一阶微分方程与环境平衡

微分方程将状态与其变化率联系起来。平衡模型从简单的核算原则开始：储存量变化率等于输入减去输出，再加内部生成。选用解法之前先写出这一原则，可避免单位错误及遗漏体积因子。

1 状态、初始条件与存在性

一阶常微分方程形如 $y'=F(t,y)$。解是在区间上满足该方程的可微函数。当唯一性成立时，初始条件 $y(t_0)=y_0$ 选定一条轨迹。

一个有用的局部定理是：若 $F$ 在 $(t_0,y_0)$ 附近连续且在那里对 $y$ 局部 Lipschitz，则存在唯一局部解。由中值定理，$\partial F/\partial y$ 连续足以在较小矩形上保证 Lipschitz 条件。这是局部结果；解仍可能在有限时间爆破，例如 $y'=y^2$、$y(0)=1$ 的解 $1/(1-t)$。完整证明可对短区间上的积分映射 $y\mapsto y_0+\int_{t_0}^tF(s,y(s))ds$ 使用压缩映射：有界性使映射保持在闭函数球内，Lipschitz 常数乘区间长度使其成为压缩。函数空间的一致范数完备性和几何误差界给出唯一不动点，再由微积分基本定理得到解。

2 线性方程与积分因子

对具有连续系数的 $y'+p(t)y=q(t)$，定义 $\mu(t)=\exp(\int_{t_0}^tp(s)ds)$。它为正且满足 $\mu'=p\mu$。乘积法则给出 $(\mu y)'=\mu q$，故

$$y(t)=\mu(t)^{-1}\left[y_0+\int_{t_0}^t\mu(s)q(s)ds\right].$$

这推导了公式，并直接证明线性方程的存在性与唯一性。齐次解乘以衰减或增长因子 $\mu^{-1}$。

3 完全混合水库

水库体积恒为正数 $V>0$，输入和输出体积流率为 $Q$，流入浓度为 $c_{\rm in}$，一阶移除率为 $k\ge0$。设 $M(t)$ 为储存的污染物质量，$c=M/V$。假设完全混合，输出质量流率为 $Qc$，平衡方程为

$$M'=Qc_{\rm in}-Q\frac MV-kM.$$

等价地，

$$c'=\frac QV c_{\rm in}-\left(\frac QV+k\right)c.$$

若 $Q>0$ 且输入量恒定，平衡浓度为 $c_*=Qc_{\rm in}/(Q+kV)$，并有

$$c(t)=c_*+(c_0-c_*)e^{-(Q/V+k)t}.$$

指数速率的单位是时间的倒数。解趋于 $c_*$，未必趋于 $c_{\rm in}$，因为内部移除可能持续。若体积变化，对恒等式 $M=Vc$ 求导得 $M'=Vc'+V'c$；沿用恒体积浓度方程将遗漏一项。

对一致单位下的 $V=100$、$Q=10$、$k=0.05$ 和 $c_{\rm in}=6$，平衡浓度为 4，且 $c(t)=4+(c_0-4)e^{-0.15t}$。若初始水清洁，在 $t=(\log2)/0.15$ 时达到平衡浓度的一半。

4 可分离方程与平衡解

对 $y'=a y(1-y/K)$（$a,K>0$），非零的非平衡解可分离变量：

$$\frac{dy}{y(1-y/K)}=a\,dt.$$

积分部分分式并使用正初值，得到

$$y(t)=\frac K{1+(K/y_0-1)e^{-at}}.$$

对正初值，该公式在包含 $t=0$ 且分母非零的最大区间上成立。它对所有 $t\ge0$ 有效；若 $y_0>K$，向过去延拓有有限时间极点，不能穿过极点作为解延续。除以 $y(1-y/K)$ 前必须单独记录平衡解 $y=0$ 和 $y=K$。当 $0<y_0<K$，解递增趋于 $K$。逻辑斯蒂模型是具体的现象学假设，而非普遍生态规律。

统一 Lipschitz 定理及有限维实系统

这里明确给出上文局部 Lipschitz 假设的含义与证明。设 $d\ge1$ 有限，$U\subset\mathbb R\times\mathbb R^d$ 为开集，$F:U\to\mathbb R^d$ 连续。在 $(t_0,y_0)$ 附近假设有 $a,b>0$、$L\ge0$，使闭柱体 $Q=[t_0-a,t_0+a]\times\{y:\|y-y_0\|\le b\}$ 包含于 $U$，并且

$$\|F(t,y)-F(t,z)\|\le L\|y-z\|\quad((t,y),(t,z)\in Q).$$

同一个 $L$ 适用于其中每个时刻。关于 $y$ 的导数连续，可通过沿闭球内线段积分得到该界，是一个充分条件；但定理不要求该导数存在。

连续性和紧性给出 $Q$ 上 $\|F\|\le M$。令 $h=\min(a,b/(M+1),1/[2(L+1)])>0$、$I=[t_0-h,t_0+h]$、$q=hL<1/2$。考虑满足 $\sup_I\|u-y_0\|\le b$ 的连续函数 $u:I\to\mathbb R^d$，使用上确界距离。此空间完备：一致 Cauchy 列的每个实坐标逐点 Cauchy，实数完备性给出逐点极限。在共同的 Cauchy 界中取极限，得到向量范数下一致收敛。使用一个固定连续函数的三项估计可知极限连续，闭的取值界也传到极限。这证明了此特定函数空间的完备性，没有对任意值域作无根据的假设。

逐分量积分，定义 $(Tu)(t)=y_0+\int_{t_0}^tF(s,u(s))\,ds$。于是

$$\|Tu-y_0\|_\infty\le hM<b,\qquad \|Tu-Tv\|_\infty\le q\|u-v\|_\infty.$$

对 $t_0$ 之前的时刻，交换积分上下限即可得到同样估计。从常函数 $u_0=y_0$ 迭代 $u_{n+1}=Tu_n$。若 $q=0$，$T$ 为常映射，$u_1$ 即其不动点。若 $0<q<1$，令 $D=\|u_1-u_0\|_\infty$。归纳得 $\|u_{j+1}-u_j\|_\infty\le q^jD$。所以对 $p\ge1$，

$$\|u_{n+p}-u_n\|_\infty\le\frac{q^nD}{1-q}\longrightarrow0.$$

完备性给出 $u_n\to u$。由 $\|Tu-u\|_\infty\le q\|u-u_n\|_\infty+\|u_{n+1}-u\|_\infty$ 得 $Tu=u$；令 $p\to\infty$ 还得到同一几何误差界。逐坐标应用微积分基本定理，得 $I$ 内部 $u'=F(t,u)$ 且 $u(t_0)=y_0$。

两个不动点满足 $\|u-v\|_\infty\le q\|u-v\|_\infty$，因此相等。任意另一个局部解，由初值处的连续性，其图像在某个共同小闭区间上留在 $Q$ 内。在那里积分方程，得到相同的不动点等式，压缩因子至多为 $q$，所以它与 $u$ 相等。这证明了所述统一 Lipschitz 条件下的局部存在和局部唯一性，包含标量情形，没有附加全局存在或非线性稳定性结论。

在物理水库解释中，取正向时间 $t\ge0$、非负流率、非负流入与初始浓度及正体积。在这些假设保持时，积分因子表达式证明浓度非负。体积变化时，须保留体积为正的时间区间及质量导数中的 $V'c$ 项。

5 分级练习

E1 基础。 解 $y'+2y=6$、$y(0)=1$，并直接验证。

E2 平衡。 恒体积湖泊有 $V=200$、$Q=20$，无内部移除且流入水清洁。若 $c(0)=5$，求 $c(t)$ 和半衰期。

E3 外力项。 解 $y'+y=t$、$y(0)=0$。

E4 建模。 储罐流入率为 $Q_{\rm in}$、流出率为 $Q_{\rm out}$，流入浓度为 $c_{\rm in}$，无反应。体积保持正时，推导浓度方程。

6 完整解答

S1. $y=3-2e^{-2t}$。于是 $y'=4e^{-2t}$、$y'+2y=6$，初值为 1。

S2. $c'=-0.1c$，故 $c(t)=5e^{-0.1t}$，半衰期为 $10\log2$。移除参数是 $Q/V$，而不是单独的流率 20。

S3. 积分因子为 $e^t$。由于 $\int_0^tse^sds=(t-1)e^t+1$，故 $y=t-1+e^{-t}$。代入及 $y(0)=0$ 可验证。

S4. $V'=Q_{\rm in}-Q_{\rm out}$，$M'=Q_{\rm in}c_{\rm in}-Q_{\rm out}c$。结合 $M'=Vc'+V'c$ 得 $Vc'=Q_{\rm in}(c_{\rm in}-c)$。流出项从此浓度方程中显式抵消，但仍影响 $V(t)$。完全混合和所给流率仍是模型假设。

总结

求解微分方程前先写质量平衡。积分因子在受控假设下求解线性方程；分离变量时不能丢失平衡解。初始条件、时间单位、混合假设与体积变化是模型的一部分，不是计算后可选的解释。