向量微积分与守恒律

通量场描述穿过定向曲面的传输。守恒将边界传输转化为局部微分方程。线积分、曲面积分以及散度定理和 Stokes 定理表达这一关系的不同方面；方向与定义域假设决定符号和有效性。

1 线积分与势函数

对分段 $C^1$ 曲线 $r:[a,b]\to\mathbb R^3$ 和连续向量场 $F$，其定向线积分为

$$\int_CF\cdot dr=\int_a^bF(r(t))\cdot r'(t)dt.$$

反向定向使符号反转。由一元代换法则，保持方向的正则参数变换不改变积分。若 $F=\nabla\phi$，其中势函数在定义域上单值且可微，则称该场为保守场。

梯度定理。 若 $\phi$ 在曲线附近为 $C^1$，则 $\int_C\nabla\phi\cdot dr=\phi(r(b))-\phi(r(a))$。

证明。 链式法则使被积函数为 $d\phi(r(t))/dt$。在每个光滑片段应用微积分基本定理，端点值相消。$\square$

因此保守场的闭路积分为零。若 $\phi\in C^2$，混合偏导数相等使其梯度旋度为零。反命题需要定义域条件：$\mathbb R^3$ 中关于一点星形的开域上的 $C^1$ 无旋场有势函数；下文完整证明这一明确的充分定义域条件。定义域有孔时，无旋本身不够。

对 $z$ 轴外的 $F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0)$，旋度为零，但沿单位圆积分为 $2\pi$。该定义域上不存在全局单值角度势函数。

2 曲面积分、散度与旋度

参数化曲面 $r(u,v)$ 在叉积非零处的定向面积向量为 $(r_u\times r_v)du\,dv$，其通量为

$$\iint_SF\cdot n\,dS=\iint_DF(r(u,v))\cdot(r_u\times r_v)du\,dv.$$

改变方向使通量变号。标量面积积分则使用 $\|r_u\times r_v\|$。

对 $F=(P,Q,R)$，

$$\nabla\cdot F=P_x+Q_y+R_z,$$

并且

$$\nabla\times F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$

散度度量净向外通量密度；旋度按右手定向约定记录局部环流密度。两者是不同运算，输出类型也不同。

3 带假设的边界定理

散度定理。 对矩形盒，或实际具有参数边界章节所证明条件下的有限相容图像夹层分解的有界实体 $\Omega$，若向量场在其闭包的开邻域中为 $C^1$，则

$$\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,dS=\iiint_\Omega\nabla\cdot F\,dV,$$

其中法向量朝外。对矩形盒，证明直接：相对的 $x$ 面贡献 $\int\int[P(b,y,z)-P(a,y,z)]dy\,dz=\iiint P_x$，由微积分基本定理和 Fubini 定理得到。再加上类似的 $y$、$z$ 面对。所述有限推广通过相加已证明的各块并抵消内部面得到；不能仅凭“分段光滑”一词就包括任意区域。实体内的奇点不可忽略。

Stokes 定理。 对实际分解为有限个相容、单射 $C^2$ 正则曲面片的紧定向曲面 $S$，参数区域属于下文指定的 Green 类，边界定向相容，且 $F\in C^1$ 于 $S$ 的开邻域上，则

$$\oint_{\partial S}F\cdot dr=\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS,$$

其中边界方向依曲面法向量按右手规则确定。平面版本是 Green 定理：对下文实际证明的基本类或有限分解类平面区域 $D$，取正向边界，且场在闭包邻域为 $C^1$，

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)dA.$$

对 $x$-简单区域，积分 $-P_y$ 得到上下边界贡献之差；类似的 $y$-简单论证处理 $Q_x$。内边界片段相消后，分解可推广这一恒等式。

检验例。 对 $F=(x,y,z)$，散度为 3。半径为 $R>0$ 的球面的向外通量为 $3(4\pi R^3/3)=4\pi R^3$。直接计算时 $F\cdot n=R$、面积为 $4\pi R^2$，结果相同。

4 从积分守恒到局部方程

设 $c(x,t)$ 是浓度，$j(x,t)$ 是每单位面积向外通量，$s(x,t)$ 是局部生成率。对任意固定控制体积，

$$\frac d{dt}\iiint_\Omega c\,dV=-\iint_{\partial\Omega}j\cdot n\,dS+\iiint_\Omega s\,dV.$$

若场足够光滑，可在积分号下求导并应用散度定理，则得到 $\iiint_\Omega(c_t+\nabla\cdot j-s)dV=0$。若被积函数连续且恒等式对每个小控制体积成立，则

$$c_t+\nabla\cdot j=s.$$

因为非零连续值会在某个小邻域保持同一符号，从而在那里给出非零积分。若 $j=-K\nabla c$，方程为 $c_t=\nabla\cdot(K\nabla c)+s$。当 $K=kI$ 且标量 $k$ 为常数时，简化为 $c_t=k\Delta c+s$。空间变化系数和各向异性张量必须保留在散度内部。

一个有实际证明的势函数定义域条件

本章采用下列明确的充分条件。若对 $x\in U$，线段 $a+t(x-a)$（$0\le t\le1$）都留在开集 $U$ 内，则称 $U$ 关于 $a\in U$ 为星形。对其中的 $C^1$ 无旋场定义

$$\phi(x)=\int_0^1F(a+t(x-a))\cdot(x-a)\,dt.$$

固定 $x$ 后，其紧线段有一个小邻域包含于 $U$。一阶导数的连续性保证固定区间积分可以求偏导：坐标中值定理与一致连续性使差商在 $t$ 上一致收敛。被积函数的第 $j$ 个偏导数为 $F_j+t\sum_i(x_i-a_i)\partial_jF_i$。无旋给出 $\partial_jF_i=\partial_iF_j$，所以它等于 $d[tF_j(a+t(x-a))]/dt$。积分便得 $\partial_j\phi=F_j(x)$，即 $F=\nabla\phi$。这证明了星形域上的反命题；这里没有声称已经证明每个单连通域上的推广，后者需要额外的路径或同伦论证。去掉轴线的例子，由非零闭路积分甚至排除了任何全局势函数。

明确有限类区域上的 Green 定理

下面的边界结果中，基本平面区域具有紧 Jordan 闭包和正向分段 $C^1$ 边界，且同时有竖条描述 $\alpha\le x\le\beta$、$g_-(x)\le y\le g_+(x)$ 及横条描述 $\gamma\le y\le\delta$、$h_-(y)\le x\le h_+(y)$，边界图像函数连续。若边界弧本身可正则地分段 $C^1$ 参数化，允许图像在端点有竖直或水平切线。还允许由这些块组成的有限区域，但内部互不相交，每条共享边界弧须以相反方向配对。矩形、圆盘均为例子。假设 $P,Q$ 在闭包的开邻域上为 $C^1$。

对每条竖直区间用微积分基本定理，得到

$$-\iint_D P_y\,dA=\int_\alpha^\beta[P(x,g_-(x))-P(x,g_+(x))]dx=\oint_{\partial D}P\,dx.$$

底边向右、顶边向左，竖直端边上 $dx=0$。同样，对水平区间有

$$\iint_D Q_x\,dA=\int_\gamma^\delta[Q(h_+(y),y)-Q(h_-(y),y)]dy=\oint_{\partial D}Q\,dy.$$

这些累次积分等于 Jordan 积分：将连续被积函数向包含区域的矩形作零延拓，以逐格上下和夹住累次积分；内部格子用一致连续性，边界格子用其总体积趋零。若图像参数在端点有竖直切线，先将边界弧截去端点附近；遗漏弧长乘 $P,Q$ 的界使端点贡献趋零。相加即证 Green。对上述有限分解，内部线积分抵消，面积积分相加，故推广成立。将 Green 中 $(P,Q)$ 换成 $(-V,U)$ 即得通量形式，因为正向单位速率边界上 $U\nu_x+V\nu_y=Uy'-Vx'$。

具有明确可微条件的守恒推导

对固定紧 Jordan 控制体积及紧时间区间，假设 $c,c_t$ 在其乘积的邻域上连续，$j$ 及其一阶空间导数也连续。由时间方向的微积分基本定理及 $c_t$ 的一致连续性，$c$ 的时间差商在空间上一致趋于 $c_t$。积分误差由体积乘该一致误差控制，所以 $d\int c/dt=\int c_t$。对盒或参数边界章节明确允许的实体应用已证散度定理。若 $c_t+\nabla\cdot j-s$ 连续，且在每个足够小的盒上积分为零，则一点处的正值会在某小盒上保持正且有正下界，与积分为零矛盾；负值同理。这就在所述假设下得出局部守恒方程。

5 分级练习

E1 基础。 沿任意分段光滑路径，从 $(0,0,0)$ 到 $(1,2,3)$ 计算 $F=(2x,2y,2z)$ 的线积分。

E2 Green 定理。 沿半径为 $a>0$ 的逆时针圆周计算 $\oint_C(-y\,dx+x\,dy)$。

E3 散度。 求 $F=(x^2,y,z)$ 穿过单位立方体 $[0,1]^3$ 的向外通量。

E4 守恒。 若 $j=-k\nabla c$，其中 $k>0$ 为常数且没有源项，推导方程并说明零边界通量如何保证总质量守恒。

6 完整解答

S1. 势函数为 $\phi=x^2+y^2+z^2$，故积分为 $14-0=14$。由于势函数在整个空间全局定义，路径无关。

S2. $Q_x-P_y=1-(-1)=2$。Green 定理给出 $2\pi a^2$。直接参数化 $x=a\cos t$、$y=a\sin t$ 得到被积式 $a^2dt$，确认符号。

S3. 散度为 $2x+2$，体积分为 $\int_0^1(2x+2)dx=3$。每个坐标方向的一对相对面的贡献都是 1，总和也为 3。

S4. 代入得 $c_t=k\Delta c$。积分并应用散度定理，在所给边界条件下得到 $dM/dt=-\iint_{\partial\Omega}j\cdot n=0$。不要求梯度处处为零；边界通量为零时仍可发生内部重新分布。

总结

线积分和曲面积分带有方向。势函数使线积分只依赖端点；散度和旋度在明确的正则性假设下将边界数据与内部导数联系起来。守恒与本构通量定律给出局部演化方程，其系数必须保留空间和张量结构。