张量类型、度量与各向异性通量

公式 $Q^TAQ$ 对正交规范坐标系中的多种张量类型都正确，这可能掩盖重要区别。在非正交规范坐标中，线性映射、双线性型和将微分协向量映为通量向量的传导系数有不同变换律。我们从对象本身推导规则，避免将坐标效应误认为物理各向异性。

1 向量与协向量的不同变换

设新基与旧基关系为 $e'_j=\sum_i e_iP_{ij}$，其中 $P$ 可逆。向量的坐标列满足 $v=Pv'$，所以 $v'=P^{-1}v$。协向量是线性泛函 $\alpha:V\to\mathbb R$。若其分量为 $\alpha_i=\alpha(e_i)$，则 $\alpha(v)=\alpha^Tv$。在新基中，

$$\alpha'_j=\alpha(e'_j)=\sum_iP_{ij}\alpha_i,\qquad\alpha'=P^T\alpha.$$

配对不变：$(\alpha')^Tv'=\alpha^TPP^{-1}v=\alpha^Tv$。协向量不是任意转置显示的向量；其变换律来自它作为泛函的作用。

线性映射 $A:V\to V$ 的新分量为 $A'=P^{-1}AP$。双线性型 $B(u,v)=u^TBv$ 的新分量为 $B'=P^TBP$，因为 $u=Pu'$、$v=Pv'$。两者分别是混合型与协变二阶张量。向量外积 $uv^T$ 若视为两个逆变指标，而不是通过隐含度量视为映射，则按 $P^{-1}(uv^T)P^{-T}$ 变换。

2 度量解释熟悉的正交简化

令 $G_{ij}=e_i\cdot e_j$ 为 Gram 矩阵或度量矩阵，则 $\|v\|^2=v^TGv$、$G'=P^TGP$，且 $G$ 对称正定。由点积与向量 $v$ 关联的协向量分量为 $Gv$；与协向量 $\alpha$ 关联的向量分量为 $G^{-1}\alpha$。这是常系数欧氏背景中的升降指标。

对标量场 $c$，微分的协向量分量为 $g_i=\partial c/\partial x^i$。物理梯度是分量为 $G^{-1}g$ 的向量，因为它与位移 $h$ 的点积必须等于 $g^Th$。

若各向同性传导系数是作用于梯度向量的线性映射 $L=kI$，通量定律为

$$j=-L\,G^{-1}g=-Kg,\qquad K=LG^{-1}.$$

这里 $K$ 将协向量映为向量，按 $K'=P^{-1}KP^{-T}$ 变换，而 $L'=P^{-1}LP$。在正交规范坐标系中 $G=I$，且 $P=Q$ 正交，两种公式都化为 $Q^TKQ$。不能不检查张量类型，就将这一一致性推广到任意基。

斜基例。 从正交规范平面出发，取 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$。则

$$G'=P^TP=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad (K')_{\rm covector\ to\ vector}=k\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=k(G')^{-1}.$$

非对角元素不意味着物理材料变成各向异性：仍有 $L'=kI$。若旧直角坐标中 $c=x$，则 $c=x'+y'$ 且 $g'=(1,1)$。乘以 $(G')^{-1}$ 得梯度向量坐标 $(1,0)$，映回后得到正确的物理向量 $(1,0)$。

3 缩并与不变量

缩并将一个向量指标与一个协向量指标配对。线性映射的迹不变，因为 $\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}A$，其中使用有限指标和恒等式 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$。协变双线性型的对角分量之和一般不保持不变。其度量迹为 $\operatorname{tr}(G^{-1}B)$，并且不变，因为 $(G')^{-1}B'=P^{-1}G^{-1}BP$。

在正交规范坐标系中，双重缩并 $A:B=\sum_{ij}A_{ij}B_{ij}=\operatorname{tr}(A^TB)$ 是 Frobenius 内积。对非正交规范的协变分量，需要度量因子才能得到同一标量；不加说明地逐项求和会改变该量。

在每个正交坐标变换下不变的线性映射是标量映射：对每个正交矩阵 $Q$ 有 $Q^TAQ=A$，选择坐标符号反转可迫使非对角元素为零，选择坐标置换可迫使所有对角元素相同。因此 $A=kI$。此证明使用完整的正交不变性；仅与某个选定旋转可交换不足以确立各向同性。

4 平衡方程中的变张量系数

回到直角坐标，假设 $K$ 为 $C^1$、$c$ 为 $C^2$，均在开邻域上成立，并令 $j_i=-\sum_jK_{ij}(x)\partial_jc$。乘积法则给出

$$\nabla\cdot(K\nabla c)=\sum_{i,j}K_{ij}\partial_i\partial_jc +\sum_{i,j}(\partial_iK_{ij})\partial_jc.$$

两个和都重要。对 $K=\operatorname{diag}(1+x^2,2)$ 和 $c=x^2+y^2$，

$$\nabla\cdot(K\nabla c)=\partial_x(2x+2x^3)+\partial_y(4y)=6+6x^2.$$

只使用 $K:H_c$ 将得到 $6+2x^2$，漏掉系数导数的贡献 $4x^2$。对常对称正定 $K$，主轴使其正交对角化；对变化的 $K$，逐点对角化不能消去变化坐标系的导数。

5 分级练习

E1 基础。 取 $P=\operatorname{diag}(2,3)$、旧欧氏度量为 $I$，计算新度量、向量 $(2,3)$ 的分量及协向量 $(2,3)$ 的分量。

E2 张量类型。 对旧线性映射 $A=\operatorname{diag}(4,1)$ 和上述斜基 $P$，计算 $A'$，并与协变双线性型变换 $P^TAP$ 比较。

E3 度量迹。 在斜基中设 $B'=G'$。求普通元素迹与度量迹，并解释差异。

E4 通量。 对直角坐标中的 $K=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ 和 $c=x^2+xy$，计算 $\nabla\cdot(K\nabla c)$。

E5 证明。 若 $K$ 在直角坐标中对称正定，证明 $j=-K\nabla c$ 满足 $j\cdot\nabla c\le0$，并指出等号条件。

6 完整解答

S1. $G'=\operatorname{diag}(4,9)$。向量坐标为 $P^{-1}(2,3)=(1,1)$，协向量分量为 $P^T(2,3)=(4,9)$。旧配对为 13，新配对也为 $(4,9)\cdot(1,1)=13$。旧坐标中相同的数值列表表示不同类型对象。

S2. $A'=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}$。双线性型分量为 $P^TAP=\begin{pmatrix}4&4\\4&5\end{pmatrix}$，两种变换不可互换。物理自伴映射在斜基中的对称性未必表现为普通矩阵对称，而是相对于度量表达。

S3. 普通迹为 3，但 $\operatorname{tr}((G')^{-1}G')=2$。度量是二维空间中的点积双线性型，其不变度量迹为维数 2。坐标对角和本身不是该不变量。

S4. $\nabla c=(2x+y,x)$。相乘得 $K\nabla c=(5x+2y,5x+y)$，故散度为 $5+1=6$。也可将常矩阵 $K$ 与 Hessian $\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$ 缩并，得到 6。

S5. $j\cdot\nabla c=-(\nabla c)^TK\nabla c$。正定性使其在梯度非零时为负，梯度为零时为零。半正定性会允许其他零耗散方向，因此等号条件不同。

总结

张量类型决定分量变换规则。度量联系协向量和向量，但在斜坐标中不能不加说明地替换为单位矩阵。只有正确配对指标，缩并才产生不变量；变化的传输张量还贡献系数导数项，单靠逐点对角化或 Hessian 缩并可能遗漏。