄰域

對 $a\in\mathbb R^n$ 及 $r>0$，定義

$$B(a,r)=\{x:\|x-a\|<r\},\qquad \overline B(a,r)=\{x:\|x-a\|\le r\}.$$

前者是開球，後者是閉球。任何包含某個 $B(a,r)$ 的集合都稱為 $a$ 的鄰域。去心球是 $B(a,r)\setminus\{a\}$。

在平面中，開球是沒有圓周的實心圓盤；在三維空間中，它是球面的內部。“開”表示嚴格不等式，並不是說圖形中空。鄰域自身不一定是球，也不一定是開集；它只需要包含一個以該點為中心的足夠小的完整開球。

定義

內部與外部

若存在 $r>0$ 使 $B(a,r)\subseteq A$，則稱 $a$ 是 $A$ 的內點。所有內點組成內部 $A^\circ$。外部定義為 $\operatorname{ext}A=(\mathbb R^n\setminus A)^\circ$。若每個集合點都是內點，即 $A=A^\circ$，則 $A$ 是開集。

成為內點，要求沿所有方向的小幅移動都留在集合內。比如，$\mathbb R^2$ 中一條直線上的點，只要沿垂直方向稍微移動，就離開直線。因此直線在平面中的內部為空。若把直線自身作為一維環境，結論會不同；討論內部時必須清楚環境空間是什麼。

定理

開球與開集運算

歐幾里得空間中的每個開球都是開集。任意族開集的並仍是開集，有限個開集的交仍是開集。

證明

選擇一個仍留在原集合內的半徑

若 $x\in B(a,r)$，令 $\rho=r-\|x-a\|>0$。當 $\|y-x\|<\rho$ 時，由三角不等式，

$$\|y-a\|\le\|y-x\|+\|x-a\|<r.$$

故 $B(x,\rho)\subseteq B(a,r)$，原球內每一點都是內點。

若一點屬於一族開集的並，它至少屬於其中一個開集。該開集提供的內點球也包含在並集中。對於有限交，對每個參與的開集選取內點半徑 $r_i>0$，再取它們的最小值。這個最小值仍為正，能同時適用於所有集合。

“有限”在交集結論中不能去掉。對所有正整數 $k$ 取區間 $(-1/k,1/k)$ 的交，只得到單點集 $\{0\}$，它在實數軸上不是開集。這裏各半徑不斷縮小，已經沒有共同的正半徑。

閉包、聚點與邊界

定義

閉包、聚點與閉集

若每個 $B(a,r)$ 都與 $A$ 相交，則 $a$ 屬於閉包 $\overline A$。若每個去心球都與 $A$ 相交，則 $a$ 是聚點。若 $a\in A$，且某個球與 $A$ 的交只有 $a$，則 $a$ 是孤立點。若補集是開集，則 $A$ 是閉集。

閉包與聚點定義的差別，是是否排除球心。孤立點屬於閉包，因為每個球已包含它自身；但它不是聚點。聚點也可以不屬於原集合。集合 $\{1/k:k\ge1\}\subset\mathbb R$ 的零點是集合外的聚點，而每個列出的倒數都是孤立點。可見“內點”“聚點”和“集合中的點”不能互相替代。

定理

閉包與邊界的刻畫

對任意 $A\subseteq\mathbb R^n$，

$$\overline A=A\cup\{a:a\text{ 是 }A\text{ 的聚點}\},\qquad \partial A=\overline A\setminus A^\circ.$$

$A$ 閉當且僅當它包含全部聚點，也等價於 $A=\overline A$。內部、邊界與外部把整個 $\mathbb R^n$ 分成互不相交的三部分。

邊界點的定義是：以它為中心的每個球都同時遇到 $A$ 和補集。這個條件並沒有規定球心本身屬於哪一方，因此邊界點可以包含在集合中，也可以被刪去。

證明

為什麼邊界等於閉包減去內部

若 $a\in\partial A$，每個球都遇到 $A$，所以 $a\in\overline A$；每個球又都遇到補集，因此沒有球完全包含在 $A$ 中，故 $a\notin A^\circ$。反過來，若 $a\in\overline A\setminus A^\circ$，閉包條件保證每個球遇到 $A$，非內點條件保證每個球遇到補集，於是 $a$ 是邊界點。

若一點不在邊界上，就有一個球不遇到兩方中的某一方。因此該點要麼是內點，要麼是外點。這兩個情況互斥，得到三部分的分解。

再證閉集判據。閉集外的點有一個球完全在開補集中，因此不可能是聚點。反之，若全部聚點都在 $A$ 中，則任何集合外的點都不是聚點，可以找到不遇到 $A$ 的小球；所以補集是開集。

例題

只包含一側邊界的圓環

令 $c=(-2,1)$，並取

$$A=\{p\in\mathbb R^2:1<\|p-c\|\le3\}.$$

內部由 $1<\|p-c\|<3$ 給出，閉包由 $1\le\|p-c\|\le3$ 給出。邊界是半徑為 $1$ 與 $3$ 的兩個圓周，而且

$$\operatorname{ext}A=\{\|p-c\|<1\}\cup\{\|p-c\|>3\}.$$

外圓周上的點屬於 $A$ 卻不是內點，所以 $A$ 不開；內圓周上的點能被集合點逼近卻未包含在集合中，所以 $A$ 不閉。由 $\|p\|\le3+\sqrt5$ 可知它有界。外部既包括中心的洞，也包括外面的無界區域，不只是日常語言中所說的“圖形外面”。

例題

離散點集缺少一個極限點

考慮 $E=\{(2/k,0):k=1,2,\ldots\}$。固定其中一項，它到相鄰項的距離為正，足夠小的球能排除所有其他項，因此每個集合點都是孤立點。唯一聚點是 $(0,0)$：不在橫軸上的點與集合有正距離；橫軸上遠離零的一個小鄰域只遇到有限項，因此也不會產生其他聚點。

於是 $E^\circ=\varnothing$，$\overline E=E\cup\{(0,0)\}$，$\partial E=\overline E$。這個集合有界，既不開也不閉。加入原點以後，它成為閉集，但仍然沒有內部。閉性要求補齊極限點，並不要求集合包含實心區域。

常見錯誤

不開不等於閉

開集與閉集不是互斥且窮盡的兩種選項。半開圓環既不開也不閉；空集和整個空間則既開又閉。判斷時分別應用“每點是否有內點球”和“是否包含全部聚點”，不能從其中一個判斷的否定直接推出另一個結論。

路徑與整體形狀

局部性質並不能完全決定集合怎樣連接。兩個分離開圓盤的並和一個開圓盤都屬於開集，但前者無法在集合內從一個圓盤走到另一個。

定義

路徑連通與凸集

若對任意 $p,q\in A$，都存在連續映射 $\gamma:[0,1]\to A$，滿足 $\gamma(0)=p$、$\gamma(1)=q$，則稱 $A$ 路徑連通。若對所有 $p,q\in A$，線段 $(1-t)p+tq$，$0\le t\le1$，都包含在 $A$ 中，則稱 $A$ 是凸集。

凸集一定路徑連通，因為直線段本身就是所需路徑。上述圓環路徑連通卻不凸。先把兩點分別沿徑向接到以 $c$ 為中心、半徑為 $2$ 的圓上，再沿圓弧移動，最後逆向走第二條徑向線段。這些路徑始終處在半徑大於 $1$ 且不超過 $3$ 的範圍內。可是連接兩個對徑點的直線段會穿過被刪去的洞，所以凸性不成立。

由 $x\ge1$ 與 $x\le-1$ 兩部分組成的集合則不路徑連通。若存在從一側到另一側的路徑，其第一座標就是一個從正數變成負數的連續實函數。由一元介值定理，它必然在某處為零，而該點不在集合中。這個論證說明，一元連續性定理也能約束高維路徑的形狀。

定理

平面上的 Jordan 曲線定理

$\mathbb R^2$ 中一條簡單閉曲線的補集恰有兩個路徑連通分支：一個有界，一個無界。該曲線同時是這兩個分支的邊界。

“簡單閉”表示連續繞行一周回到起點，除此之外不發生自交。定理討論的是曲線的補集，而不是曲線作為點集的內部。以橢圓為例，以曲線上一點為中心的任意球都會遇到不在曲線上的點，所以曲線的點集內部為空；但曲線的補集中仍有一個被圍住的有界區域。

簡單性是必要條件。八字形繞行在交叉處自交，可以圍出兩個分離的有界區域，因此不能套用定理，斷言補集只有一個有界分支。該結論也不能直接推廣到三維空間中的任意閉曲線；環境是平面，同樣屬於定理條件。曲線定理提供整體結論，開球定義則提供局部點的分類。

從幾何定義到證明流程

這些定義之所以有用，是因為它們能把圖形判斷轉化為帶有明確對象的論證。證明一點是內點，要給出一個正半徑；證明它不是內點，要說明每個半徑內都能找到集合外的點。證明一點屬於閉包，要在每個球內找到集合點，或給出趨於該點的集合內點列。圖形可以提示怎樣尋找，量詞陳述才真正建立結論。

例如半平面 $H=\{(x,y):2x-y<5\}$。對其中一點 $p=(p_1,p_2)$，餘量 $s=5-(2p_1-p_2)$ 為正。柯西–施瓦茨不等式給出

$$|2(x-p_1)-(y-p_2)|\le\sqrt5\,\|(x,y)-p\|.$$

因此半徑 $s/\sqrt5$ 可用：離 $p$ 嚴格小於這個距離的點都滿足 $2x-y<5$。半徑依賴於點，恰好符合內點定義；不需要讓同一個半徑適用於整個半平面的全部點。

閉包還有最小性：$\overline A$ 是包含 $A$ 的最小閉集。若 $p\notin\overline A$，就有某個 $B(p,r)$ 避開 $A$；充分靠近 $p$ 的每一點也有小球避開 $A$，所以閉包的補集是開集。若閉集 $F$ 包含 $A$，則 $F$ 外每一點有球避開 $F$，也就避開 $A$，不可能屬於 $\overline A$。因此 $\overline A\subseteq F$。

數列將讓這些論證更簡潔。在歐幾里得空間中，$F$ 閉當且僅當每個完全位於 $F$ 內的收斂數列，其極限仍在 $F$ 中。要用於 $x^2+y^2=7$ 這樣的方程，可以取方程上的收斂點列，再對兩個座標取極限。要否定閉性，只需構造一個集合內點列，使其極限恰好被遺漏。

最後，有界性要求的是整體距離上界，而不是每一點附近的局部小球。無限條帶可以開且無界；圓周可以閉且有界卻沒有內部。分開處理局部與整體問題，才能避免用一幅示意圖代替幾個彼此不同的定義。

練習與解答

思考檢查

練習1：求自然定義域。

$$g(x,y)=\frac{\log(25-x^2-y^2)}{\sqrt{y+2}}.$$

分別說明每個不等式為何是嚴格的。

解答 · 練習1解答

對數要求 $x^2+y^2<25$；分母中的平方根要求 $y+2>0$，因為分母不能為零。因此定義域為 $\{(x,y):x^2+y^2<25,\ y>-2\}$。分子中的對數允許等於零，不需要額外刪去一條曲線。

思考檢查

練習2：判斷去心圓盤的性質。

設 $S=\{(x,y):0<x^2+y^2<9\}$。求內部、閉包和邊界，並判斷開、閉、有界和路徑連通性。

解答 · 練習2解答

$S^\circ=S$，$\overline S=\{x^2+y^2\le9\}$，$\partial S=\{(0,0)\}\cup\{x^2+y^2=9\}$。它開且有界，但不閉。把任意兩點徑向接到半徑為 $1$ 的圓上，再用圓弧連接，整個路徑半徑始終為正且小於 $3$，所以它路徑連通。

思考檢查

練習3：區分曲線與它圍住的區域。

令 $C=\{(x,y):x^2/9+y^2/4=1\}$。求 $C^\circ$、$\overline C$、$\partial C$ 及 $\operatorname{ext}C$。

解答 · 練習3解答

橢圓曲線本身不包含二維開球，故 $C^\circ=\varnothing$。它是閉集，所以 $\overline C=C$ 且 $\partial C=C$。外部是 $\mathbb R^2\setminus C$，同時包括有界的內側和無界的外側。“曲線這個集合的內部”和“曲線圍住的區域”是不同概念。

分析定義域時，先把公式限制轉化為集合，再用開球判斷各類局部點，最後考察有界性和路徑等整體性質。下一節將使用相同的開球語言，精確表達數列收斂和多元極限中的統一控制。