3.1 偏導數與梯度

動機

房間中某一點的溫度取決於三個座標。保持高度和南北位置不變而向東移動，是一種測量；保持水平位置不變而上升，是另一種測量。偏導數描述其中一個座標方向上的瞬時變化率。它讓我們繼續使用一元求導方法，同時清楚說明究竟是哪一個輸入在變化。

“其餘變量保持不變”不是計算時的一句口號。它確定了一條經過指定點的座標直線，在這條直線上得到一個一元函數，再對這個一元函數取差商極限。因而乘法、商法則以及一元鏈式法則仍然適用。所得結果首先只解釋這條座標直線上的變化，尚不能直接描述所有方向的變化。

本節先建立偏導數的定義，把各座標變化率組織成梯度，再討論重複求導和混合偏導數。核心區別是：若干個座標方向上的極限存在，與整個多元函數在點附近有良好行為，是兩個不同層次的命題。後續的可微性會補上兩者之間的聯繫。

開始之前

你需要熟悉一元函數的差商、乘積求導以及複合求導。記 $e_i$ 為第 $i$ 個分量等於一、其餘分量等於零的標準基向量。我們在開集內部研究導數；開集保證從指定點出發，沿每個座標軸作足夠短的正、負方向移動時仍在定義域中。

定義

定義

一點處的偏導數

設 $U\subseteq\mathbb R^n$ 為開集，$f:U\to\mathbb R$，且 $a\in U$。若有限極限

$$\partial_i f(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+t e_i)-f(a)}{t}$$

存在，就稱它為 $f$ 在 $a$ 處對第 $i$ 個變量的偏導數，也記為 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$。二元函數中通常寫成 $f_x$ 和 $f_y$。

例如，對固定的 $b$ 定義 $g(t)=f(t,b)$，便有 $f_x(a,b)=g'(a)$。取極限時，第二個座標始終是同一個數 $b$，不能偷偷把它改成第一個座標的函數。若考慮的是 $f(t,t^2)$，兩個座標都會變化，所得一元導數回答的是另一道問題。

對於普通表達式，通常先求出偏導數函數，再代入目標點。對 $x$ 求導時，只依賴於 $y$ 的因子是常數；但 $e^{xy}$ 中的指數仍然依賴於 $x$，所以求導時必須保留一元鏈式法則產生的因子 $y$。判斷“是否為常數”要以當前變化的輸入為準。

定義

梯度、重複偏導數與光滑性

當全部一階偏導數在 $a$ 處存在時，定義梯度

$$\nabla f(a)=\bigl(\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a)\bigr).$$

本節採用 $f_{xy}=\partial_y(f_x)$ 的約定，即先對 $x$ 求導，再對 $y$ 求導。若函數在開集上所有不超過 $r$ 階的偏導數都存在且連續，就稱它屬於 $C^r$ 類。

梯度把座標變化率放進一個向量。每個分量仍然帶有相應的輸入單位：對米求導與對秒求導描述的變化不同。利用歐幾里得幾何解釋梯度方向時，座標的尺度與單位應當屬於模型本身。把兩個數字並列起來，並不會自動消除它們的量綱差異。

定義 $C^r$ 時的“連續”不可省略。某個導數處處存在，並不意味着這個導數函數一定連續。$C^\infty$ 表示任意有限階的偏導數都存在且連續。多項式是最基本的例子；有理函數則在分母非零的開集上光滑。對分段函數中的特殊點，應直接核對條件。

定理與命題

定理

偏導數的代數運算法則

若 $f,g$ 在 $a$ 處都有第 $i$ 個偏導數，則

$$\partial_i(f+g)(a)=\partial_if(a)+\partial_ig(a),$$$$\partial_i(fg)(a)=g(a)\partial_if(a)+f(a)\partial_ig(a).$$

若另有 $g(a)\ne0$，則沿該座標直線在 $a$ 附近商有定義，並且

$$\partial_i(f/g)(a) =\frac{g(a)\partial_if(a)-f(a)\partial_ig(a)}{g(a)^2}.$$

證明只需把兩個函數限制在同一條座標直線上，再應用一元求導規則。商法則中的非零條件也可在該直線上解釋：限制函數可導，因此在該點連續；分母在點處非零，就會在足夠短的座標移動中繼續非零。這個論證沒有假設整個多元函數已經連續。

定理

連續混合偏導數的交換

若 $f$ 在 $(a,b)$ 的某個開鄰域上屬於 $C^2$，則

$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).$$

更一般地，若函數屬於 $C^r$，則任意不超過 $r$ 階的重複偏導數都可以交換求導次序而不改變結果。

這一定理是在條件滿足時允許交換次序，並非把兩種混合偏導數直接定義為同一個對象。對由初等光滑函數組成、且點處位於定義域內部的表達式，條件常可立即驗證；對特殊點上的分段定義，不能因為遠離該點時的公式看起來平滑，就推斷該點也滿足條件。

證明思路

證明

用一個矩形增量比較兩個求導次序

對充分小的非零 $h,k$，考慮

$$A(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b).$$

先沿 $x$ 方向、再沿 $y$ 方向使用一元平均值定理，可在矩形內部找到中間點，使

$$\frac{A(h,k)}{hk}=f_{xy}(\xi,\eta).$$

反過來使用平均值定理，可以找到另一組中間點，使

$$\frac{A(h,k)}{hk}=f_{yx}(\widetilde\xi,\widetilde\eta).$$

當 $(h,k)\to(0,0)$ 時，兩組中間點都趨向 $(a,b)$。混合偏導數的連續性使兩個右側分別趨向目標點處的混合偏導數；左側始終是同一個量，因此兩個極限相等。負的增量可用端點之間的區間作同樣處理。

矩形四項差消除了僅由一個座標產生的變化。它比較的是先改變一個座標後，另一個座標所產生的額外變化。兩次平均值定理選出的中間點無需相同；連續性把它們的函數值帶到同一個目標點。這也解釋了為什麼證明中需要關於偏導數的連續性。

高階情形可通過反覆交換相鄰的求導次序得到。每一次交換都把適當的低階導數看成新的函數，應用二階結果。$C^r$ 條件保證整個過程中需要的導數存在且具有連續性，而不是隻保證最終寫出的符號有意義。

例題詳解

例題

三個輸入分別變化

設

$$f(x,y,z)=x^2y+e^{xz}\sin y.$$

逐個固定其餘兩個變量，得到

$$f_x=2xy+ze^{xz}\sin y,\qquad f_y=x^2+e^{xz}\cos y,\qquad f_z=xe^{xz}\sin y.$$

因此

$$\nabla f(1,0,0)=(0,2,0).$$

可直接核對第二個分量：沿該座標直線，$f(1,t,0)=t+\sin t$，在零點的導數等於二。第一條座標直線則給出 $f(t,0,0)=0$，所以導數為零。

進一步計算，

$$f_{xy}=2x+ze^{xz}\cos y=f_{yx}.$$

由於函數光滑，計算前就已知道兩者相等。兩種次序分別算一遍，還可檢查指數求導產生的因子有沒有遺漏。這裏的梯度首先表示三個獨立的座標實驗；一般方向的解釋需要下一節的可微性。

例題

偏導數存在，函數卻不連續

定義

$$g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

兩條座標軸上的函數值恆為零，所以由定義立刻得到

$$g_x(0,0)=g_y(0,0)=0.$$

但沿 $y=x$ 有 $g(t,t)=1/2$，對所有非零 $t$ 都成立。這個值不趨向 $g(0,0)$，所以原點處不連續。

兩種結論沒有矛盾。偏導數只考察規定的一條直線，連續性卻考察定義域中所有充分接近的點。座標軸恰好沒有看見對角線上的行為。因此，不能看到梯度為零，就認定函數在附近不變化或能夠被一個常數良好近似。

例題

特殊點處不相等的混合偏導數

定義

$$q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

由於兩條座標軸上的限制恆為零，$q_x(0,0)=q_y(0,0)=0$。固定 $y\ne0$，直接計算

$$q_x(0,y)=\lim_{h\to0}y\frac{h^2-y^2}{h^2+y^2}=-y.$$

於是 $q_{xy}(0,0)=-1$。同樣，固定 $x\ne0$ 可得 $q_y(x,0)=x$，所以 $q_{yx}(0,0)=1$。

原函數在原點其實連續，因為

$$|q(x,y)|\le |xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}.$$

這個估計說明，僅要求原函數連續仍不足以保證混合偏導數相等。定理中的連續條件約束的是導數，而不只是原函數的值。

可靠的計算步驟

先寫清開定義域，處理對數真數、根式和分母限制；再明確這一步對哪個變量求導。把其餘獨立變量視作固定數，求出表達式以後才代入座標。這個次序能夠保留那些在目標點恰好為零、但在求導時不能預先刪除的項。

面對分段函數，先判斷目標點是否屬於特殊定義的部分。遠離特殊點時可以使用通常的表達式規則；在特殊點處，應回到差商定義。只在分母非零處推導的公式，不能直接通過代入分母為零的點來使用。計算附近的偏導數時，還要分別說明附近點落在哪一段。

重複求導時，若下標容易混淆，就寫出中間的一階偏導數。只有在核實交換定理的條件後，才能用另一種次序簡化計算。對於光滑函數，兩種次序同時計算也是有效的算術核查。出現不同答案時，應同時檢查計算與條件，不能僅憑符號形式斷言哪一個必然錯誤。

從一個變化率到一個導函數

記號 $f_x$ 實際涉及兩種對象。固定點處的 $f_x(a,b)$ 是由一個差商極限得到的數；在這些極限都存在的區域上，把每個點映到該偏導數值，才得到新的函數 $(x,y)\mapsto f_x(x,y)$。二階偏導數研究的是這個新函數。知道新函數在一點的值，並不足以求出它在該點的導數。

例如，$f_x(a,b)=0$ 只說明導函數在這一個點的值為零，不說明鄰近點處也為零，更不能推出 $f_{xy}(a,b)=0$。按定義計算後者，需要先求出小的非零 $k$ 對應的 $f_x(a,b+k)$，再計算差商。前面的混合偏導數反例正是先求附近的一階偏導數，再作第二次極限。

這也說明第一次求導以後仍需檢查定義域。導函數的定義域可能比原函數小，特殊點上的值也可能需要單獨處理。如果有效區域有所變化，應把它寫在導函數旁邊。一個代數表達式即使正確，若缺少適用區域，在下一步求邊界極限或特殊點導數時仍會造成誤導。

常見錯誤

常見錯誤

過早代入把函數變成了一個數

若 $f(x,y)=x^2y$，雖然 $f(0,0)=0$，但對這個數求導不能得到偏導數函數。應先求 $f_x(x,y)=2xy$。若使用定義求特殊點處的導數，要讓一個座標在該點附近變化，而非把所有鄰近輸入都替換成同一個點。

另一個常見混淆是把依賴關係與獨立輸入混在一起。符號 $f_x$ 的約定是保持 $y$ 固定；而對 $f(x,y(x))$ 求一元導數時，兩條輸入通道都可能變化。公式外觀相同，不表示問題相同；求導方式取決於允許輸入怎樣移動。

梯度也不是函數值本身。零梯度說明該點的一階座標變化率為零，並不說明函數值為零、附近恆為常數，或該點一定是極大或極小點。即使函數十分光滑，二階及更高階的信息仍可能區分完全不同的局部形狀。

總結

偏導數是一條座標限制上的一元導數。梯度收集所有一階座標變化率，重複偏導數則研究這些變化率怎樣繼續變化。代數法則來自一元微積分；連續混合偏導數可以交換次序，僅有存在性不能保證交換。計算時應始終保留定義域、目標點和求導次序。

練習

思考檢查

設 $f(x,y)=\log(1+x^2+y^2)$，求 $\nabla f(1,2)$ 與 $f_{xy}(1,2)$。

再次求導時，分母也依賴於正在變化的變量。

解答 · 解答一：光滑對數函數

由於真數處處為正，

$$\nabla f=\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2}\right).$$

所以 $\nabla f(1,2)=(1/3,2/3)$。再求導得

$$f_{xy}=-\frac{4xy}{(1+x^2+y^2)^2},\qquad f_{xy}(1,2)=-\frac29.$$

思考檢查

設 $p(x,y)=xy^2$，從座標限制的定義直接求 $p_x(2,-1)$ 與 $p_y(2,-1)$。

兩種偏導數對應兩條不同的座標限制。

解答 · 解答二：兩條不同的限制

第一個座標方向上，$p(2+t,-1)=2+t$，所以差商等於一。第二個方向上，

$$\frac{p(2,-1+t)-p(2,-1)}{t} =\frac{2(-1+t)^2-2}{t}=-4+2t.$$

因此兩個偏導數分別為 $1$ 與 $-4$。

思考檢查

設 $r(x,y)=x^3y^2$，計算兩個二階混合偏導數，並說明它們為何處處相等。

按約定，$r_{xy}$ 表示先求 $r_x$，再對 $y$ 求導。

解答 · 解答三：計算次序與定理條件

$r_x=3x^2y^2$，$r_y=2x^3y$，所以 $r_{xy}=6x^2y=r_{yx}$。多項式在整個 $\mathbb R^2$ 上屬於 $C^\infty$，混合偏導數交換定理處處適用。

只在一點使用 Clairaut：各項條件究竟做甚麼？

定理

只要求目標點連續的 Clairaut 定理

設 $f$ 定義在包含 $p=(a,b)$ 的開集上。假設 $f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 在 $p$ 周圍的某個開球內處處存在，而且這兩個混合偏導函數都在 $p$ 連續，則

$$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).$$

這裏 $f_{xy}=\partial_y(f_x)$。在開球內存在，包含了定義混合偏導所需的一階偏導存在。連續性只要求在目標點成立，不要求在球內每一點成立。

條件中有兩個不同的範圍。附近存在，讓我們能夠沿證明中的小矩形求導；目標點連續，讓中間點處的導數值趨向我們所求的導數值。只知道兩個混合偏導在 $p$ 存在，並不能滿足第一項。只知道原函數 $f$ 連續，也不能滿足第二項。

前面的 $C^2$ 版本是方便使用的充分條件：它要求所有二階偏導在整個鄰域連續。這裏的逐點版本要求更弱，特別是不要求 $f_{xx}$ 或 $f_{yy}$ 連續。反過來，某一點兩個混合偏導相等，也不能證明上述正則性條件；充分條件不等於必要條件。

證明

矩形證明為甚麼只需目標點連續？

沿用前面的增量 $A(h,k)$，並把 $h,k$ 取得足夠小，使整個矩形都在球內。令 $g(x)=f(x,b+k)-f(x,b)$。由於 $f_x$ 存在，$g$ 在稍大的區間上可導，因此在 $a$ 與 $a+h$ 之間的閉區間連續。一元中值定理給出

$$A(h,k)=h\bigl(f_x(\xi,b+k)-f_x(\xi,b)\bigr).$$

再對 $y\mapsto f_x(\xi,y)$ 使用中值定理；它的導數 $f_{xy}$ 在所需區間內存在，所以

$$A(h,k)=hk f_{xy}(\xi,\eta).$$

交換兩個座標的角色，得到 $A(h,k)=hk f_{yx}(\widetilde\xi,\widetilde\eta)$。每個中間點都在不斷縮小的矩形內，因此都趨向 $p$。兩個混合偏導在 $p$ 連續，就給出了同一個商 $A(h,k)/(hk)$ 的兩個極限；它們必須相等。整個論證沒有要求混合偏導在 $p$ 以外的點連續。

例題

用定理選擇更方便的求導次序

設 $F(x,y)=x^2y^3+e^{xy}$，求 $F_{xy}(1,0)$。多項式與指數函數的乘積、複合在整個 $\mathbb R^2$ 上光滑，所以定理適用。按題目所寫的次序求導，得到

$$F_x=2xy^3+ye^{xy},\qquad F_{xy}=6xy^2+e^{xy}+xye^{xy},\qquad F_{xy}(1,0)=1.$$

反過來先求 $F_y=3x^2y^2+xe^{xy}$，再對 $x$ 求導，也得到同一表達式。定理容許我們選擇次序，而兩個結果一致也能核對計算。如果在兩次求導之前先把 $y=0$ 代入 $F$，就抹掉了橫向變化的資訊，可能錯誤地得到零。

常見錯誤

不能使用定理，不代表已經證明不相等

如果尚未證明連續性，應說「暫時不能用 Clairaut」，而不是「混合偏導不相等」。要證明不相等，需要像前面的分段例子一樣，分別計算。正確的逆否推理是：若兩個混合偏導在某個球內存在，卻在球心取不同值，則它們不可能都在球心連續。

思考檢查

4. 區分定理條件與結論。

假設 $f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 在 $p$ 周圍的球內存在，並在 $p$ 連續，但沒有提供 $f_{xx}$ 或 $f_{yy}$ 的資訊。能否推出它們在 $p$ 相等？能否推出整個球內處處相等？如果只知道在 $p$ 存在，又怎樣？

解答 · 4. 逐點資訊給出逐點結論

逐點 Clairaut 定理保證在 $p$ 相等，不需要純二階偏導的資訊。題設不能保證整個球內處處相等：其他點的連續性沒有給出，應在滿足條件的點分別應用定理。如果只知道在 $p$ 存在，就不能保證相等。前面的函數 $q$ 滿足 $q_{xy}(0,0)=-1$、$q_{yx}(0,0)=1$，明確否定了這個更弱的命題。