衰变、化学、生态与公共卫生中的模型

当变量、单位和假设与过程相符时，方法才有用。我们以示例参数将一阶方程和耦合平衡应用于多个领域。第 2–6 节的物理模型取正向时间 $t\ge0$，初值在 $t=0$ 处指定。

1 一阶齐次方程的两种含义

对于系数 $p$ 连续的线性齐次方程 $y'+p(t)y=0$，正积分因子 $\mu=\exp(\int p)$ 给出 $(\mu y)'=0$，故 $y=C/\mu$；这是积分因子法的齐次情形。齐次一词的另一常见用法是 $y'=F(y/t)$，其中 $F$ 在比值范围上连续，同时缩放 $t,y$ 不改变右端。在 $t\ne0$ 的区间，令 $y=tv$ 得 $tv'=F(v)-v$，可分离变量。满足 $F(v)=v$ 的常数比值分支必须在除法前保留。这两个机制虽然名称相同，实际不同。

2 地质年代学与封闭衰变模型

假设母体同位素初始量 $P_0>0$，母体量 $P$ 以常率 $\lambda>0$ 衰变，一对一地产生稳定子体，且系统没有其他途径使母体或子体增加或流失。则 $P'=-\lambda P$，得到 $P=P_0e^{-\lambda t}$。对于 $t\ge0$，有 $P(t)>0$，因此子体与母体的比值 $D/P$ 有定义。其半衰期为 $H=\log2/\lambda$。

若子体初始量为零，则 $D'=\lambda P$ 且 $P+D=P_0$。因此

$$\frac DP=e^{\lambda t}-1,\qquad t=\frac1\lambda\log\left(1+\frac DP\right).$$

比值 $D/P=3$ 给出 $t=\log4/\lambda=2H$。非零初始子体或与周围环境交换会改变推断。微分方程本身不能确立这些地质假设，且若不指定速率和模型，测量比值不能确定年代。

3 连续地球化学反应

对速率 $\lambda_1,\lambda_2>0$ 的理想一阶反应链 $A\to B\to C$，将各量记为 $a,b,c$：

$$a'=-\lambda_1a,\quad b'=\lambda_1a-\lambda_2b,\quad c'=\lambda_2b.$$

相加表明 $a+b+c$ 守恒。第一式的解是 $a=a_0e^{-\lambda_1t}$。将中间方程乘以 $e^{\lambda_2t}$ 并积分，当 $\lambda_1\ne\lambda_2$ 时得到

$$b=b_0e^{-\lambda_2t}+\frac{\lambda_1a_0}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}).$$

当速率相等时，直接计算积分因子积分，避免除以零：

$$b=(b_0+\lambda a_0t)e^{-\lambda t}.$$

最后 $c=a_0+b_0+c_0-a-b$。表面上的分母奇点是某个公式的表示失效，并不表示相等速率时没有解。各产生—移除方程的积分形式表明，非负初始量在正向时间 $t\ge0$ 上保持非负。

4 周期输入的环境化学

对完全混合、体积恒定的隔室，设 $c$ 为浓度，并假设

$$c'+kc=u_0+u_1\cos\omega t,\qquad k>0,\quad\omega>0.$$

外力的单位为浓度除以时间，$k$ 的单位为时间倒数。积分因子法或比较系数给出周期特解

$$c_p(t)=\frac{u_0}k+\frac{u_1}{k^2+\omega^2}(k\cos\omega t+\omega\sin\omega t).$$

完整解为 $c=c_p+(c_0-c_p(0))e^{-kt}$。其振幅为 $|u_1|/\sqrt{k^2+\omega^2}$：在此模型中，快速外力相对于缓慢变化的输入受到衰减。若 $u_0\ge|u_1|$ 且 $c_0\ge0$，积分解非负，因为外力和指数因子均非负。有负值的正弦外力未必能代表非负化学输入。

5 生态学与可行性阈值

带恒定捕获量的逻辑斯蒂种群满足

$$N'=rN(1-N/K)-H,\qquad r,K>0,\quad H\ge0.$$

配方得到 $N'=rK/4-H-(r/K)(N-K/2)^2$。当 $H<rK/4$ 时，平衡点为

$$N_\pm=\frac K2\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right).$$

变化率的导数是 $r(1-2N/K)$；两根不同时，它在 $N_-$ 处为正，在 $N_+$ 处为负。因此相线表明较低平衡点不稳定，较高平衡点局部吸引。当 $H=rK/4$ 时，重平衡点需要单独的单侧分析；不同根的符号论证不再适用。

若 $H>rK/4$，在每个非负种群处变化率均为负。事实上 $N'\le-(H-rK/4)$，所以若初值为正，数学轨迹最迟在 $N_0/(H-rK/4)$ 时达到零。继续延拓到负种群在代数上可行，但在物理上无意义；模型须在该边界停止或改变。假设模型中的参数阈值并不是经过验证的生态捕获规则。

6 公共卫生隔室模型作为常微分方程例子

在理论上的封闭易感—感染—康复模型中，

$$S'=-\beta SI/N,\quad I'=\beta SI/N-\gamma I,\quad R'=\gamma I,$$

其中 $\beta,\gamma>0$，总量 $N=S+I+R>0$ 为固定正数。方程相加证明守恒。非负初始隔室量保持非负：前两个方程给出 $S$ 和 $I$ 的指数表示，$R$ 的产生量非负。因此总量守恒也为三个隔室提供上界。

在忽略 $S$ 消耗的阶段，用 $S_0$ 替换它得到线性近似

$$I(t)\approx I_0\exp[(\beta S_0/N-\gamma)t].$$

这解释了简化早期方程中的一个阈值，并展示非线性耦合系统如何与前述线性方法联系。它不是实际疾病的预测：近似、参数解释、接触结构及数据有效性都需要独立证据。这些示例计算不能推出治疗或个人健康决定。

重阈值与模型中的有限时间延拓

当 $H=rK/4$，令 $z=N-K/2$、$a=r/K>0$，则 $z'=-az^2$。平衡为 $z=0$；对 $z_0\ne0$，直接分离并代入可得 $z(t)=z_0/(1+az_0t)$，适用于包含零且分母不消失的区间。若 $z_0>0$，它在全部正向时间递减至零。若 $z_0<0$，它递减并远离零；物理解在 $N=0$ 时停止，早于负种群极点。因此阈值平衡从上方吸引、从下方排斥，不是双侧局部吸引平衡。

对不同根，因式分解 $N'=-(r/K)(N-N_-)(N-N_+)$ 给出每个区间的符号。局部唯一性阻止解穿过平衡点。在 $N_+$ 充分近处出发的解单调且被初值和 $N_+$ 夹住，其极限必须为平衡点；否则非零的极限变化率会使导数绝对值保持正下界，与收敛矛盾。因此解趋于 $N_+$。在 $N_-$ 下方或上方，变化率均指向远离它的方向，证明不稳定；可行性始终在 $N\ge0$ 内理解。

捕获模型的延拓步骤也可明确证明。留在紧种群区间的轨迹，其多项式变化率有界，例如 $|N'|\le M$，所以 $|N(t)-N(s)|\le M|t-s|$。在有限时间端点，它在该区间中有实极限。对该极限处应用局部存在性，再以唯一性拼接，便得到延拓。因此 $N_+$ 附近被夹住的分支在取无限时间极限前已保证正向全局存在。若 $H>rK/4$，则到达零之前 $0\le N\le N_0$，位于紧区间内，不会有更早的有限端点阻止延拓。此时积分 $N'\le-(H-rK/4)$，便证明最迟在 $N_0/(H-rK/4)$ 达到零；否则延拓后的非负解会在该时限变为负数。

为补全理论隔室例子，将 $N>0$ 视作固定初始总量参数。其关于 $(S,I,R)$ 的多项式向量场在有限盒上局部 Lipschitz，已证有限维定理给出局部解。在存在区间上，

$$S(t)=S_0\exp\left(-\int_0^t\beta I(s)/N\,ds\right),\quad I(t)=I_0\exp\left(\int_0^t[\beta S(s)/N-\gamma]ds\right),$$

且 $R=R_0+\int_0^t\gamma I(s)ds$。所以正向非负性与总量守恒使状态留在紧单纯形 $S,I,R\ge0$、$S+I+R=N$。有限的正向端点不能阻止延拓：向量场在该单纯形的固定紧邻域上有界，故解关于时间 Lipschitz，在端点有位于其中的极限。在该极限处应用局部定理，并以唯一性拼接解。这证明该指定模型的全局正向存在；早期易感量恒定近似仍是独立假设。

7 分级练习

E1 衰变。 在封闭衰变模型中，若剩余母体量为初始量的四分之一，以半衰期表示时间。

E2 反应链。 若相等速率 $\lambda=1$、$a_0=1$、$b_0=0$，求 $b(t)$ 及其在 $t\ge0$ 上的最大值。

E3 周期输入。 对 $k=\omega=1$、$u_0=2$、$u_1=1$，求周期浓度和振幅。

E4 捕获。 对示例值 $r=2$、$K=100$、$H=32$，求平衡点及其局部稳定性。

E5 线性近似。 对假设值 $\beta=0.4$、$\gamma=0.2$、$S_0/N=0.9$，在一致时间单位下求线性化增长率。该数字不能证明什么？

8 详解

S1. $P/P_0=1/4=2^{-2}$，所以 $t=2H$。答案假设所述衰变规律和已知初始比例，并未独立验证地质封闭性。

S2. $b=te^{-t}$，其导数为 $(1-t)e^{-t}$，在 1 之前为正、之后为负，因此在 $t\ge0$ 上的全局最大值是 $t=1$ 处的 $e^{-1}$。

S3. $c_p=2+(\cos t+\sin t)/2$，振幅为 $1/\sqrt2$。任何初始不匹配增加一个衰减的 $e^{-t}$ 倍数，不改变最终周期振幅。

S4. $rK/4=50$，平方根因子为 $\sqrt{1-128/200}=0.6$。因此平衡点为 20 和 80。变化率导数分别为 $1.2$ 和 $-1.2$，故 20 不稳定、80 局部吸引。这些是模型结果，不是经验政策建议。

S5. 速率为每时间单位 $0.4(0.9)-0.2=0.16$。它只在所述线性化模型内预测增长，既不估计实际参数，也不确定易感量恒定近似的有效性或持续时间。

小结

平衡方程将一套共同的常微分方程方法联系到多个领域。守恒总量、积分因子、等速率极限、正性及可行边界提供独立检验。数学解的有效性仍以过程假设为条件，不应误认为经过验证的地质、生态或临床推断。