耦合系统与二阶微分方程

区室之间的交换使其变化率耦合。矩阵方法将总量与区室之间的差异分开。二阶方程引入位置和速度之间的另一种耦合，并显示振荡或阻尼行为。

1 常系数系统

对常实 $d\times d$ 矩阵（$d\ge1$）系统 $x'=Ax$，实特征对 $(\lambda,v)$ 给出解 $x(t)=e^{\lambda t}v$，直接求导即可验证。若 $A=PDP^{-1}$ 有实特征基，令 $x=Pz$，则 $z'=Dz$，并有

$$x(t)=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_dt})P^{-1}x(0).$$

对任意方阵 $A$，定义矩阵指数

$$e^{tA}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kA^k}{k!}.$$

次乘性矩阵范数用 $e^{|t|\|A\|}$ 控制级数，给出有界时间区间上的绝对一致收敛。导数级数有同类界，故可逐项求导，得到 $(e^{tA})'=Ae^{tA}$。将两个级数相乘或求解导数恒等式，可得 $e^{tA}e^{-tA}=I$。因此 $x=e^{tA}x_0$ 是唯一解：对任意解，求导 $e^{-tA}x(t)$ 得零。

此构造不假设可对角化。对 $A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}=-I+N$ 且 $N^2=0$，有 $e^{tA}=e^{-t}(I+tN)$。错误地将重特征值对角化不能得到因子 $t$。

2 两个相通水库

两个等体积、完全混合的水库以有效速率 $k>0$ 交换，并各以速率 $\mu\ge0$ 移除溶质。没有外部输入时，浓度满足

$$\binom{c_1'}{c_2'}=\begin{pmatrix}-(k+\mu)&k\\k&-(k+\mu)\end{pmatrix}\binom{c_1}{c_2}.$$

令 $s=c_1+c_2$、$d=c_1-c_2$。相加和相减得到 $s'=-\mu s$、$d'=-(2k+\mu)d$，故

$$c_1(t)=\tfrac12[s_0e^{-\mu t}+d_0e^{-(2k+\mu)t}],\quad c_2(t)=\tfrac12[s_0e^{-\mu t}-d_0e^{-(2k+\mu)t}].$$

当 $\mu=0$ 时，由于体积相等，总质量与 $s$ 成正比，故守恒；差异衰减至零，留下相等浓度 $s_0/2$。当 $\mu>0$ 时，两个浓度最终都趋于零，但不平衡比总量衰减更快。对非负初始浓度及正向时间 $t\ge0$，$|d_0|\le s_0$，较快的衰减保证两者非负。

体积为不等的正常数时，未加权的浓度和不是总质量。总质量是 $M=V_1c_1+V_2c_2$。若无外源且两区室有相同移除率 $\mu$，交换项相消，得到 $M'=-\mu M$；仅当 $\mu=0$ 时质量守恒。速率系数必须从适当的质量平衡推导。

3 二阶方程

线性二阶齐次方程为 $y''+ay'+by=0$。代入 $e^{rt}$ 得特征方程 $r^2+ar+b=0$。不同实根给出 $C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}$；重实根给出 $(C_1+C_2t)e^{rt}$；根 $\alpha\pm i\beta$ 给出 $e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)$。代入验证这些解，其独立的初始位置与速度值连同唯一性说明它们张成全部解。

对阻尼振子

$$y''+2\gamma y'+\omega_0^2y=0,\qquad\gamma\ge0,\ \omega_0>0,$$

根为 $-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$。欠阻尼情形 $\gamma<\omega_0$ 以角频率 $\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ 振荡，包络为 $e^{-\gamma t}$。临界阻尼有重根；过阻尼有两个不同的负实根。

能量 $E=(y'^2+\omega_0^2y^2)/2$ 满足

$$E'=y'(y''+\omega_0^2y)=-2\gamma y'^2\le0.$$

这直接检验符号约定：正阻尼不能增加该模型能量。此方程是简化的局部模型，并非所有环境运动的普遍描述。

完整的实矩阵指数构造

固定实 $d\times d$ 矩阵 $A$，其中 $d\ge1$，使用欧氏算子范数；其定义给出 $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$。对 $T>0$，在 $[-T,T]$ 上，级数各项的范数不超过 $T^k\|A\|^k/k!$；对 $k\ge1$，导数项的范数不超过 $\|A\|^kT^{k-1}/(k-1)!$。两个非负控制级数均收敛：超过某个有限指标后，相邻项比值至多为 $1/2$，尾和受几何级数控制。因此相同的界使两个矩阵级数在区间上一致 Cauchy。逐个实元素使用完备性和连续性，得到连续极限 $E,G$。

对多项式部分和 $E_N$，有 $E_N(t)-I=\int_0^tE_N'(s)ds$。一致收敛允许逐元素取极限，因为积分误差至多为 $T$ 乘导数的一致误差。因此 $E(t)-I=\int_0^tG(s)ds$。微积分基本定理现在证明可微性，而不只是形式导数级数收敛。将收敛的导数级数重新编号得到 $G=AE$。每个部分和与 $A$ 可交换，所以 $E$ 也与 $A$ 可交换。

乘积 $E(t)E(-t)$ 的导数为 $AE(t)E(-t)-E(t)AE(-t)=0$，在零处为 $I$。将 $t$ 换成 $-t$ 得到两个逆恒等式。于是 $x'=Ax$ 的任意解满足 $(E(-t)x(t))'=0$，证明 $x(t)=E(t)x(0)$ 及唯一性。固定 $s$，$E(t+s)$ 与 $E(t)E(s)$ 满足同一方程且在 $t=0$ 取值相同，所以 $E(t+s)=E(t)E(s)$；这也保证常数变易中的指数分解合法。

实二阶方程的三种解对，其 Wronskian 分别为 $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)t}$、$e^{2rt}$、$\beta e^{2\alpha t}$，其中非实根情形取 $\beta>0$。它们均非零，所以每对初值确定一个线性组合。该组合与任意另一个解的差给出零初值的一阶实系统，已证唯一性便确立解族完整。重根解对也可直接令 $y=e^{rt}u$，将方程化为 $u''=0$ 得到。

双水库物理模型的正性是正向时间结论：当 $t\ge0$，有 $e^{-(2k+\mu)t}\le e^{-\mu t}$ 且 $|d_0|\le s_0$，故两个浓度式均非负。线性 ODE 解本身也在负时间存在，但正性未必向过去保持。例如 $k=1$、$\mu=0$、$c_1(0)=1$、$c_2(0)=0$ 时，$c_2(t)=(1-e^{-2t})/2$ 在 $t<0$ 为负。

4 分级练习

E1 基础。 解 $x'=\operatorname{diag}(-2,1)x$、$x(0)=(3,4)$，并描述长期行为。

E2 水库。 令 $k=1$、$\mu=0$、$c_1(0)=6$、$c_2(0)=2$，求两个浓度及其极限。

E3 重根。 解 $y''+4y'+4y=0$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$。

E4 振荡。 解 $y''+2y'+5y=0$、$y(0)=0$、$y'(0)=2$。

5 完整解答

S1. $x(t)=(3e^{-2t},4e^t)$。一个分量衰减，另一个增长。一个方向的负特征值不使整个系统渐近稳定。

S2. $s_0=8$、$d_0=4$，故 $c_1=4+2e^{-2t}$、$c_2=4-2e^{-2t}$，两者均趋于 4，其和恒为 8。

S3. 重根为 $-2$，故 $y=(C_1+C_2t)e^{-2t}$。初始位置给出 $C_1=1$，初始导数给出 $C_2-2C_1=0$，故 $y=(1+2t)e^{-2t}$。

S4. 根为 $-1\pm2i$。写作 $y=e^{-t}(C_1\cos2t+C_2\sin2t)$。初始位置给出 $C_1=0$，导数给出 $2C_2=2$，故 $y=e^{-t}\sin2t$。

总结

特征模式分离耦合线性动力学，而矩阵指数处理重特征值或缺陷特征值。守恒律识别正确的聚合变量。二阶方程需要两个初始条件，能量求导可检查阻尼和符号是否符合目标物理模型。