2.3 連續性與緊緻性

極限描述鄰近點的函數值；連續性還要求這些值與中心點的函數值一致。這個看似很小的補充，正是近似計算能夠成立的原因：輸入測量只有很小誤差時，連續模型的輸出誤差也能控制得很小。在多個變量的情形，控制必須覆蓋所有可用方向；在邊界處，則必須通過實際定義域來理解趨近。

連續性是局部性質，緊緻性則是整個集合的性質。兩者結合，可以推出從單點公式中不易看出的整體結論：非空緊集上的連續實函數一定取得最大值和最小值，而且同一個輸入容差可以控制整個集合上的輸出誤差。本節將解釋這些結論之間的推理鏈條，而不把它們當成互不關聯的規則。

指定定義域上的連續性

定義

一點處連續

設 $F:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，且 $a\in D$。若對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使

$$x\in D,\quad\|x-a\|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \|F(x)-F(a)\|<\varepsilon,$$

則 $F$ 在 $a$ 處相對於 $D$ 連續。若這一條件在每個定義域點成立，則稱 $F$ 在 $D$ 上連續。

若 $a$ 是 $D$ 的聚點，定義等價於 $\lim_{x\to a,\ x\in D}F(x)=F(a)$。若 $a$ 是孤立點，連續性自動成立：取一個只包含該定義域點的小球即可。使用全部定義域點的定義，同時涵蓋這兩種情況，不必在孤立點處另談去心極限。

數列判據提供另一種判斷方式：$F$ 在 $a$ 連續，當且僅當 $x_k\in D$ 且 $x_k\to a$ 必然推出 $F(x_k)\to F(a)$。這裏允許數列項等於 $a$。證明與極限數列判據相同；若連續性失敗，就能選出距離 $a$ 小於 $1/k$ 的輸入，其輸出誤差始終超過固定正數。

定理

連續性的代數與複合性質

連續標量函數的和、常數倍和乘積仍連續；分母非零的地方，商函數連續。若 $F:D\to E$ 在 $a$ 連續，且 $G:E\to\mathbb R^p$ 在 $F(a)$ 連續，則 $G\circ F$ 在 $a$ 連續。

證明

把容差傳過複合函數

給定 $G\circ F$ 的輸出容差 $\varepsilon$，由 $G$ 連續，先找到中間容差 $\eta>0$：$E$ 內與 $F(a)$ 距離小於 $\eta$ 的輸入，會產生與 $G(F(a))$ 距離小於 $\varepsilon$ 的輸出。再由 $F$ 連續，找到 $\delta>0$，使與 $a$ 距離小於 $\delta$ 的定義域輸入，其像與 $F(a)$ 距離小於 $\eta$。串起兩個藴含式即可。

代數結論在聚點處由極限法則推出，在孤立點處直接應用定義。商的分母值非零，保證鄰近分母與零保持距離，從而獲得所需的倒數上界。

座標函數連續，因為一個座標的差不超過歐幾里得輸入距離。因此多項式處處連續，有理函數在其自然定義域上連續，熟悉的一元連續函數也可以與多元表達式複合。直接代入正是由這些結論支持的，前提是代入點處參與的全部運算有定義。

連續延拓與邊界點

例題

補上一個可去的點

對 $(x,y)\ne(0,0)$，定義

$$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}.$$

分母在那裏為正，因此 $f$ 在原點以外連續。又有

$$|f(x,y)|\le |x|\le\sqrt{x^2+y^2},$$

所以原點處極限為零。定義 $f(0,0)=0$，便得到整個平面上的連續函數。

新添的值是被極限唯一決定的：若延拓連續，原點值必須等於已確定的極限。指定其他實數雖然仍得到有定義的函數，卻在原點不連續。延拓把原點加入了定義域，並不是使原來的分式在該點突然有意義。

例題

無法連續補上的點

考慮

$$g(x,y)=\frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2},\qquad(x,y)\ne(0,0).$$

沿橫軸 $g=1$，沿縱軸 $g=-2$，所以原點處不存在極限。無論給原點指定什麼單一數值，都不能使它連續。

不過，該商在現有定義域的每一點仍然連續。“在定義域上連續”與“可連續延拓到更大的定義域”是兩種不同陳述。前者由每個定義域點處分母非零保證；後者需要在新加入的點重新檢驗極限。

例題

定義域邊緣處的連續性

令

$$D=\{(x,y):x^2+y^2\le9\},\qquad h(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}.$$

根號內的多項式連續，且它在 $D$ 上的值屬於 $[0,9]$。平方根在該區間上連續，包括零點；複合性質於是證明 $h$ 在整個 $D$ 上連續，包括邊界圓周。

在 $a=(3,0)$，令 $r=\|(x,y)\|$。對 $D$ 內輸入，

$$|h(x,y)-h(a)|=\sqrt{9-r^2} \le\sqrt{6(3-r)} \le\sqrt{6\|(x,y)-a\|}.$$

最後一步使用反三角不等式。因此邊界點處可取 $\delta=\varepsilon^2/6$。定義只約束 $D$ 內輸入，不要求實公式未定義的區域也滿足條件。

閉且有界為何重要

定義

歐幾里得空間中的有界集與緊集

若集合能被某個有限半徑球包含，它就是有界集。若它的每個開覆蓋都有有限子覆蓋，它就是緊集。海涅–博雷爾定理指出，在 $\mathbb R^n$ 中，緊緻等價於同時閉且有界。

這兩個條件分別承擔不同任務。有界性防止數列逃向無窮遠，閉性保證收斂數列的極限仍留在集合內。有界開圓盤缺少第二個條件；整條直線滿足第二個條件，卻不滿足第一個。因此它們在環境歐幾里得空間中都不是緊集。

定理

緊集中的收斂子列

$\mathbb R^n$ 中每個有界數列都有收斂子列。因此緊集 $K\subseteq\mathbb R^n$ 中每個數列，都有一個收斂到 $K$ 內某點的子列。反過來，這種子列性質也能刻畫 $\mathbb R^n$ 中的緊集。

證明

分清有界性與閉性各自的作用

先看有界數列。第一座標形成有界實數列，由一維波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理，可以抽出第一座標收斂的子列。再從這個子列抽出第二座標收斂的子列，如此繼續，直到有限個座標全部處理完。最終子列每個座標都收斂，因此向量子列收斂。

若原來的點全在閉集 $K$ 中，這個子列的極限仍屬於 $K$。結合有界性，就得到緊集上的結論。

反之，若滿足子列性質的集合無界，可以選第 $k$ 項範數大於 $k$，它不可能有收斂子列。若集合不閉，可選集合內點列收斂到一個缺失的閉包點。每個子列仍趨於該缺失點，與“有子列收斂到集合內”的要求矛盾。因此集合閉且有界，再由海涅–博雷爾定理得到緊緻性。

這個論證也說明，開球內的數列仍然有收斂子列，因為它有界。可能失敗的只是“子列極限仍屬於原開球”：若各項趨向圓周，極限就落在缺失的邊界點上。把“存在子列極限”和“極限在集合內”分開，能準確看出兩個假設的作用。

連續像與可達到的最值

定理

緊集的連續像與最值定理

若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 連續，則 $F(K)$ 緊。特別地，若 $K$ 非空，$f:K\to\mathbb R$ 連續，則 $f$ 有界，而且在 $K$ 上取得最大值與最小值。

證明

從輸入子列追蹤輸出子列

任取 $y_k\in F(K)$，對每一項選 $x_k\in K$ 滿足 $F(x_k)=y_k$。由緊緻性，存在 $x_{k_j}\to a\in K$。由連續性，$y_{k_j}\to F(a)\in F(K)$。應用子列刻畫，得到 $F(K)$ 緊。

對於實值結論，像集是非空閉有界實數集，因此有有限上確界 $M$。選取大於 $M-1/k$ 的像值，它們趨於 $M$；由閉性，$M$ 本身也在像集中。所以存在輸入取得最大值。對下確界作同樣論證即可得到最小值。

定理保證存在，並不會自動給出最優點的位置。它也沒有說連續函數在任何選定定義域上都有最值。應用時，需要針對實際集合與函數逐一核對假設，再選擇計算方法尋找達到上界和下界的點。

例題

先保證存在，再計算最值

在橢圓填充區域

$$K=\{(x,y):x^2+4y^2\le16\}$$

上求 $f(x,y)=x+2y$ 的最值。集合閉且有界，函數連續，所以最大值和最小值都能達到。令 $u=x$、$v=2y$，則 $u^2+v^2\le16$，而

$$|u+v|\le\sqrt2\sqrt{u^2+v^2}\le4\sqrt2.$$

當 $u=v=2\sqrt2$ 時達到上界，對應 $(x,y)=(2\sqrt2,\sqrt2)$。取其相反數便達到下界。因此最大值為 $4\sqrt2$，最小值為 $-4\sqrt2$。

柯西–施瓦茨不等式給出數值及取等條件，緊緻性提供背後的存在結論；把等號點代回定義域，則確認這些界確實能夠達到。

去掉不同假設會改變結論。開單位圓盤上的連續函數 $x^2+y^2$ 有上確界一，卻達不到它。在閉且無界的整個平面上，連續函數 $x$ 無界。在緊圓盤上，把 $1/(x^2+y^2)$ 在原點外保留，再給原點任意有限值，仍會得到無界函數，因為原點連續性失效。這三個例子分別定位了最值論證可能斷開的不同環節。

一致連續性

定義

所有中心共用一個半徑

若對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使對全部 $x,y\in D$，

$$\|x-y\|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\|F(x)-F(y)\|<\varepsilon,$$

則稱 $F:D\to\mathbb R^m$ 一致連續。

普通連續性先固定中心，再選擇半徑；一致連續性則在兩個輸入點尚未指定以前，就先選擇半徑。輸出容差仍然任意，但選出的半徑必須適用於整個定義域。若有同一個常數 $C$ 使 $\|F(x)-F(y)\|\le C\|x-y\|$，一致連續性立即成立：$C>0$ 時取 $\delta=\varepsilon/C$；常數函數則任意正半徑都可用。

定理

緊集上連續必一致連續

從 $\mathbb R^n$ 的緊子集到 $\mathbb R^m$ 的每個連續映射都一致連續。

證明

兩個輸入趨近同一個極限點

若一致連續性失敗，就存在 $\varepsilon_0>0$，以及 $x_k,y_k\in K$，滿足

$$\|x_k-y_k\|<1/k,\qquad \|F(x_k)-F(y_k)\|\ge\varepsilon_0.$$

由緊緻性選取子列 $x_{k_j}\to a\in K$。三角不等式保證 $y_{k_j}\to a$。連續性使兩個輸出子列都趨於 $F(a)$，所以輸出差趨於零，與固定的正下界矛盾。

緊緻性是這個結論的充分條件，不是必要條件。整個 $\mathbb R^n$ 上的恆等映射保持距離，因此一致連續。另一方面，$t\mapsto1/t$ 在 $(0,1)$ 上連續，卻不一致連續：對 $k\ge2$ 取 $x_k=1/k$、$y_k=1/(k+1)$，輸入差趨於零，輸出差卻恆為一。

當同一個誤差預算需要適用於一整組可能輸入時，這一區別很有用。緊集上的連續模型能提供這樣的預算，即使最佳半徑很難明確算出。在單點處，連續性提供局部預算；一致連續性則說明何時這些局部控制能統一成整體控制。

用逆像認識連續性

連續性也有一種集合表述：定義域上的映射連續，當且僅當輸出空間中每個開集的逆像都相對於定義域開放。“相對於定義域開放”表示它是定義域與環境輸入空間某個開集的交。若定義域本身包含邊界點，這種說法尤其必要。

先看正向。取一個輸入，其輸出屬於某個輸出開集。該輸出值周圍有一個球仍留在開集中；由連續性，能找到輸入小球，使球中的定義域點都被映到那個輸出球內。因此逆像中每一點都有相對內部鄰域。反向則對固定點值周圍任意指定的輸出球應用逆像條件：包含在逆像中的相對輸入鄰域，正是連續性定義要求的半徑。

這個表述解釋了連續函數的方程和不等式為何產生熟悉的集合：連續實函數取正值的點集是開集，等於某個指定常數的點集是閉集。這裏討論的是逆像；連續映射並不保證每個輸入開集的像仍開放。常數映射就把整個輸入空間映成一個單點。分清像與逆像的方向，才能正確使用這一判據。

練習與解答

思考檢查

練習1：求唯一的連續延拓值。

對 $(x,y)\ne(0,0)$，令 $q(x,y)=x^2y^2/(x^2+y^2)$。原點取什麼值，延拓才連續？

解答 · 練習1解答

由 $2|xy|\le x^2+y^2$，

$$0\le q(x,y)\le\frac{x^2+y^2}{4}\longrightarrow0.$$

因此唯一可取值是零；在其他點，商函數已經連續。

思考檢查

練習2：區分存在性與計算。

$f(x,y)=3x-y$ 在 $x^2+y^2\le4$ 上是否取得最值？求最值及達到它們的點。

解答 · 練習2解答

閉圓盤非空且緊，因此存在最值。柯西–施瓦茨不等式給出 $|3x-y|\le2\sqrt{10}$，等號在 $(x,y)=\pm(6,-2)/\sqrt{10}$ 取得。正號對應最大值，負號對應最小值。

思考檢查

練習3：不借助緊緻性給出統一半徑。

證明 $F(x)=\|x\|$ 在整個 $\mathbb R^n$ 上一致連續。

解答 · 練習3解答

反三角不等式給出 $|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|$，所以 $\delta=\varepsilon$ 對任意輸入點對都可用，即使定義域不是緊集。

連續性把鄰近值與點值相連，緊緻性提供極限仍在定義域內的收斂子列。兩者結合，解釋了連續像、可達到的最值及一致連續性。應用這些結論時，先明確實際定義域，再沿證明檢查各個假設的作用。