MATH2010 模擬卷 A

6 題 · 100 分 · 建議用時：90 分鐘。 約用 80 分鐘作答，餘下 10 分鐘檢查。全部六題均須作答，說明各項結論的理由，並在適當處保留精確值。各題旁的用時只供分配時間參考。

複習路線 · 逐步解答與評分

Q1. 平面、投影與體積 — 16 分，14 分鐘

設 $P=(1,-1,2)$、$u=(1,2,0)$ 及 $v=(2,-1,1)$。平面 $\Pi$ 通過 $P$，並以 $u,v$ 為方向向量。

(a) [6] 求一個非零法向量，以及 $\Pi$ 的笛卡兒坐標方程。

(b) [6] 求原點到 $\Pi$ 的距離，以及從原點向平面作垂線所得的垂足。

(c) [4] 求以 $u,v,w$ 為稜向量的平行六面體體積，其中 $w=(0,1,1)$。解釋計算結果的正負號所代表的意思。

Q2. 集合及其邊界 — 16 分，12 分鐘

設

$$S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:1\le x^2+y^2\le4,\ y>0\}.$$

(a) [8] 求 $S$ 在 $\mathbb R^2$ 中的內部、閉包及邊界。須列出邊界的所有部分。

(b) [6] 判斷 $S$ 是否為開集、閉集、有界集及道路連通集。逐項說明理由；最後一項須構造一條連續路徑。

(c) [2] 將極坐標 $r=3/2$、$\theta=2\pi/3$ 轉換成笛卡兒坐標，並判斷該點是否屬於 $S$。

Q3. 哪些逼近方法能證明極限？ — 18 分，15 分鐘

當 $(x,y)\ne(0,0)$ 時，定義

$$F(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2},\qquad G(x,y)=\frac{x^2(y-x)}{x^4+(y-x)^2},$$

並設 $F(0,0)=G(0,0)=0$。

(a) [6] 利用對所有逼近方式均成立的估計，證明 $F$ 在原點連續。給出明確的 $\delta$，其中 $\varepsilon>0$ 為預先指定的數。

(b) [4] 計算 $G$ 沿每一條通過原點的直線逼近原點時的極限，包括垂直線。

(c) [4] 判斷 $G$ 在原點的聯合極限是否存在，並給出足以確定結論的逼近方式。

(d) [4] 計算 $G$ 在原點的兩個累次極限。有同學認為，這兩個極限相等便足以證明聯合極限存在。評估這個論證，並說明它欠缺甚麼證據。

Q4. 對正確的變量求導 — 16 分，12 分鐘

在 $D=\{(x,y):y>-1\}$ 上，設

$$H(x,y)=e^{xy}+x^2\log(1+y).$$

(a) [6] 求 $H_x,H_y$ 在 $D$ 上的表達式，並計算 $\nabla H(1,0)$。

(b) [6] 分別計算 $H_{xy}$ 及 $H_{yx}$，再求它們在 $(1,0)$ 的值。

(c) [4] 敘述一條保證混合偏導數相等的充分條件定理，並核實本函數在 $D$ 上符合其假設。

Q5. 帶有誤差控制的線性近似 — 18 分，15 分鐘

設 $f(x,y)=\sqrt{9+x+2y}$，定義域為 $x+2y>-9$，並考慮原點。記 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ 及 $t=x+2y$。

(a) [4] 求原點處的仿射線性近似 $L$。

(b) [6] 推導以下精確恆等式：

$$f(x,y)-L(x,y)=-\frac{t^2}{6(\sqrt{9+t}+3)^2}.$$

(c) [4] 利用此恆等式，從小餘項的定義證明原點處的可微性。說明你的估計在哪一個鄰域內成立。

(d) [4] 利用 $L$ 估算 $f(0.06,-0.015)$，並由恆等式給出絕對誤差的上界。

Q6. 方向、速率與可微性 — 16 分，12 分鐘

設 $g(x,y,z)=x^2+2xy+3y^2+z^2-2z$ 及 $A=(1,-1,2)$。

(a) [4] 計算 $\nabla g(A)$，以及在 $A$ 處沿 $v=(2,-1,2)$ 所示方向的單位方向導數。

(b) [6] 在所有單位方向中，求函數增加最快及減少最快的方向與變化率。說明這些變化率為何最優。

(c) [6] 定義

$$q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+3y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

求 $q$ 在原點沿每一個單位方向的方向導數。有同學因為這些方向導數全部存在，便斷定 $q$ 可微。判斷這個結論是否成立，指出論證中的缺口，並證明你的判斷。

評分前的檢查

檢查法向量的正負號、有否漏掉直線邊界、極限估計是否統一適用、各偏導數中固定的是哪個變量、可微性餘項的分母，以及方向向量是否已單位化。然後利用解答評分，選擇下一篇需要重溫的筆記。