1.2 直線、平面與體積

用允許的方向描述點集

從一個起點沿一個方向移動，就生成一條直線；允許沿兩個獨立方向移動，則生成一個平面。方程提供另一種描述：規定哪些點滿足限制。在線性幾何中，我們不斷在這兩種觀點之間轉換。這套語言也為後面的切線、切平面作準備。

起點決定位置，方向決定對象如何伸展。經過原點的直線與平移後的平行直線擁有相同方向，卻不是同一個點集。把位置與方向分開，便能清楚地討論交點、不同表示是否等價，以及怎樣構造最近點。

定義

直線與超平面

給定 $P_0\in\mathbb R^n$ 及非零向量 $v$，經過 $P_0$、方向為 $v$ 的直線是

$$L=\{P_0+tv:t\in\mathbb R\}.$$

給定非零向量 $n\in\mathbb R^n$ 及實數 $c$，法向量為 $n$ 的超平面是

$$H=\{x\in\mathbb R^n:\langle n,x\rangle=c\}.$$

若 $P_0\in H$，也可寫成 $\langle n,x-P_0\rangle=0$。超平面的維數為 $n-1$；在二維中是直線，在三維中是通常的平面。

若給出兩個不同點，方向可取兩點之差。限制參數在零與一之間得到線段，允許參數取所有實數則得到完整直線。把起點換成直線上另一點，相當於平移參數；把方向乘以非零實數，則改變遍歷速度或方向。參數式是對點集的一種描述，同一個點集可以有不同的參數式。

例題

轉換直線表示時保留常量座標

經過 $A=(2,-1,1)$、$B=(4,0,1)$ 的直線，其方向為 $(2,1,0)$，故

$$(x,y,z)=(2,-1,1)+t(2,1,0).$$

消去參數得到 $x-2y=4$ 及 $z=1$。在三維空間中，兩條方程都要保留。合適的對稱形式是 $(x-2)/2=y+1$，並附上 $z=1$。第三個方向分量為零，表示第三座標固定，並不是可以把它放進分母。

垂直位移給出最近點

最近點問題尋找一個允許的位置，使它到給定位置的距離最小。對直線，先分離沿直線的分量；對超平面，先分離沿法向量的分量。正交分解不僅構造候選點，還能證明它確實比其他所有允許點都近。

定理

直線上的最近點

設 $L=P_0+\mathbb Rv$，其中 $v\ne0$，並令 $w=P-P_0$。離 $P$ 最近的唯一點為

$$Q=P_0+\frac{\langle w,v\rangle}{\|v\|^2}v, \qquad \operatorname{dist}(P,L)=\|P-Q\|.$$

證明

為什麼其他點不能更近

構造保證 $P-Q\perp v$。直線上任意其他點可寫成 $Q+sv$，因此

$$\|P-(Q+sv)\|^2=\|P-Q\|^2+s^2\|v\|^2.$$

第二項非負，且僅在 $s=0$ 時為零，所以 $Q$ 是唯一的最近點。這裏利用了 $v$ 非零；否則參數改變並不會生成不同的直線點。

例題

空間直線上的垂足

令 $P=(3,2,4)$、$L=(1,0,1)+t(1,2,2)$。位移為 $w=(2,2,3)$，與方向向量的內積為 $12$，方向長度的平方為 $9$，故

$$Q=(1,0,1)+\tfrac43(1,2,2)=(7/3,8/3,11/3).$$

餘項是 $(2/3,-2/3,1/3)$，與 $(1,2,2)$ 的內積為零，長度為 $1$。所以所求距離為 $1$。檢驗 $Q$ 在線上，控制候選點的位置；檢驗餘項垂直，則控制最小性。

定理

超平面上的最近點

設 $H=\{x:\langle n,x\rangle=c\}$，其中 $n\ne0$。離 $P$ 最近的點及距離為

$$Q=P-\frac{\langle n,P\rangle-c}{\|n\|^2}n, \qquad \operatorname{dist}(P,H)=\frac{|\langle n,P\rangle-c|}{\|n\|}.$$

證明

分離法向與平面內的方向

代入可得 $\langle n,Q\rangle=c$，故 $Q\in H$。位移 $P-Q$ 平行於 $n$。任取 $R\in H$，差向量 $Q-R$ 與 $n$ 的內積為 $c-c=0$，所以

$$\|P-R\|^2=\|P-Q\|^2+\|Q-R\|^2.$$

僅當 $R=Q$ 時右側最小。最後對法向位移取範數，便得到距離公式。這個論證適用於任意維度，不依賴三維圖形。

例題

點到平面的距離與垂足

對 $H:x+2y-2z=4$，取 $n=(1,2,-2)$，其範數為 $3$。若 $P=(1,2,-1)$，平面方程的有符號餘量為 $7-4=3$，故

$$Q=P-\tfrac13 n=(2/3,4/3,-1/3), \qquad \operatorname{dist}(P,H)=1.$$

把 $Q$ 代入，確有 $2/3+8/3+2/3=4$。餘量的符號決定沿哪一側法向移動；距離則取絕對值。求垂足時若過早取絕對值，可能會朝錯誤方向移動。

叉積同時記錄法向與面積

在三維空間，兩個獨立方向確定一個法向方向。叉積構造這個法向，同時測量兩向量張成的面積。內積的結果是標量，叉積的結果是向量；交換輸入次序會反轉叉積方向，因此方向信息不能隨意丟掉。

定義

三維向量的叉積

對 $u,v\in\mathbb R^3$，定義

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

它垂直於兩個輸入，對每個變量分別線性，並滿足 $v\times u=-(u\times v)$；方向由右手定則規定。

展開座標公式，可以驗證

$$\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-\langle u,v\rangle^2.$$

當輸入非零時，右側是 $\|u\|^2\|v\|^2\sin^2\theta$。夾角位於 $[0,\pi]$，正弦非負，所以叉積長度就是底乘以垂直高，也就是以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積。三角形面積是它的一半。若兩向量線性相關，叉積為零，對應平行四邊形退化為線段。

給出三個不共線點時，應先從同一個頂點出發，形成兩個邊向量，再求叉積。所得非零向量是通過三點的唯一平面的法向量。直接把從原點出發的位置向量拿來作叉積，通常並不能得到所求平面的法向，因為原點未必在這個平面中。

例題

一次計算得到平面、面積與體積

取 $A=(0,1,0)$、$B=(2,1,1)$、$C=(1,3,0)$。邊向量為 $u=(2,0,1)$、$v=(1,2,0)$，故

$$u\times v=(-2,1,4).$$

它與 $u,v$ 的內積都為零。三角形面積為 $\sqrt{21}/2$，所在平面為 $-2x+y+4z=1$。若再取 $D=(1,0,3)$，則 $D-A=(1,-1,3)$，且

$$\langle u\times v,D-A\rangle=-2-1+12=9.$$

對應平行六面體體積為 $9$，四面體體積為 $9/6=3/2$。

標量三重積等於以三個邊向量為行的行列式。它的絕對值是底面積乘以垂直高：叉積給出帶方向的底面法向量，內積提取第三條邊沿法向的分量。四面體體積是三角形底面積乘高的三分之一，因此是對應平行六面體的六分之一。三重積為零，表示三個邊向量線性相關，也就是四個頂點共面。交換兩條邊會改變三重積的符號，但不會改變幾何體積。

交點與相對位置

要找直線與超平面的交點，把參數式代入方程，得到關於參數的一元一次方程。如果方向與法向量的內積非零，就有唯一交點。如果內積為零，方程可能無解，也可能對每個參數都成立；後一種情況表示整條直線都在超平面內。因此，方向平行並不足以判斷兩個集合是否相交，還要檢查起點位置。

直線與平面的銳夾角，是直線方向與法向量銳夾角的餘角，所以它的正弦等於內積絕對值除以兩向量範數之積。兩個不平行平面交於一條直線，直線方向可取兩個法向量的叉積。再聯立兩個平面方程找出一個交點，就得到完整參數式。若法向量成比例，應按同一比例比較常數，以區分重合與平行不相交。

空間中兩條不平行直線也可能不相交，這種情況稱為異面。把兩個參數式設為相等，會得到三個座標方程；必須由同一對參數同時滿足三式。只解其中兩式，可能得到一個不滿足第三式的候選點。平行、相交和共面是不同問題，應分別檢查對應的方向關係及座標方程。

高維仿射平面

定義

k 維仿射平面

若 $v_1,\ldots,v_k$ 在 $\mathbb R^n$ 中線性無關，則

$$P=P_0+\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\} =\left\{P_0+\sum_{i=1}^k t_i v_i:t_i\in\mathbb R\right\}$$

稱為一個 $k$ 維仿射平面。

維數是獨立方向的數量，與外部座標的數量不同。四維空間中的二維平面仍然只需要兩個獨立參數。改用方程描述時，一個相容且秩為環境維數減二的線性系統，會描述這樣的平面。重複方程不會額外消除自由度，所以只數寫出來的方程條數，而不檢查獨立性，可能算錯維數。

高斯消元通過找出自由變量，把方程化為參數式；反過來，消去參數就得到全部點共同滿足的方程。不相容系統的解集為空，並不是仿射平面。若系統相容，它的解集是一組特解加上係數矩陣的零空間：特解負責定位，零空間的一組基負責給出獨立方向。這樣，線性代數的解集結構便與幾何中的“位置加方向”完全一致。

這種對應也解釋了為什麼超平面只有一個獨立約束，卻可以有很多參數。一個非零線性方程消除一個自由度，剩下的方向構成法向量的正交補。多個約束只有在增加矩陣的秩時才會進一步降低維數；增加冗餘方程只改變描述方式，不改變點集。

計算中的幾何檢查

把平面方程整體乘以非零實數，不會改變平面。距離公式的分子與分母會同時乘上該數的絕對值，因此距離不變，垂足公式也不變。在三維中，點到直線的距離也可由位移與方向向量的叉積長度除以方向長度求得：分子是平行四邊形面積，再除以底長就得到垂直高。投影法與叉積法表達同一個幾何高度。

若要求兩個集合之間的距離，可尋找同時垂直於兩邊允許方向的連接位移。例如對兩條異面直線，讓兩端點分別沿各自參數移動，再要求連接向量與兩個方向都正交，便得到關於兩個參數的線性系統。解出之後仍應檢查兩個正交關係，才能確認求得的是公垂線段，而不只是任意連接線段。

先區分題目給的是位置、方向還是法向。法向量垂直於平面內的位移，方向向量則沿着對象延伸。需要生成點時優先用參數式，需要檢驗成員或增加約束時優先用方程。距離題應先構造候選點，再檢驗它與給定點之間的餘項是否垂直於所有允許方向。

最後核對答案的類型。平面方程不是一個點；叉積要取範數才成為面積；行列式要取絕對值才成為幾何體積。兩個參數式看起來不同，也可能生成同一個集合。比較時檢查一個共同點及方向空間，通常比逐個比較係數更直接。題目若同時要求距離與最近點，只報一個正確距離仍不足以確定所求位置。

常見錯誤

在環境空間中數獨立約束

三變量的一條非平凡線性方程描述平面，空間直線一般需要兩條獨立方程。單參數式只有在方向非零時才描述直線；雙參數式只有在兩個方向獨立時才描述平面。

練習與解答

思考檢查

1. 構造平面並求三角形面積。

求經過 $(1,0,0)$、$(1,2,0)$、$(1,0,3)$ 的平面，並求三點組成的三角形面積。

解答 · 1. 從同一頂點形成邊向量

邊向量為 $(0,2,0)$、$(0,0,3)$，叉積為 $(6,0,0)$。平面是 $x=1$，面積為 $6/2=3$。

思考檢查

2. 求距離及垂足。

求平面 $2x-y+2z=6$ 上離原點最近的點及其到原點的距離。

解答 · 2. 沿法向量移動

法向量為 $(2,-1,2)$，長度平方為 $9$。最近點是 $(6/9)(2,-1,2)=(4/3,-2/3,4/3)$，其範數為 $2$。代入平面方程，左側確實等於 $6$。

思考檢查

3. 判斷兩條不平行直線是否相交。

比較 $L=(t,0,0)$ 與 $M=(0,1+s,1)$，其中 $s,t$ 為實參數。

解答 · 3. 第三座標阻止相交

方向分別是 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，所以兩線不平行。但 $L$ 上每點的第三座標為 $0$，$M$ 上每點的第三座標為 $1$，故不相交，是兩條異面直線。