柱坐标与球坐标中的向量算子

径向场的分量看似恒定，方向却可随位置变化。因此不能把柱坐标或球坐标的基当成固定基，直接套用笛卡尔导数公式。尺度因子和变化的单位向量体现了几何结构。全章使用沿单位基向量的物理分量。

1 柱坐标与球坐标的单位标架

柱坐标中，$x=\rho\cos\theta$、$y=\rho\sin\theta$、$z=z$。单位向量为

$$e_\rho=(\cos\theta,\sin\theta,0),\quad e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0),\quad e_z=(0,0,1).$$

在 $\rho>0$ 时它们构成右手标准正交标架。求导得 $\partial_\theta e_\rho=e_\theta$、$\partial_\theta e_\theta=-e_\rho$。位移为 $dx=e_\rho d\rho+\rho e_\theta d\theta+e_zdz$，所以坐标尺度因子为 $(1,\rho,1)$。

球坐标约定 $\phi$ 为从正 $z$ 轴量起的极角，$\theta$ 为方位角：

$$x=r\sin\phi\cos\theta,\quad y=r\sin\phi\sin\theta,\quad z=r\cos\phi.$$

在右手坐标次序 $(r,\phi,\theta)$ 下，单位向量为

$$e_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$e_\phi=(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,-\sin\phi),\quad e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0).$$

尺度因子为 $(1,r,r\sin\phi)$，因为 $dx=e_rdr+r e_\phi d\phi+r\sin\phi e_\theta d\theta$。以下公式适用于正则坐标图 $r>0$、$0<\phi<\pi$；轴上的坐标奇点不自动意味着物理场存在奇点。

$F=F_re_r+F_\phi e_\phi+F_\theta e_\theta$ 中的物理向量分量，不同于非单位坐标向量 $\partial x/\partial r,\partial x/\partial\phi,\partial x/\partial\theta$ 的系数。混淆二者会遗漏或重复尺度因子。

2 推导正交坐标公式

对具有正尺度因子 $h_i$ 的右手正交坐标 $u_1,u_2,u_3$，记 $H=h_1h_2h_3$。由于 $df=\sum_i f_{u_i}du_i$ 必须等于 $\nabla f\cdot dx$，比较系数得到

$$\nabla f=\sum_i e_i\frac1{h_i}f_{u_i}.$$

一个小坐标盒的体积为 $H\,du_1du_2du_3$。垂直于 $e_i$ 的两个面有面积尺度 $H/h_i$。相减相对面的通量并除以体积得到

$$\nabla\cdot F=\frac1H\sum_i\partial_{u_i}\left(\frac H{h_i}F_i\right).$$

这一局部推导是散度定理的微分极限，包含变化的面面积。

对于旋度，沿 $u_j,u_k$ 方向的小定向坐标矩形的环流，是边量 $h_kF_k$ 和 $h_jF_j$ 的导数之差。除以面积 $h_jh_kdu_jdu_k$ 并局部应用 Stokes 定理，得到

$$(\nabla\times F)_i=\frac1{h_jh_k}\left[\partial_{u_j}(h_kF_k)-\partial_{u_k}(h_jF_j)\right],$$

其中 $(i,j,k)$ 为循环排列。这些论证要求场可微且坐标图正则。它们推导尺度因子公式，而不是把公式视为互不相关的表格。

3 柱坐标公式与例子

代入 $(1,\rho,1)$ 得

$$\nabla f=e_\rho f_\rho+e_\theta\frac{f_\theta}{\rho}+e_zf_z,$$ $$\nabla\cdot F=\frac1\rho\partial_\rho(\rho F_\rho)+\frac1\rho\partial_\theta F_\theta+\partial_zF_z,$$ $$\nabla\times F=e_\rho\left(\frac1\rho\partial_\theta F_z-\partial_zF_\theta\right) +e_\theta(\partial_zF_\rho-\partial_\rho F_z) +e_z\frac1\rho\left[\partial_\rho(\rho F_\theta)-\partial_\theta F_\rho\right].$$

对梯度取散度得到 $\Delta f=\rho^{-1}\partial_\rho(\rho f_\rho)+\rho^{-2}f_{\theta\theta}+f_{zz}$。

刚体旋转。 对 $F=\Omega\rho e_\theta$，散度为零，旋度为 $2\Omega e_z$。笛卡尔坐标中它是 $(-\Omega y,\Omega x,0)$，验证了相同答案。只对分量 $F_\theta=\Omega\rho$ 求导而忽略标架几何，会漏掉旋度中的一个因子。

平面径向扩散。 场 $F=Ae_\rho/\rho$ 在轴外散度为零，因为 $\rho F_\rho=A$。它穿过半径为 $R$、高度为 $L$ 的圆柱向外通量为 $2\pi AL$。包围通量非零与局部散度为零并不矛盾：轴是被排除在公式正则区域之外的奇点。

4 球坐标公式与径向算子

按坐标次序 $(r,\phi,\theta)$，

$$\nabla f=e_rf_r+e_\phi\frac{f_\phi}{r}+e_\theta\frac{f_\theta}{r\sin\phi},$$ $$\nabla\cdot F=\frac1{r^2}\partial_r(r^2F_r) +\frac1{r\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi F_\phi) +\frac1{r\sin\phi}\partial_\theta F_\theta.$$

旋度分量为

$$(\nabla\times F)_r=\frac{\partial_\phi(\sin\phi F_\theta)-\partial_\theta F_\phi}{r\sin\phi},$$ $$(\nabla\times F)_\phi=\frac1r\left[\frac1{\sin\phi}\partial_\theta F_r-\partial_r(rF_\theta)\right],\qquad (\nabla\times F)_\theta=\frac1r[\partial_r(rF_\phi)-\partial_\phi F_r].$$

标量 Laplace 算子为

$$\Delta f=\frac1{r^2}\partial_r(r^2f_r) +\frac1{r^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi f_\phi) +\frac{f_{\theta\theta}}{r^2\sin^2\phi}.$$

对径向函数 $f=f(r)$，它化为 $f''+2f'/r$。因此当 $r>0$ 时 $\Delta(1/r)=0$。函数在零处奇异，所以这不是全局无源的陈述。对 $F=Ae_r/r^2$，散度同样在零以外为零，球面通量为 $4\pi A$。

作为非奇异坐标图的检查，笛卡尔场 $(x,y,z)$ 变为 $F=re_r$，散度为 $r^{-2}\partial_r(r^3)=3$。柱坐标形式为 $\rho e_\rho+ze_z$，也得到 3。有效的物理结果应在正则坐标图之间一致。

尺度因子的笛卡尔链式法则证明

为直接证明局部公式，设 $x=x(u)$ 是 $\mathbb R^3$ 开集之间的 $C^2$ 坐标微分同胚，非零坐标向量 $x_{u_i}=h_i e_i$ 两两正交，单位标架 $(e_1,e_2,e_3)$ 为右手。设 $F$ 在目标上为 $C^1$。记 $F_i=F\cdot e_i$、$H=h_1h_2h_3$。倒易坐标向量为 $\nabla u_i=e_i/h_i$，因为它与 $x_{u_j}$ 的点积是 $\delta_{ij}$。

对 $i\ne j$，坐标混合导数相等给出 $\partial_j(h_i e_i)=\partial_i(h_j e_j)$。与 $e_i$ 点乘得 $\partial_jh_i=h_j e_i\cdot\partial_i e_j$，因为单位向量与自身的任意导数正交。笛卡尔链式法则及散度的迹定义给出

$$\nabla\cdot F=\sum_i\frac1{h_i}e_i\cdot\partial_iF =\sum_j\left[\frac{\partial_jF_j}{h_j}+\frac{F_j}{h_j}\sum_{i\ne j}\frac{\partial_jh_i}{h_i}\right] =\frac1H\sum_j\partial_j\left(\frac H{h_j}F_j\right).$$

这计入了变化标架的全部导数。对循环排列 $(i,j,k)$，用该右手标准正交标架表示笛卡尔旋度恒等式，得到

$$(\nabla\times F)_i=\frac{e_k\cdot\partial_jF}{h_j}-\frac{e_j\cdot\partial_kF}{h_k}.$$

对 $F_k=F\cdot e_k$、$F_j=F\cdot e_j$ 求导，剩余标架项可由 $\partial_j(h_k e_k)=\partial_k(h_j e_j)$ 合并，也即

$$-\frac{\partial_j e_k}{h_j}+\frac{\partial_k e_j}{h_k} =\frac{\partial_j h_k}{h_jh_k}e_k-\frac{\partial_k h_j}{h_jh_k}e_j.$$

代入恰得 $[\partial_j(h_kF_k)-\partial_k(h_jF_j)]/(h_jh_k)$。因此旋度公式来自正则坐标图上的普通求导，无须借用任意曲坐标盒上的未证定理。对 $C^2$ 标量场，将已证散度恒等式用于梯度即得标量 Laplace 算子。柱坐标及球坐标代入时，须保留先前指定的坐标次序及尺度因子为正的定义域。

5 分级练习

E1 基础。 将 $F=(x,y,2z)$ 表为柱坐标分量，并计算其散度。

E2 标量场。 对 $f=\rho^2+z^2$ 计算柱坐标梯度和 Laplace 算子，与笛卡尔结果比较。

E3 径向场。 对 $r>0$ 上的 $F=r^me_r$，求散度并指出使其为零的指数。

E4 坐标图与场。 用球坐标公式计算 $\Delta(r\cos\phi)$。解释为什么坐标分母不意味着该场在轴上奇异。

E5 旋度。 对柱坐标场 $F=\rho z\,e_\theta$ 求旋度。

6 详解

S1. $F=\rho e_\rho+2ze_z$。散度为 $\rho^{-1}\partial_\rho(\rho^2)+\partial_z(2z)=2+2=4$，与笛卡尔坐标中的 $1+1+2$ 一致。

S2. 梯度为 $2\rho e_\rho+2ze_z$，Laplace 算子为 $\rho^{-1}\partial_\rho(2\rho^2)+2=4+2=6$。由于 $f=x^2+y^2+z^2$，这正是预期的笛卡尔梯度与 Laplace 算子。

S3. 散度为 $r^{-2}\partial_r(r^{m+2})=(m+2)r^{m-1}$。在零以外，当 $m=-2$ 时它为零。奇异原点仍需单独处理通量。

S4. 径向贡献为 $2\cos\phi/r$，极角贡献为 $-2\cos\phi/r$，方位角贡献为零。它们相消，得到零。该标量就是笛卡尔坐标 $z$，处处光滑；仅球坐标图在轴上退化。

S5. 径向分量为 $-\partial_z(\rho z)=-\rho$，方位角分量为零，竖直分量为 $\rho^{-1}\partial_\rho(\rho^2z)=2z$。因此旋度为 $-\rho e_\rho+2ze_z$。

小结

曲线坐标向量运算需要明确物理分量约定、坐标定向及尺度因子。梯度比较标量微分与位移；散度追踪变化的面面积；旋度追踪坐标矩形的环流。必须区分柱坐标和球坐标的坐标图奇点与真正奇异的场和源。