MATH2010 補充模擬 B

設 $h(t)=(2\cos t,2\sin t,t)$ ， $0\le t\le\pi$ 。

(a) [8] 求速度向量、速率，以及 $t=\pi/2$ 處的切線。

(b) [8] 求行進弧長和兩端點之間的距離，並證明兩者不相等。

(c) [8] 以從 $t=0$ 開始的行進距離 $s$ 為新參數。將 $t$ 表示為 $s$ 的函數，給出單位速率參數式及其定義域，並直接驗證速率。

(d) [6] 令 $q(u)=h(\pi-u)$ ， $0\le u\le\pi$ ，使原來的行進反向。求 $q$ 的速度向量與速率，並解釋弧長為何保持正值且不變。

B-Q2 · 零速度與切線 — 20分，約17分鐘

設 $a(u)=(u^3,0)$ ， $-1\le u\le1$ ； $b(t)=(t,0)$ ， $-1\le t\le1$ 。

(a) [6] 求兩條參數曲線的像集與速率，並比較參數為零處的速度向量。

(b) [6] 直接計算兩條曲線的行進弧長。對於 $u=0$ ，從幾何上說明像集是否有切線，以及為什麼直接把 $a'(0)$ 代入正則曲線切線公式不能得出這條切線。

(c) [8] 換元 $t=\phi(u)=u^3$ 嚴格遞增且一一對應。它是否滿足以下充分定理的假設：換參函數連續可微、單調，並且處處導數非零？討論逆函數在零處的導數。解釋假設不滿足為何不與(b)中的弧長相等結論矛盾。

B-Q3 · 兩種半徑與圓錐 — 30分，約27分鐘

使用卷首的坐標約定。設 $P=(-1,\sqrt3,-2)$ ，並設

$E=\{(x,y,z):1\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le3,\ z\ge\sqrt{x^2+y^2}\}.$

集合 $E$ 包括上述不等式的邊界。

(a) [10] 求 $P$ 的柱坐標與球坐標，解釋角度的選擇，並代回驗證。

(b) [10] 用球坐標的三個坐標範圍表示 $E$ 。推導角度限制，不能因平方而丟掉符號條件。

(c) [6] 用柱坐標表示同一集合 $E$ 。解釋為什麼用 $z^2\ge r^2$ 取代 $z\ge r$ 會加入原集合以外的點。

(d) [4] 在柱坐標中，固定 $\theta=\pi/2$ ，令 $r\ge0$ 、 $z$ 任意。描述所得幾何集合；它是否為整個平面 $x=0$ ？

B-Q4 · 等號條件不可省略 — 20分，約19分鐘

以下向量均為實歐氏空間中的向量。

(a) [8] 對 $u\ne0$ ，展開 $\|v-tu\|^2$ ，求使其最小的實數 $t$ ，由此證明柯西–施瓦茨不等式。寫出精確等號條件，並處理其中一個向量為零的情況。

(b) [6] 設 $u=(1,2,-2)$ 、 $v=-2u$ 。求 $\langle u,v\rangle$ 、 $\|u\|$ 、 $\|v\|$ 和 $\|u+v\|$ 。分別判斷帶絕對值的柯西–施瓦茨不等式、三角不等式是否取等，並寫出每種情況的數值比較。

(c) [6] 修正以下説法：“只要兩個向量線性相關，三角不等式就取等。”證明非零向量的正確條件，並補充零向量的情況。

交卷前自查

檢查速度與速率是否混淆、換參區間是否更新、逆函數是否真的有有限導數、球坐標極角的起點是否正確，以及三角不等式是否保留正倍數條件。然後使用分步詳解與評分選擇下一步複習內容。

MATH2010 補充模擬 B

所有答案均可用精確式手算，無須計算器；這不是對官方計算器規則的判斷。角度使用弧度。請寫出推理，保留精確值，並明確每個參數的區間。

複習目錄 · 分步詳解與評分

B-Q1 · 螺旋線、距離與單位速率 — 30分，約27分鐘

設 $h(t)=(2\cos t,2\sin t,t)$ ， $0\le t\le\pi$ 。

(a) [8] 求速度向量、速率，以及 $t=\pi/2$ 處的切線。

(b) [8] 求行進弧長和兩端點之間的距離，並證明兩者不相等。

(c) [8] 以從 $t=0$ 開始的行進距離 $s$ 為新參數。將 $t$ 表示為 $s$ 的函數，給出單位速率參數式及其定義域，並直接驗證速率。

(d) [6] 令 $q(u)=h(\pi-u)$ ， $0\le u\le\pi$ ，使原來的行進反向。求 $q$ 的速度向量與速率，並解釋弧長為何保持正值且不變。

B-Q2 · 零速度與切線 — 20分，約17分鐘

設 $a(u)=(u^3,0)$ ， $-1\le u\le1$ ； $b(t)=(t,0)$ ， $-1\le t\le1$ 。

(a) [6] 求兩條參數曲線的像集與速率，並比較參數為零處的速度向量。

B-Q3 · 兩種半徑與圓錐 — 30分，約27分鐘

使用卷首的坐標約定。設 $P=(-1,\sqrt3,-2)$ ，並設

$E=\{(x,y,z):1\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le3,\ z\ge\sqrt{x^2+y^2}\}.$

集合 $E$ 包括上述不等式的邊界。

(a) [10] 求 $P$ 的柱坐標與球坐標，解釋角度的選擇，並代回驗證。

(b) [10] 用球坐標的三個坐標範圍表示 $E$ 。推導角度限制，不能因平方而丟掉符號條件。

(c) [6] 用柱坐標表示同一集合 $E$ 。解釋為什麼用 $z^2\ge r^2$ 取代 $z\ge r$ 會加入原集合以外的點。

(d) [4] 在柱坐標中，固定 $\theta=\pi/2$ ，令 $r\ge0$ 、 $z$ 任意。描述所得幾何集合；它是否為整個平面 $x=0$ ？

B-Q4 · 等號條件不可省略 — 20分，約19分鐘

以下向量均為實歐氏空間中的向量。

(a) [8] 對 $u\ne0$ ，展開 $\|v-tu\|^2$ ，求使其最小的實數 $t$ ，由此證明柯西–施瓦茨不等式。寫出精確等號條件，並處理其中一個向量為零的情況。

(c) [6] 修正以下説法：“只要兩個向量線性相關，三角不等式就取等。”證明非零向量的正確條件，並補充零向量的情況。