矩阵与二阶张量

各向异性材料在不同方向的响应不同。标量系数不能编码这种行为，但线性映射可以。在本章欧氏背景下，二阶张量是与坐标无关的线性关系，矩阵则是它在所选正交规范坐标系中的表示。改变坐标系会改变元素，但不改变物理关系。

1 线性系统与矩阵映射

矩阵 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 将 $x$ 映为 $Ax$，其中 $(Ax)_i=\sum_j a_{ij}x_j$。复合给出矩阵乘法。用高斯消元解 $Ax=b$ 时，对增广矩阵使用可逆操作：交换行、乘以非零常数及加上其他行的倍数。系数全零且矛盾的行给出无解；否则自由变量描述非唯一性。

对方阵，可逆意味着每个 $b$ 都有唯一解。若非零向量满足 $Az=0$，则由 $A(x+z)=Ax$ 可知解不唯一。这在物理上很重要：逆重建无法区分相差一个零空间方向的两个状态。

特征向量满足 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne0$，描述映射保持的方向，允许缩放。对称矩阵有正交规范特征基。一种证明是在单位球面上最大化 $v^TAv$，通过切向求导得到特征向量，利用对称性证明其正交补不变，再归纳。这给出对称材料张量的主方向。

2 张量分量与坐标变换

设新旧正交规范坐标满足 $x=Qx'$，其中 $Q^TQ=I$。若线性关系为 $y=Ax$，则 $y'=Q^Ty$，且

$$y'=Q^TAQx',\qquad A'=Q^TAQ.$$

这是线性映射型张量分量在正交规范坐标系中的变换律。任意数组只有在明确其作用和变换律后才可称为张量。一般非正交坐标变换需要区分向量与协向量分量；这里没有声称简单的正交公式适用于任意坐标中的每种张量。

并矢积 $a\otimes b$ 是映射 $v\mapsto a(b\cdot v)$，以矩阵 $ab^T$ 表示。对对称矩阵 $A$ 的正交规范特征基 $q_i$，

$$A=\sum_i\lambda_i q_i\otimes q_i.$$

恒等映射为 $\sum_iq_i\otimes q_i$。迹和行列式不随坐标系改变：由有限指标求和，$\operatorname{tr}(Q^TAQ)=\operatorname{tr}(AQQ^T)=\operatorname{tr}A$；由行列式乘积法则，$\det A'=\det A$。特征值之和为迹，其乘积为行列式。

3 各向异性传输模型例题

设通量关系为 $j=-K\nabla c$，其中

$$K=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}.$$

单位方向 $q_1=(1,1)/\sqrt2$、$q_2=(1,-1)/\sqrt2$ 的特征值为 4 和 2。在该主坐标系中，$K'=\operatorname{diag}(4,2)$。浓度梯度 $(1,0)$ 产生 $j=(-3,-1)$，它不与梯度平行。各向异性既改变方向，也改变大小。

对每个非零 $g$，有 $g^TKg=4(g\cdot q_1)^2+2(g\cdot q_2)^2>0$，所以 $j\cdot\nabla c=-\nabla c^TK\nabla c\le0$。在此本构模型下，通量具有沿负梯度方向的分量。正性是需要检验的性质，不是将数组称为传输张量就自动得到的结果。

在简化连续介质应力模型中，单位法向量平面上的牵引向量为 $t(n)=\sigma n$。有符号的法向牵引是法向分量 $n^T\sigma n$；剩余向量 $\sigma n-(n^T\sigma n)n$ 是切向分量。对对称 $\sigma$，特征向量方向的切向牵引为零。物理定律与符号约定必须由应用给定，本章研究其线性代数。

4.3 对称性给出正交特征向量

对实对称矩阵 $A$ 和实向量 $u,v$，若 $Au=\lambda u$，$Av=\mu v$，则

$$\lambda u^Tv=(Au)^Tv=u^TA^Tv=u^TAv=\mu u^Tv.$$

因此，不同特征值对应的特征空间互相正交。更强的谱定理指出，每个实对称 $n\times n$ 矩阵（$n\ge1$）都有一组标准正交特征基，因此 $A=QDQ^T$，其中 $Q^TQ=I$，而 $D$ 是实对角矩阵。

下面利用前面章节的结果证明。连续函数 $x^TAx$ 在单位球面上取得最大值，因为单位球面是闭且有界的。在取得最大值的单位向量 $v$ 处，正则约束 $x^Tx=1$ 的梯度 $2v$ 非零。乘数条件给出 $2Av=2\lambda v$，所以 $v$ 是实单位特征向量。它的正交补空间是不变的：若 $v^Tw=0$，则 $v^TAw=(Av)^Tw=\lambda v^Tw=0$。在一组标准正交基下，把 $A$ 限制到这个 $(n-1)$ 维子空间，得到的限制仍然对称。从一维开始归纳，可在该子空间得到一组标准正交特征基；连同 $v$，便证明了定理。正交补空间的一组标准正交基可用 Gram–Schmidt 方法构造。

补全最大向量与正交补步骤

最大向量步骤也可不用一般乘数定理直接核对。若单位向量 $v$ 为最大值点，且 $w\cdot v=0$，则曲线 $q(t)=(v+tw)/\|v+tw\|$ 位于球面上，且 $q'(0)=w$。在最大值处对 $q(t)^TAq(t)$ 求导得 $2w^TAv=0$。将 $Av$ 分解为 $(v^TAv)v+w_0$，其中 $w_0\perp v$，再取 $w=w_0$ 得 $\|w_0\|^2=0$。因此 $Av=(v^TAv)v$，给出实特征对。维数一时结论直接成立。

为构造归纳所用的正交补基，从 $v$ 出发加入当前张成空间以外的标准坐标向量，扩成线性基。依次减去在已有标准正交向量上的投影，再除以非零余向量的范数。余向量不可能为零，否则起始向量组不线性无关。所得 $v$ 以外的向量构成 $v^\perp$ 的标准正交基。限制矩阵元素为 $u_i^TAu_j=u_j^TAu_i$，所以仍对称。这补齐归纳的构造与假设，维数一时正交补为空。

4 分级练习

E1 基础。 解 $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}x=(4,7)^T$。

E2 张量分量。 对 $A=\operatorname{diag}(4,1)$ 和 $Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$，计算 $Q^TAQ$ 并检查其迹和行列式。

E3 牵引。 对 $\sigma=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$ 和 $n=(1,0)$，求牵引及其法向和切向部分。

E4 证明。 证明 $a\otimes a$ 对称半正定，并在 $a\ne0$ 时确定其秩。

5 完整解答

S1. 由 $2x+y=4$ 和 $x+3y=7$，代入 $y=4-2x$ 得 $-5x=-5$。故 $x=1$、$y=2$，代回可检验两式。

S2. $Q^TAQ=\begin{pmatrix}5/2&-3/2\\-3/2&5/2\end{pmatrix}$。迹为 5，行列式为 $25/4-9/4=4$，与原矩阵相同。坐标轴旋转本身即可产生非对角分量。

S3. $t=\sigma n=(5,2)$。法向分量向量为 $(5,0)$，标量为 5；切向分量为 $(0,2)$。坐标轴平面未必是主平面。

S4. 矩阵是 $aa^T$，等于自身转置。对任意 $v$，$v^Taa^Tv=(a^Tv)^2\ge0$。其像为 $a$ 张成的直线，且将 $a$ 映为 $\|a\|^2a\ne0$，故秩为 1。

总结

矩阵表示线性映射并支持逆问题。二阶张量分量随坐标系变换，而映射本身不变。对称性给出主方向，正性则在传输模型中给出有意义的方向不等式。应说明张量类型、坐标和物理约定。