双曲函数与复指数表达式

指数函数刻画增长和衰减，三角函数刻画振荡，而双曲函数组合方向相反的指数变化率。复指数将这些函数纳入共同代数框架，但不能免去选择复对数值或分支。本章推导微分方程和坐标模型中使用的恒等式，而不假定符号代换总是安全的。

1 由绝对收敛级数构造复指数

对 $z\in\mathbb C$，定义 $e^z=\sum_{n=0}^\infty z^n/n!$。由比值 $|z|/(n+1)\to0$ 得绝对收敛；同一个标量指数控制项给出每个有界圆盘上的一致收敛。绝对收敛的 Cauchy 乘积与二项式定理给出

$$e^{z+w}=e^ze^w.$$

又当 $h\to0$ 时，$e^h=1+h+O(|h|^2)$，余项以 $|h|^2e^{|h|}/2$ 为界。因此由 $e^{z+h}=e^ze^h$ 的差商，即使取复增量也可证明其导数为 $e^z$。乘积恒等式给出 $e^ze^{-z}=1$，所以指数函数从不为零。

对实数 $t$ 分离偶数项与奇数项，使用实正弦和余弦的幂级数定义，得到 Euler 恒等式 $e^{it}=\cos t+i\sin t$。因此

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y),\qquad |e^{x+iy}|=e^x.$$

$e^{(-\gamma+i\omega)t}$ 的实部和虚部是熟悉的阻尼振荡 $e^{-\gamma t}\cos\omega t$ 和 $e^{-\gamma t}\sin\omega t$。复数记号可以简化实线性计算，而不会把实际测量的变量变成复数。

2 双曲函数及其恒等式

对实数 $x$，定义

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2.$$

前者为偶函数，后者为奇函数。将表达式相乘得

$$\cosh^2x-\sinh^2x=1.$$

其导数为 $(\sinh x)'=\cosh x$ 和 $(\cosh x)'=\sinh x$。指数加法法则给出

$$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$$

$\cosh(x+y)$ 有对应的加号公式。该加号不同于圆三角余弦的加法恒等式，因为其定义二次关系含减号。

由于实数上 $e^x>0$，由算术—几何平均不等式或 $(e^{x/2}-e^{-x/2})^2\ge0$ 可知 $\cosh x\ge1$，且只在零处取等。因此 $\tanh x=\sinh x/\cosh x$ 对所有实数 $x$ 有定义，且

$$\frac d{dx}\tanh x=\frac{\cosh^2x-\sinh^2x}{\cosh^2x}=\operatorname{sech}^2x>0.$$

曲线 $(\cosh t,\sinh t)$ 位于 $X^2-Y^2=1$ 上，这解释了“双曲”一词。这里不声称其参数是普通圆角。

3 单复变量连接两类函数

对复数 $z$，定义

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2,\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$$

并对 $\cosh z,\sinh z$ 使用相同的指数公式。它们在实轴上与实幂级数一致。代入得到

$$\cos(ix)=\cosh x,\quad\sin(ix)=i\sinh x,\quad \cosh(ix)=\cos x,\quad\sinh(ix)=i\sin x.$$

对 $z=x+iy$，用加法恒等式展开得

$$\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$$ $$\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$$

因此复正弦的模不以 1 为上界：在 $z=iy$ 处其模为 $|\sinh y|$，当 $|y|\to\infty$ 时无界。不能把实变量的值域结论直接推广到复自变量。

4 反双曲函数与对数定义域

实函数 $\sinh$ 的导数 $\cosh$ 为正，因此严格递增，且两端极限分别为方向相反的无穷大。以 $u=e^y>0$ 解 $x=(u-u^{-1})/2$ 得

$$\operatorname{arsinh}x=\log(x+\sqrt{x^2+1}),\qquad x\in\mathbb R.$$

对每个实数 $x$，对数真数为正。求导得到 $1/\sqrt{1+x^2}$。类似地，将 $\cosh$ 限制在 $y\ge0$ 得

$$\operatorname{arcosh}x=\log(x+\sqrt{x^2-1}),\qquad x\ge1,$$

其导数 $1/\sqrt{x^2-1}$ 只在 $x>1$ 时成立。解 $\tanh$ 得到 $|x|<1$ 上的 $\operatorname{artanh}x=\tfrac12\log[(1+x)/(1-x)]$。

对于复数，指数函数有周期：$e^{z+2\pi i}=e^z$。若 $z\ne0$ 的模为 $r$、幅角为 $\theta$，则每个值 $\log r+i(\theta+2\pi k)$，$k\in\mathbb Z$ 的指数都是 $z$。由于指数函数不是单射，它在整个定义域上没有双侧逆。

不过，可以在整个 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上选取单值右逆。取主幅角 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]$，定义 $L(z)=\log|z|+i\operatorname{Arg}z$。则 $e^{L(z)}=z$，但 $L$ 在负实轴上不连续。特别地，单值选取未必是连续的对数分支。

在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上不存在全局连续对数分支，因而也不存在全局全纯分支。下面是基本的圆周障碍论证。若连续函数 $L$ 处处满足 $e^{L(z)}=z$，则 $h(t)=\operatorname{Im}L(e^{it})-t$ 是从 $[0,2\pi]$ 到 $2\pi\mathbb Z$ 的连续函数，由介值定理它必为常数。但 $e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ 给出 $h(2\pi)=h(0)-2\pi$，矛盾。

最后，对选定的对数写出 $\log(zw)=\log z+\log w$ 时，两边可能相差 $2\pi i$ 的整数倍。正实数的实对数则如常没有歧义。

指数函数背后的复数完备性与乘积证明

复 Cauchy 列收敛，因为实部与虚部均为实 Cauchy 列；将两个实极限组合，便在复数绝对值下得到极限。因此若 $\sum|a_n|<\infty$，复部分和收敛，因为每个尾和的绝对值受相应非负实尾和控制。当同一个标量控制级数适用于整个定义域时，同样论证给出一致收敛。

对 $R\ge0$，实级数 $\sum R^n/n!$ 由明确的几何尾和判据收敛：超过使 $R/(n+1)\le1/2$ 的指标后，每项至多为前项一半。这证明复指数绝对收敛，并在 $|z|\le R$ 上一致收敛，没有把实值定理直接套在复数项上。

设 $A=\sum|a_i|$、$B=\sum|b_j|$ 有限，令 $c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$。有限三角求和给出 $\sum_{n=0}^N|c_n|\le AB$，所以非负部分和收敛，$\sum c_n$ 绝对收敛。方形和 $S_N=\sum_{i,j=0}^N a_i b_j$ 等于两个部分和的乘积，故趋于 $(\sum a_i)(\sum b_j)$。将它与三角和 $C_N=\sum_{i+j\le N}a_i b_j$ 比较。若 $i+j>N$，则 $i,j$ 至少一个超过 $\lfloor N/2\rfloor$。因此

$$|S_N-C_N|\le B\sum_{i>\lfloor N/2\rfloor}|a_i|+A\sum_{j>\lfloor N/2\rfloor}|b_j|\longrightarrow0.$$

所以 Cauchy 乘积等于两和之积。对 $a_i=z^i/i!$、$b_j=w^j/j!$，有限二项式定理使第 $n$ 个系数为 $(z+w)^n/n!$，从而证明指数加法法则。

最后，由 $(m+2)!\ge2m!$，有 $\sum_{n\ge2}|h|^n/n!\le(|h|^2/2)\sum_{m\ge0}|h|^m/m!$，证明复导数所用的局部二次余项。Euler 偶奇拆分的各次重排均由绝对尾和保证；两部分分别为实正弦、余弦级数。本证明针对有限复标量，不涉及任意算子或条件收敛级数。

5 分级练习

E1 基础。 将 $e^{\log2+i\pi/3}$ 化为直角坐标形式的复数。

E2 双曲函数求逆。 求 $\sinh x=3$ 和 $\cosh x=3$ 的实数解 $x$。

E3 求导。 对 $\tanh(2x)$ 求导，并验证 $y=\cosh(3x)$ 满足 $y''=9y$。

E4 复恒等式。 从指数定义推导所示的 $\sin(x+iy)$ 公式，并用它计算 $\sin(i\log2)$。

6 详解

S1. Euler 恒等式给出 $2(1/2+i\sqrt3/2)=1+i\sqrt3$。其模为 2，与 $|e^{x+iy}|=e^x$ 一致。

S2. 第一式的唯一解为 $x=\log(3+\sqrt{10})$。第二式有两个解 $x=\pm\log(3+\sqrt8)$，因为 $\cosh$ 是偶函数，只在限制到非负半轴后严格递增。

S3. 链式法则给出 $2\operatorname{sech}^2(2x)$。对于第二式，$y'=3\sinh3x$，$y''=9\cosh3x=9y$。

S4. 将 $e^{i(x+iy)}=e^{-y}(\cos x+i\sin x)$ 和相应负指数代入正弦定义，合并实部和虚部得到公式。在 $x=0$、$y=\log2$ 处得到 $i\sinh(\log2)=i(2-1/2)/2=3i/4$。

小结

幂级数的绝对收敛保证复指数及其乘积法则。双曲函数和三角函数是相关的指数组合，但其实值域和反函数定义域不同。复对数需要分支选择；正实对数恒等式或实三角函数的有界性不能未经检查就推广。