3.3 鏈式法則與方向導數

動機

一個量常常依賴於一些中間變量，而這些變量又依賴於其他輸入。高度取決於水平位置，位置又取決於時間；用直角座標表示的函數，也可以通過極座標輸入來研究。在這兩種情形中，變化都要經過中間變量。鏈式法則負責把每條影響路徑的貢獻準確相加。

可微性讓這個過程有嚴格依據。每一層函數都可以用線性映射近似，因此複合函數可以用這些線性映射的複合來近似。在座標中，複合對應矩陣乘法。矩陣的行列數記錄輸入、中間變量和輸出各有多少個，所以核對維數本身也是核對依賴結構的一種方法。

方向導數是特別重要的一種複合：把函數限制在經過基點的某條直線上。鏈式法則於是把梯度轉化為沿該直線的變化率。若限制在一般可微曲線上，就得到隨路徑移動時的變化率。這些公式把座標求導與最快上升、下降和等值集的幾何問題聯繫起來。

開始之前

對於 $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，雅可比矩陣有 $m$ 行、$n$ 列。位移採用列向量；實值函數的梯度通過內積作用於位移。每寫一個雅可比矩陣，都應同時註明它的取值點：外層導數在內層函數的輸出處計算。

定義

定義

指定方向上的導數

設 $f$ 定義在 $a\in\mathbb R^n$ 的開鄰域內，$u$ 是單位向量。若有限雙側極限

$$D_uf(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$

存在，就稱它為沿 $u$ 的方向導數。因為 $\|u\|=1$，參數 $t$ 表示沿該直線的帶符號距離。

同一個差商也可以使用任意固定向量 $v$。此時描述的是參數變化一單位時的輸出變化，移動速度為 $\|v\|$。若 $v\ne0$，相應變化率等於 $\|v\|D_{v/\|v\|}f(a)$。單位向量約定的作用，是把幾何方向與人為選擇的移動速度分開。

路徑 $a+tu$ 只是接近該點的一種規定方式。沿它的導數存在，首先只說明這條路徑上的行為。即使每個方向導數都存在，也不自動保證有一個線性近似適用於所有小位移。下面的公式利用可微性建立這種更強的聯繫。

定義

沿曲線觀察到的變化率

設 $\gamma:I\to\mathbb R^n$ 為可微曲線，$t_0$ 位於區間內部，且 $f$ 定義在 $\gamma(t_0)$ 附近。沿曲線觀察到的量是一元函數 $f\circ\gamma$；它在 $t_0$ 處的導數表示相對於曲線參數的變化率。向量 $\gamma'(t_0)$ 是速度，同時包含方向與速率。

因此，時間導數和單位方向導數可能具有不同單位。以秒為參數的曲線給出每秒的輸出變化；空間座標下的單位方向導數給出每單位距離的輸出變化。若當前速率非零，把前者除以速率，才得到當前移動方向上每單位距離的變化率。

定理與命題

定理

矩陣形式的鏈式法則

設 $F:U\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 在 $a$ 處可微，$G:V\subseteq\mathbb R^m\to\mathbb R^p$ 在 $F(a)$ 處可微。假設 $U,V$ 為開集，且複合函數在 $a$ 附近有定義，則

$$D(G\circ F)(a)=DG(F(a))\,DF(a).$$

矩陣維數為 $(p\times m)(m\times n)=p\times n$。

內層導數先作用於輸入位移，所以雖然它寫在乘積右邊，實際作用的次序卻在前。顛倒兩個矩陣通常會改變結果，甚至使乘法沒有定義。外層取值點 $F(a)$ 同樣不可遺漏：外層導數衡量的是從當前輸入真正到達的中間位置附近的響應。

定理

曲線變化率與梯度

若 $f$ 在 $a=\gamma(t_0)$ 處可微，且 $\gamma$ 在 $t_0$ 處可微，則

$$(f\circ\gamma)'(t_0)=\nabla f(a)\cdot\gamma'(t_0).$$

特別地，對單位向量 $u$，

$$D_uf(a)=\nabla f(a)\cdot u.$$

若 $\nabla f(a)\ne0$，最大的單位方向變化率為 $\|\nabla f(a)\|$，在方向 $\nabla f(a)/\|\nabla f(a)\|$ 取得；最小值為其相反數，在反方向取得。

柯西–施瓦茨不等式把內積的絕對值控制在梯度範數以內，等號條件確定最大與最小的方向。如果梯度為零，所有單位方向導數均為零，就沒有唯一的一階最快上升方向。僅憑這個結論還不能判斷該點是不是極值點。

證明思路

證明

把兩個線性近似連接起來

令 $A=DF(a)$、$b=F(a)$、$B=DG(b)$。對小位移，

$$F(a+h)=b+Ah+r(h),\qquad r(h)=o(\|h\|).$$

記 $\Delta=Ah+r(h)$。外層展開為

$$G(b+\Delta)=G(b)+B\Delta+s(\Delta), \qquad s(\Delta)=o(\|\Delta\|).$$

代入後，一階項為 $BAh$，餘項為 $Br(h)+s(\Delta)$。由線性映射的範數上界，充分小的 $h$ 滿足 $\|\Delta\|\le C\|h\|$。所以 $Br(h)=o(\|h\|)$，外層餘項估計也推出 $s(\Delta)=o(\|h\|)$；若 $\Delta=0$，該餘項直接等於零。因此複合函數具有導數 $BA$。

把鏈式法則用於直線 $\gamma(t)=a+tu$，由於直線的導數就是列向量 $u$，便得到方向導數公式。把它用於一般可微曲線，便得到速度內積公式。這個推導不要求曲線以單位速率移動。

等值集也有一個直接的幾何結果。若可微曲線在 $t_0$ 附近滿足 $f(\gamma(t))=c$，則沿曲線觀察到的值恆定，因而

$$\nabla f(a)\cdot\gamma'(t_0)=0.$$

當梯度非零時，它垂直於所有這樣的切向量。三維正則等值面的法向量可由此確定。這裏討論的是真正在等值集中運動的可微曲線，而不是先假定任意向量都一定能由這樣的曲線實現。

例題詳解

例題

兩層向量函數的乘法次序

設

$$F(x,y)=(x^2+y,\ x-y^2),\qquad G(u,v)=(ue^v,\ u^2+v).$$

在 $a=(1,1)$，中間輸出為 $F(a)=(2,0)$，所以

$$DF(a)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}, \qquad DG(F(a))=\begin{pmatrix}1&2\\4&1\end{pmatrix}.$$

按複合次序相乘得

$$D(G\circ F)(a)=\begin{pmatrix}4&-3\\9&2\end{pmatrix}.$$

例如第一行第一列的 $1\cdot2+2\cdot1=4$，就是輸入 $x$ 經過兩條中間通道，對第一個最終輸出產生的總影響。

可直接核對：第一個複合分量是 $(x^2+y)e^{x-y^2}$，在 $(1,1)$ 的兩個偏導數為 $4,-3$；第二個分量是 $(x^2+y)^2+x-y^2$，兩個偏導數為 $9,2$。獨立展開核對了矩陣次序與各層取值點。

例題

實際路徑與最快上升方向

設 $T(x,y)=40-2x^2-y^2$，路徑為 $\gamma(t)=(1+t,2-t^2)$。當 $t=0$ 時，位置是 $a=(1,2)$，速度是 $(1,0)$，而

$$\nabla T(a)=(-4,-4).$$

因此沿當前路徑的變化率為 $-4$。直接代入得 $T(\gamma(t))=34-4t+2t^2-t^4$，在零點的導數也為負四。

同一點處，單位距離下最快上升的方向是 $(-1,-1)/\sqrt2$，速率為 $4\sqrt2$；最快下降方向相反，速率為 $-4\sqrt2$。方向 $(1,-1)/\sqrt2$ 的一階變化率為零，它是等值橢圓 $2x^2+y^2=6$ 的切向方向。

實際運動方向由速度決定，並不一定是最快上升方向。最快方向問題是在同一個點比較所有單位方向；這裏的幾何比較使用兩個座標相同的空間單位。

例題

極座標中的角度變化率

設 $f(x,y)=x^2y+xy^2$，並令

$$P(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta),\qquad r>0.$$

其雅可比矩陣為

$$DP(r,\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{pmatrix}.$$

對 $H=f\circ P$，鏈式法則給出

$$H_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta,\qquad H_\theta=-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta,$$

其中 $f$ 的偏導數在 $P(r,\theta)$ 處取值。

當 $(r,\theta)=(2,\pi/2)$，直角座標點為 $(0,2)$，此時 $f_x=4$、$f_y=0$。因此 $H_r=0$、$H_\theta=-8$。角度參數對應的切向速度向量長度為二，所以同一切向方向上每單位距離的變化率是 $-4$。因子 $r$ 記錄沿圓周的速度，不能從角度導數中隨意刪除。

閲讀依賴關係圖

設 $w=g(u_1,\ldots,u_m)$，而每個中間變量 $u_j$ 都依賴於 $x_1,\ldots,x_n$。對固定輸入 $x_i$，

$$\frac{\partial w}{\partial x_i} =\sum_{j=1}^m\frac{\partial g}{\partial u_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}.$$

每一項對應從 $x_i$ 經過 $u_j$ 到輸出的一條路徑。沿路徑相乘，再對所有中間變量求和，恰好就是雅可比矩陣的行乘列規則。

同一項中的兩個因子屬於不同層次。第一個因子在當前的中間變量值處計算，第二個因子在原始輸入點處計算。先寫明這些點，再相乘，能夠避免把所有導數都代入同一個座標組，甚至把維數不符的座標代入外層函數。

長複合中的矩陣乘法可以利用結合律分組，但不能改變各層的次序。每一次乘法都可用維數核對。標量輸出不意味着它的雅可比矩陣應寫成列：它是一行，作用於輸入列向量。梯度內積記號表達的正是同一個線性作用。

選擇題目真正要求的變化率

先識別參數：題目問的是每秒、每單位距離，還是每單位角度的變化？若問沿某方向每單位距離的變化，應把方向向量歸一化；若問沿實際運動每秒的變化，應保留速度向量的長度。若變化的是座標變換中的角度，就使用變換雅可比矩陣相應的列。

再確定各空間中的基點。曲線參數給出空間位置，座標變換給出直角座標輸入，內層函數給出外層導數的取值點。把這些值固定以後，才組裝導數因子。這樣能把“函數怎樣連接”與“當前在哪裏計算”分開檢查。

最後解釋符號和大小。內積為負表示此刻沿指定運動函數正在下降；內積為零表示沒有一階變化，並不保證沿整條直線一直保持常數。運動繼續後，曲率與高階效應仍可改變函數值。對於等值集，零變化來自路徑確實留在同一水平集中的條件。

切向方向不等於整條直線都是等值線

考慮 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(1,0)$ 處的情況。梯度為 $(2,0)$，所以豎直單位方向的方向導數為零。但沿豎直直線，$f(1,t)=1+t^2$；每個非零位移都會改變函數值，雖然基點處的導數為零。

與之比較，曲線 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ 經過同一個點，在零點也有相同的豎直速度，卻因為 $f(\gamma(t))=1$ 而始終留在等值圓上。兩條路徑的一階觀察變化率相同，二階偏離卻不同。方向導數記錄的是共同的一階信息，不負責區分後續效應。

這個比較說明切向量是瞬時速度，並不保證沿着相應整條直線都留在曲面上。使用梯度作法向量時，先明確等值集方程，並核實目標點處梯度非零；再對真正留在該集合中的曲線應用鏈式法則。這樣得到的正交關係是精確的局部結論，即使等值集整體形狀較複雜也成立。

常見錯誤

常見錯誤

方向向量與速度向量扮演不同角色

若方向由 $v=(3,4)$ 給出，單位代表是 $(3/5,4/5)$。使用 $a+tv$ 的差商表示以速率五移動，所以其變化率是單位方向變化率的五倍。只有要求每單位距離的變化時才需要歸一化；把實際速度歸一化會改變時間導數。

不能只因偏導數存在就使用梯度內積公式。該公式的條件是可微。即使所有方向導數都存在，它們對方向的依賴也可能不是線性的。最後一道練習給出連續函數的具體例子，指出這種差別。

總結

鏈式法則複合導數映射，並按函數次序相乘雅可比矩陣。沿曲線的實值變化率是梯度與速度的內積；單位方向下就是方向導數。柯西–施瓦茨不等式確定最快上升與下降。等值集中的切向速度垂直於梯度。取值點、矩陣維數和參數單位共同保證這些解釋一致。

練習

思考檢查

設 $F(s,t)=(s+t,st)$、$G(u,v)=u^2+v$，用矩陣鏈式法則求 $D(G\circ F)(1,2)$。

外層導數應在 $F(1,2)$ 處取值。

解答 · 解答一：兩個中間輸入之後的一個輸出

$F(1,2)=(3,2)$，所以 $DG(3,2)=(6,1)$，並且

$$DF(1,2)=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}.$$

相乘得行向量 $(8,7)$。

思考檢查

設 $f(x,y)=e^{x-y}+xy$，求原點處沿 $(3,4)$ 方向的單位方向變化率，以及最大的單位方向變化率。

先歸一化方向，再計算內積。

解答 · 解答二：指定方向與最大速率

函數光滑，$\nabla f(0,0)=(1,-1)$。給定方向的單位向量為 $(3/5,4/5)$，所以變化率為 $-1/5$。最大單位變化率為 $\sqrt2$，在 $(1,-1)/\sqrt2$ 方向取得。若直接使用 $(3,4)$，得到的是參數變化率 $-1$。

思考檢查

在原點外定義 $q(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$，並令 $q(0,0)=0$。證明原點處所有方向導數存在，但函數不可微。

先沿任意固定單位向量計算，再與座標偏導數所決定的候選梯度比較。

解答 · 解答三：方向信息未必線性

對單位向量 $u=(u_1,u_2)$ 及非零 $t$，有 $q(tu)=tu_1^3$，所以每個方向上 $D_uq(0)=u_1^3$。座標偏導數給出候選梯度 $(1,0)$；若可微，則在 $(1,1)/\sqrt2$ 方向上的導數應是 $1/\sqrt2$，實際卻為 $1/(2\sqrt2)$，因此不可微。它仍然連續，因為 $|q(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}$。

直線可能錯過彎曲的趨近路徑

學習鏈式法則時，可以先看標量內層函數 $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 與一元外層函數 $\phi$。若 $g$ 在 $p$ 可微，$\phi$ 在 $g(p)$ 可微，且複合在附近有定義，則

$$D(\phi\circ g)(p)=\phi'(g(p))Dg(p).$$

這個標量情形可以先於一般矩陣法則學習。例如 $g(x,y)=x^2+y^2$、$\phi(s)=e^s$，複合函數在 $(1,0)$ 的梯度是 $e(2,0)=(2e,0)$。外層導數代入的是 $g(1,0)=1$，而不是輸入座標對。在已經可微的條件下，方向導數公式也能直接由線性餘項定義推出，毋須先掌握矩陣乘法。

例題

所有方向導數都存在，函數卻不連續

在整個平面上定義

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}$$

分母只在原點為零，而原點的函數值已單獨指定。固定一個單位方向 $u=(a,b)$，滿足 $a^2+b^2=1$。我們必須計算定義中的差商，不能先假設梯度公式成立。當 $t\ne0$ 時，

$$f(ta,tb)=\frac{t a b^2}{a^2+t^2b^4}.$$

若 $a\ne0$，先除以 $t$，再取極限，得到

$$D_uf(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{a b^2}{a^2+t^2b^4}=\frac{b^2}{a}.$$

若 $a=0$，整條直線都有 $x=0$，所以 $f(0,tb)=0$，從而 $D_uf(0,0)=0$。這一情況必須單獨處理，因為 $b^2/a$ 此時無定義。因此，每個固定單位方向都有有限的雙側方向導數。沿每條固定直線，函數本身也都趨向零。

現在沿拋物線 $\gamma(t)=(t^2,t)$ 趨近。當 $t\ne0$ 時，

$$f(t^2,t)=\frac{t^4}{t^4+t^4}=\frac12,\qquad \|\gamma(t)\|=\sqrt{t^4+t^2}\longrightarrow0.$$

函數值不趨向 $f(0,0)=0$。因此 $f$ 在原點不連續，更不可能在那裏可微。只要一條這樣的路徑就能否定連續性，毋須檢查所有可能的曲線。

為甚麼所有直線檢查都錯過了它？直線固定兩個座標的比例；拋物線上卻有 $x=y^2$，趨近原點時方向在改變。沿這條曲線，分母兩項始終完全平衡。沿固定的非豎直直線，$x^2$ 最終主導 $y^4$；豎直線上則是分子恆為零。對每個固定方向分別成立的結論，不等於對隨距離變化的方向有統一估計。

常見錯誤

座標偏導存在，不代表可以使用鏈式法則

這裏 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。若錯誤地使用梯度公式，就會斷言所有方向的變化率都是零。實際上，$u=(1,1)/\sqrt2$ 的定義差商給出 $D_uf(0,0)=1/\sqrt2$。此外，雖然 $\gamma'(0)=(0,1)$，複合函數 $f\circ\gamma$ 在零點卻連連續都做不到。不能使用鏈式法則，因為 $f$ 可微這一條件不成立。

思考檢查

4. 比較直線、曲線路徑與前面的連續反例。

對上面的 $f$，求 $u=(3/5,4/5)$ 與 $u=(0,1)$ 的方向導數。對固定實常數 $c$ 和 $t\ne0$，計算 $f(ct^2,t)$。說明為甚麼它對連續性的否定，比前面在原點取零的 $q(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$ 更強。

解答 · 4. 方向導數中的方向必須固定

第一個方向導數是 $(4/5)^2/(3/5)=16/15$；豎直方向導數是零。沿這一族曲線路徑，

$$f(ct^2,t)=\frac{ct^4}{c^2t^4+t^4}=\frac{c}{c^2+1}.$$

每個固定的 $c\ne0$ 都在輸入趨近原點時給出非零極限。這些是曲線路徑，而不是方向向量固定的直線。前面的 $q$ 雖然所有方向導數存在且不可微，卻仍然連續，因為 $|q(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}$。兩個例子都不可微，只有現在的 $f$ 還不連續。必須區分這兩種不同的邏輯失敗。