空间模型的向量与矩阵工具

在使用张量或曲线坐标向量公式之前，需要掌握向量运算、矩阵作用和行列式的几何意义。同一套工具可描述观测系统、力、定向面积和坐标标架。本章明确建立这些基础。

1 向量、点积与投影

$\mathbb R^2$ 或 $\mathbb R^3$ 中的向量逐坐标相加，并可由实数缩放。点积 $u\cdot v=\sum u_iv_i$ 给出欧氏长度 $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$。展开 $\|u-tv\|^2\ge0$ 并对 $t$ 取最小值可证明 Cauchy–Schwarz 不等式 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$。取等当且仅当向量线性相关，包括零向量情形。

对单位方向 $n$，$u\cdot n$ 是沿该方向的有符号分量，对应的向量分量为 $(u\cdot n)n$。若非零 $n$ 不一定是单位向量，则投影为 $[(u\cdot n)/(n\cdot n)]n$。对 $u=(3,1,2)$ 和 $n=(1,0,1)$，投影为 $(5/2,0,5/2)$；余向量 $(1/2,1,-1/2)$ 与 $n$ 的点积为零。

2 叉积与行列式

在三维中，

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

直接代入可见它垂直于两个输入。展开模的平方得到 $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$，故其模为平行四边形面积。其方向遵循右手定则，交换输入顺序会反转向量。

对于 $2\times2$ 矩阵，行列式是 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$。对于以 $u,v,w$ 为列的 $3\times3$ 矩阵，定义 $\det A=u\cdot(v\times w)$，得到有符号体积。按第一行展开为

$$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).$$

如混合积所示，行列式对每一列分别线性，交换两列改变符号。相同的行性质可由展开式得到。行倍加保持行列式不变，行缩放使其按相同比例缩放，行交换使其变号。因此消元证明方阵可逆当且仅当行列式非零。有符号体积为零意味着三个列方向不能张成空间体积。

3 矩阵作用与高斯消元

对 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，$(Ax)_i=\sum_j a_{ij}x_j$。这是线性映射：$A(su+tv)=sAu+tAv$。矩阵的列是标准坐标向量的像。复合对应乘法 $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$，维数须相容。

求解 $Ax=b$ 时，对整个增广矩阵进行可逆行变换。若一行系数为零而右端非零，方程组不相容；自由变量给出非唯一性。若只对 $A$ 做行变换而忽略 $b$，就改变了问题。

观测系统例。 假设三个按比例缩放的观测通道给出

$$u+v+w=6,\quad u+2v+3w=14,\quad2u+v+w=7.$$

第三式减去第一式得到 $u=1$。再由 $v+w=5$、$2v+3w=13$ 得到 $w=3$、$v=2$。代回所有原观测式均成立。系数行列式为 1，确认解唯一。物理观测需要单独论证线性模型和相容单位；解出方程不等于验证了模型。

4 正交矩阵与定向的作用

实方阵在 $Q^TQ=I$ 时为正交矩阵，等价地，其列标准正交。于是 $\|Qv\|^2=v^TQ^TQv=\|v\|^2$。方阵的列线性无关使 $Q$ 可逆，且 $Q^{-1}=Q^T$。行列式乘法给出 $(\det Q)^2=1$，因此其值为 $+1$ 或 $-1$。

绕 $z$ 轴的旋转为

$$Q=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

其行列式为 1。对角矩阵 $\operatorname{diag}(-1,1,1)$ 也保持长度，但行列式为 $-1$，反转定向。因此并非所有正交变换都是正旋转。

要区分物理变换和坐标变换。将 $Q$ 物理作用于原向量 $(1,0,0)$，在旧坐标中得到 $(\cos\theta,\sin\theta,0)$。若新基向量是 $Q$ 的列，而物理向量不变，其新坐标为 $Q^T(1,0,0)=(\cos\theta,-\sin\theta,0)$。符号相反并不矛盾，因为问题不同。这一区别是后续张量分量规律与变化坐标标架的基础。

零情形与行列式乘法法则

Cauchy–Schwarz 论证先处理 $v=0$，此时等号成立。否则在 $\|u-tv\|^2\ge0$ 中代入 $t=(u\cdot v)/\|v\|^2$，得到 $\|u\|^2-(u\cdot v)^2/\|v\|^2\ge0$。乘正分母再开平方即得不等式。在 $v\ne0$ 的分支，等号意味着 $u=tv$；连同零向量情形，恰为线性相关。

本工具中的二维、三维行列式公式，可由交替性和逐列线性证明乘法法则。固定 $A$，将 $D(b_1,\ldots,b_n)=\det(Ab_1,\ldots,Ab_n)$ 视为 $B$ 的各列的函数，其中 $n=2$ 或 $3$。将每列按标准基展开；重复基向量的项因交替性为零，其余每项为置换符号乘 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$。相应系数乘积之和恰为 $\det B$ 的二维或三维展开。因此 $\det(AB)=\det A\det B$。交换展开式的行、列指标也给出 $\det(A^T)=\det A$。特别地，$Q^TQ=I$ 给出 $(\det Q)^2=1$。这证明本工具空间坐标和张量例题所用的行列式事实。

5 分级练习

E1 基础。 计算 $(1,0,1)\times(0,2,0)$ 及其模，并解释该模的几何意义。

E2 行列式。 计算 $\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}$，并判断可逆性。

E3 正交性。 验证 $Q=\operatorname{diag}(-1,1,1)$ 正交。它是正旋转吗？有符号混合积如何变化？

E4 消元。 求解 $2u+v=4$、$v+w=5$、$u+w=4$，并验证所有方程。

6 详解

S1. 叉积为 $(-2,0,2)$，模为 $2\sqrt2$。它是两个输入向量张成的平行四边形面积；以它们为边的三角形面积为其一半。

S2. 利用三角矩阵或直接展开得 $1\cdot1\cdot2=2$。它非零，因此矩阵可逆，三个列向量线性无关。

S3. $Q^TQ=I$，但行列式为 $-1$，故它是反射而不是正旋转。它将每个定向混合积乘以 $-1$，同时保持绝对体积和长度。

S4. 由 $u+w=4$ 得 $w=4-u$，再得 $v=1+u$。第一式给出 $3u+1=4$，因此 $u=1$、$v=2$、$w=3$。检查为 $2+2=4$、$2+3=5$、$1+3=4$。

小结

点积与叉积描述空间长度、投影、面积及定向。行列式判断可逆性和有符号体积。高斯消元求解所述线性观测模型，而正交矩阵区分保持长度与保持定向。物理旋转和坐标变换使用相关矩阵，但回答不同问题。