空间导数与多重积分

浓度场为每个位置赋予一个标量。梯度描述局部空间变化，积分则将场与面积或体积结合，得到总质量。坐标变换简化几何，但需要雅可比因子，使物理量不随记号改变。

1 梯度与局部近似

对标量场 $c(x,y,z)$，偏导数改变一个坐标并保持其余坐标不变。若 $c$ 在 $a$ 附近具有连续一阶偏导数，则它可微，且

$$c(a+h)=c(a)+\nabla c(a)\cdot h+o(\|h\|).$$

证明时将 $h$ 分成坐标步骤，对每一步应用一元中值定理，并用偏导数连续性控制与所示线性映射的差。对运动路径 $r(t)$，链式法则给出 $d c(r(t))/dt=\nabla c\cdot r'$。沿单位方向 $u$ 的变化率为 $\nabla c\cdot u$；当梯度非零时，沿梯度方向达到最大值 $\|\nabla c\|$。

对 $c(x,y)=10-x^2-2y^2$，$\nabla c=(-2x,-4y)$。在 $(1,1)$ 处，最陡上升方向为 $(-1,-2)/\sqrt5$，变化率为 $2\sqrt5$。这是局部陈述；二次模型在其有意义的区域外可能变负。

Hessian 矩阵记录二阶偏导数。对 $C^2$ 场它是对称的。二阶近似增加 $h^TH_ch/2$，驻点处的负定 Hessian 证明严格局部最大值。对上述二次场，Hessian 为 $\operatorname{diag}(-2,-4)$，故在代数模型中原点是唯一全局最大值点，最大值为 10。

2 多重积分与质量

二重或三重积分是单元和 $\sum f(\xi_i)\Delta V_i$ 的极限，而不只是累次积分符号。紧矩形上的连续函数可积，因为一致连续性使上下和任意接近。对矩形上的连续被积函数，Fubini 定理允许两种次序的累次积分：累次积分值位于同一上下单元和之间，夹逼使其等于多重积分。

若 $\rho$ 是质量密度，则 $M=\iiint_D\rho\,dV$。若 $c$ 的浓度单位为质量每体积，同一积分给出储存质量。当 $M>0$ 时，质心为

$$\bar x=\frac1M\iiint_Dx\rho\,dV,$$

$\bar y,\bar z$ 有类似公式。对均匀矩形薄板，对称性给出几何中点。密度变化时，几何形心一般不等于质心。

3 变量代换与雅可比行列式

设 $U,V\subset\mathbb R^n$ 为开集，$n\ge1$，$\Phi:U\to V$ 为全局 $C^1$ 微分同胚。对紧 Jordan 集 $K\subset U$，令 $D=\Phi(K)$，并假设 $f$ 在 $D$ 上有界且 Riemann 可积，则

$$\int_Df(x)\,dx=\int_{\Phi^{-1}(D)}f(\Phi(u))|\det D\Phi(u)|\,du.$$

行列式是导数的局部体积缩放因子。一个概念性证明将参数空间分为小单元：可微性用平行六面体近似每个像，其体积为行列式乘单元体积；紧子区域上的一致控制和 Riemann 和收敛随后给出公式。边界或坐标奇点需要单独进行零体积或极限处理，不能盲目代入可逆性假设。

极坐标 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 在 $r>0$ 时雅可比行列式为 $r$，故 $dA=r\,dr\,d\theta$。原点和角度接缝从一一光滑内部映射中排除，再作为零面积集合加回。柱坐标中 $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。球坐标中，若极角 $\phi$ 从正 $z$ 轴量起，则 $dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta$。

圆形薄层例。 在圆盘 $r\le R$（$R>0$）上，设面密度为 $\rho_0(1-r^2/R^2)$，其中 $\rho_0>0$，则

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho_0(1-r^2/R^2)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi\rho_0R^2}{2}.$$

平均密度为 $M/(\pi R^2)=\rho_0/2$。遗漏因子 $r$ 会导致单位和质量都错误。

恰在 $C^2$ 假设下的完整二阶估计

设实函数 $f$ 在 $a\in\mathbb R^n$ 的开邻域上为 $C^2$。取 $r>0$ 使半径为 $r$ 的闭球位于其中。对 $\|h\|<r$，令 $\phi(t)=f(a+th)$，$0\le t\le1$。链式法则给出 $\phi''(t)=h^TH_f(a+th)h$。分部积分，或对 $(1-t)\phi'(t)$ 使用微积分基本定理，得到

$$f(a+h)-f(a)-Df(a)h=\int_0^1(1-t)h^TH_f(a+th)h\,dt.$$

减去 $\tfrac12h^TH_f(a)h$ 后，剩余项 $R(h)$ 满足

$$|R(h)|\le\frac{\|h\|^2}{2}\sup_{0\le t\le1}\|H_f(a+th)-H_f(a)\|_{\rm op}.$$

因对所有 $t$ 均有 $\|th\|\le\|h\|$，在 $a$ 的连续性使这个上确界趋于零。因此 $R(h)=o(\|h\|^2)$，无需三阶导数。若线段上 $\|H_f\|_{\rm op}\le M$，第一个等式还给出一阶误差界 $M\|h\|^2/2$。

为完整起见，Hessian 的对称性可直接由 $C^2$ 推出。固定不同坐标 $i,j$，作矩形差分

$$D(h,k)=f(a+he_i+ke_j)-f(a+he_i)-f(a+ke_j)+f(a).$$

先对坐标 $i$、再对 $j$ 使用一元微积分基本定理，将 $D(h,k)$ 表为 $\partial_j\partial_i f$ 在该矩形上的累次积分。按相反次序进行同样论证，则同一个差分是 $\partial_i\partial_j f$ 的累次积分。对非零 $h,k$ 除以 $hk$；连续性使各自的平均值趋于 $a$ 处相应的混合偏导数，所以二者相等。这里比较的是同一个有限差分的两次计算，没有预先假设积分可交换。

学习目标与预备知识

证明可微坐标变换保持 Jordan 零测边界，并对每个小立方体得到一致的双侧体积估计。内覆盖论证给出下界，外侧线性化估计给出上界。下一章利用这些估计，在每个有限维空间中证明积分换元定理。

我们使用有限维欧氏空间拓扑、线段上的微积分基本定理、行列式、紧集上的一致连续性，以及盒上的普通 Darboux 积分。体积与积分均通过有限 Jordan 覆盖和 Darboux 和建立。

估计中使用 $\|x\|_\infty=\max_j|x_j|$ 及其诱导矩阵范数。中心为 $c$、边长为 $h$ 的闭立方体满足 $\|x-c\|_\infty\le h/2$。其普通体积为 $h^n$。在有限维空间中改变范数不改变连续性或可微性，但此范数使立方体中的常数清楚可见。

1. Jordan 体积与有限覆盖边界判据

有界集合称为 Jordan 零测集，是指对每个 $\varepsilon>0$，都可用有限个坐标轴平行盒覆盖，且盒的总体积小于 epsilon。还可要求这些盒是边长任意小的立方体：对有限盒覆盖作足够细的剖分，允许盒面处增加任意小的总体积。当集合的示性函数在包含 $E$ 的盒内可积时，其 Riemann 积分称为 Jordan 体积 $v(E)$。

引理：有界 Jordan 集的边界零测，反之亦然

有界集合 $E$ Jordan 可测，当且仅当 $\partial E$ 为 Jordan 零测集。此外，在足够细的规则立方网格上，与 $\partial E$ 相交的立方体总体积趋于零。

由 Darboux 和证明。 内部同时与 $E$ 及其补集相交的网格单元上，示性函数的振幅为一；不与边界相交的单元上，振幅为零。若边界零测，由其闭包的紧性，可取总体积任意小的有限开盒覆盖。将一个零测覆盖略作扩大，在保持总体积小的同时使其开。足够细的网格中，所有边界单元均位于这一开覆盖内；否则直径趋零的单元将给出任意接近紧边界、却位于其邻域之外的点，产生矛盾。因此这些单元的总体积很小，Darboux 判据得证。

反过来，选择示性函数的上、下和之差小于 epsilon 的网格。任何不在网格面上的边界点都属于一个同时与两集合相交的单元，因此属于这些振幅非零的单元。有限多个网格面本身零测：用厚度任意小的薄片覆盖每个有界面。振幅非零的单元与这些薄片共同覆盖整个边界，其总体积可任意小，从而证明零测。前述开覆盖论证随即给出规则网格边界单元的估计；这也是下文要用的估计。

有界 Jordan 集的有限并、交与差仍为 Jordan 集，因为其边界包含在原有边界的并中。Jordan 体积与 Riemann 积分在交叠部分零测的分块上具有有限可加性。为说明这一点，对各个盒近似共同细分；在有限多个零测边界的覆盖之外，相应的示性函数恰好相加，其余误差由覆盖总体积控制。同一论证也证明，在 Jordan 零测集上改变有界被积函数的值，不改变其积分。

若函数在紧 Jordan 集 $K$ 上连续，将它在包含该集的盒内作零延拓后可积。在完全位于 $K$ 内的立方体中，一致连续性控制振幅；与边界相交的立方体总体积任意小，函数的统一界控制其贡献；在 $K$ 外延拓函数为零。这也表明，完全位于 $K$ 内的网格立方体上的带标记和收敛到其积分，因为被遗漏的边界立方体总体积趋于零。

2. 仿射盒的体积

引理：平行多面体的体积

对于可逆实矩阵 $A$ 和坐标轴平行盒 $Q$，

$$v(AQ+b)=|\det A|\,v(Q).$$

盒的像是平行多面体。

初等几何证明。 高斯消元把 $A$ 表成坐标置换、非零坐标缩放以及将某一坐标的倍数加到另一坐标上的剪切的乘积。置换保持盒覆盖的体积。坐标缩放将体积乘以缩放因子的绝对值：对盒先有精确等式，再推广到有限盒近似。剪切保持平行多面体的体积：平行于被改变坐标的切片仍是长度相同的区间，只是按其他坐标决定的量平移。

所需的多面体切片原理可由 Darboux 和直接得到。有界多面体的边界位于有限多个超平面内，每个超平面均零测。对有界超平面片，选一个系数非零的坐标解出，并将其余坐标剖分为边长 $h$ 的立方体；每个柱上高度变化为 $O(h)$，故总体覆盖体积为 $O(h)$。多面体的切片长度在有限多个区域上分片仿射，因此 Riemann 可积。对逐单元的示性函数下和与上和积分，可把切片长度积分夹在相同的两个和之间；边界零测判据使其差趋于零。这证明体积等于这些多面体的切片长度积分。因此剪切前后切片长度不变，体积也不变。

依次将这些初等操作作用于 $Q$。每个中间像仍是平行多面体，因此切片论证持续适用。置换和剪切的体积因子均为一，缩放的因子是对角缩放量的绝对值。由行列式代数，其乘积为 $|\det A|$。平移保持有限盒近似，故引理得证。

普通体积必须取绝对值：坐标反射改变行列式的符号，却不能把非负体积变为负数。

3. 局部 Lipschitz 映射将紧零测集映为零测集

引理：有限覆盖下的零测保持

设 $N$ 是开集 $U$ 内的紧 Jordan 零测子集，且 $F:U\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$，则 $F(N)$ 是 Jordan 零测集。

证明。 在 $U$ 内选取 $N$ 的紧邻域，并在其中以某个 $L>0$ 控制 $\|DF\|_\infty$。用该邻域内足够小的有限多个立方体覆盖 $N$，使总体积任意小。在每个立方体内，连接两点的线段仍留在邻域中。沿线段应用微积分基本定理得到 $\|F(x)-F(y)\|_\infty\le L\|x-y\|_\infty$。因此中心为 $c$、边长为 $h$ 的立方体的像包含在中心为 $F(c)$、边长为 $Lh$ 的立方体内。这些包围像的立方体总体积至多是原覆盖总体积的 $L^n$ 倍。令原总体积小于 $\varepsilon/L^n$，即可得到所需的有限像覆盖。需要时可把 $L$ 增大至至少一。逐个立方体的估计保证每条线段都位于开定义域内。

同一结论适用于这样一个紧零测集的任何有界子集，因为其像包含在该零测像的覆盖中。它也适用于 $C^1$ 微分同胚的逆映射在目标空间紧子集上的作用。

现令 $T:U\to V$ 为 $\mathbb R^n$ 的两个开子集之间的 $C^1$ 微分同胚。若 $K\subset U$ 紧且 Jordan 可测，则 $T(K)$ 亦紧且 Jordan 可测。事实上，开邻域之间的同胚将边界映为边界：

$$\partial T(K)=T(\partial K).$$

这是因为 $T$ 及其逆都是开映射，故在两个方向上都将 $K$ 的内部映为 $T(K)$ 的内部；紧性使两集合均闭。由集合减去各自的内部即得边界恒等式。对 $\partial K$ 应用零测保持引理，再应用 Jordan 边界判据即可。

对闭包位于 $U$ 内的有界 Jordan 子集，同样的局部边界论证也成立。这将用于处理由目标空间有限网格切出的各块。

4. 一致立方体畸变：证明两个包含关系

固定紧集 $K\subset U$，在 $U$ 内选取 $K$ 的紧邻域 $K_*$。在该邻域上，$DT$ 和其逆矩阵均有界，因为矩阵元素连续且每个行列式均非零。以 $\kappa$ 表示 $\|DT(x)^{-1}\|_\infty$ 的一个界，以 $J_*$ 表示 $J(x)=|\det DT(x)|$ 的一个界。

一致连续性给出一个模函数 $\omega(h)\to0$：当 $x,y\in K_*$ 且 $\|x-y\|_\infty\le h$ 时，它控制 $\|DT(x)-DT(y)\|_\infty$。考虑任一与 $K$ 相交、边长为 $h$ 的充分小闭网格立方体 $Q$；选择足够小的尺度，使整个 $Q$ 位于 $K_*$ 内。令 $c$ 为其中心，$A=DT(c)$。线段上的微积分基本定理给出

$$T(x)=T(c)+A(x-c)+R(x),\qquad \|R(x)\|_\infty\le\omega(h)h/2\quad(x\in Q).$$

令 $\delta(h)=\kappa\omega(h)/2$，并将像归一化为

$$H(x)=c+A^{-1}[T(x)-T(c)].$$

于是 $H(c)=c$，且在整个 $Q$ 上有 $\|H(x)-x\|_\infty\le\delta(h)h$。令 $Q^+$ 和 $Q^-$ 分别为同心、边长 $h(1+2\delta)$ 与 $h(1-2\delta)$ 的立方体，并取足够小的 $h$ 使 $\delta<1/4$。

外侧包含。 坐标误差界直接给出 $H(Q)\subseteq Q^+$。

内侧包含。 边界点 $x\in\partial Q$ 的某个坐标距中心为 $h/2$，故其在 $H$ 下的像的该坐标距中心至少为 $h/2-\delta h$。因此 $H(\partial Q)$ 与内部和 $Q^-$ 相同的开立方体不相交。由于 $H$ 在一个开邻域上为同胚，$\partial H(Q)=H(\partial Q)$，且 $c$ 是 $H(Q)$ 的内点。

如果该开内立方体有一点在闭集 $H(Q)$ 之外，那么连接该点与 $c$ 的线段完全位于此内立方体中，并且离开该集合时必与 $\partial H(Q)$ 相交。这与刚证明的边界排除矛盾。因此开内立方体包含于 $H(Q)$，由闭性得到 $Q^-\subseteq H(Q)$。这就是线段从闭集内点首次离开的初等性质。

撤销仿射归一化。线性体积引理与集合包含关系给出双侧估计

$$J(c)(1-2\delta(h))^n h^n \le v(T(Q))\le J(c)(1+2\delta(h))^n h^n.$$

因此存在单一的 $\beta(h)\to0$，与在 $K$ 附近选取的立方体无关，使

$$|v(T(Q))-J(c)v(Q)|\le\beta(h)v(Q).$$

例如可取 $\beta(h)=J_*\max((1+2\delta)^n-1,\ 1-(1-2\delta)^n)$。此外，对这些小立方体，有 $v(T(Q))\le C v(Q)$，其中固定常数 $C=J_*(3/2)^n$。仿射体积引理将两个包围关系转化为上述体积界。

一致相对误差使各单元误差能够在不断细化的网格上求和；同一组常数也控制边界立方体。

估计例子

在二维中，若 $\delta\le1/100$，中心处的 Jacobian 为 $J(c)$，则像的面积介于 $0.98^2J(c)h^2$ 与 $1.02^2J(c)h^2$ 之间。即使网格单元数按 $h^{-2}$ 的量级增长，相对界仍然有用。导数的一致连续性使得当 $h$ 减小时 delta 趋于零。

分层证明练习

1. 零测覆盖。 重现 Lipschitz 映射保持像零测的证明，并解释为什么只需在覆盖用的小立方体上有导数界，而无须在连接 $U$ 内任意两点的每条线段上有界。
2. 边界。 在所述紧性及同胚假设下证明 $\partial T(K)=T(\partial K)$。若集合到达 $U$ 的边界，哪些事实需要重新检查？
3. 内覆盖。 解释为什么仅有像的外侧包围不能建立所述体积渐近式。重现利用边界与线段证明内侧包含的论证。
4. 一致性。 指出紧性在何处提供共同的导数界、逆矩阵界及连续性界。解释为什么对每个互不相关的单元中心分别给出 little-o 陈述，不足以得到后续求和所需的估计。

完整解答

1. 总体积为 $\eta$ 的有限立方体覆盖，其像包含在总体积至多为 $L^n\eta$ 的立方体中，故取 $\eta<\varepsilon/L^n$。每个小立方体及其内部线段均留在 $U$ 内固定的紧邻域中，导数在该邻域有统一界。连接相距较远的两点的线段可能离开非凸定义域；本证明从不需要这样的线段。
2. 紧性使 $K$ 与 $T(K)$ 在各自环境空间中闭。开邻域之间的同胚在两个方向上都把内部映为内部。因此 $T(K\setminus\operatorname{int}K)=T(K)\setminus\operatorname{int}T(K)$，得到边界恒等式。到达定义域边界时，可能没有可供论证的开邻域、没有一致导数界，也可能缺少某些边界点的像。本定理有意要求紧闭包位于 $U$ 内。
3. 外侧包围只给出像体积的上界，并不能说明映射覆盖了仿射单元的大部分。这里归一化像的边界位于开内立方体之外，而中心在像内。连接中心与任何假设缺失的内点的线段将离开闭像，因而在内立方体内遇到其边界，矛盾。取闭包便包含内立方体各面。这在计算渐近式之前提供必要的下界。
4. $DT$ 及其逆矩阵在 $K_*$ 上连续，故有有限的共同界；$DT$ 的一致连续性给出适用于 $K$ 附近所有小立方体的一个模函数。因此每个体积误差都至多为同一个 $\beta(h)$ 乘单元体积，而单元体积之和有界。若逐点 little-o 的常数或尺度各自依赖单元中心，仅凭这些不能为整个网格提供一个共同趋零的界。

总结与术语

Jordan 零测集具有总体积任意小的有限盒覆盖。单元畸变估计从上下两侧用附近的行列式缩放体积控制像的体积。一致性使各单元的相对误差能够安全求和。微分同胚提供邻域同胚及可逆导数，而不只是形式上的行列式。这些有限覆盖和有限单元结论构成下一章 Riemann 定理的几何基础。

学习目标与精确范围

利用上一章的有限 Jordan 覆盖和一致双侧立方体变形估计，证明有限维 $C^1$ 变量替换定理，再通过有限 Darboux 阶梯函数夹逼将连续情形扩展至有界 Riemann 可积函数。以下定理明确了有界 Jordan/Riemann 情形及覆盖条件。

全文中，$n$ 是有限正整数。若有界 Jordan 集上的函数向包含它的长方体作零延拓后在那里 Riemann 可积，就称其在该集合上 Riemann 可积；不同的包含长方体给出相同积分。零测边界上可赋予任意有界值。上一章给出了 Jordan 边界与零测集像的引理及一致小立方体估计。

1. 定理及全部假设

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 变量替换

设 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 为开集，$T:U\to V$ 为 $C^1$ 微分同胚：它是双射，$T$ 及其逆映射连续可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，对每个 $x\in U$ 成立。设 $K\subset U$ 为紧 Jordan 可测集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可积。则 $T(K)$ 是 Jordan 可测的，函数 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可积，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允许空集或 Jordan 零测情形。逐点取行列式绝对值可涵盖两种取向及不连通定义域。若有界 Jordan 区域 $D$ 满足 $\overline D\subset U$，同样适用：以其紧闭包替代并在边界赋有界值，因为边界及其像均为零测。

紧包含条件不可省略：它提供导数和逆矩阵的一致界，并使所有足够小的边界网格格子留在映射的开定义域内。**范围。**这是有界区域上的 Riemann 定理。无界或非紧极限需要收敛估计；多对一映射需要计算覆盖次数。一般 Lebesgue 公式和低维曲面面积公式是另外的结果。

2. 准备统一网格，包括边界层

若 $K$ 为空，两边积分均为零，故设其非空。基础章已证明 $E=T(K)$ 是紧 Jordan 可测集：其边界是 $\partial K$ 的零测像。

选取 $K_*$ 为 $K$ 在 $U$ 内的紧邻域。对所有足够小且与 $K$ 相交的规则网格立方体，上一章给出共同常数 $L,C$ 和函数 $\beta(h)\to0$，使得对立方体 $Q$（边长为 $h$、中心为 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

这里沿每个立方体内的线段取导数界。

令 $\mathcal I_h$ 为完全包含于 $K$ 的有限网格立方体集合，令 $\mathcal B_h$ 为与 $K$ 相交但不完全包含于其中的立方体。第二类每个立方体都与 $\partial K$ 相交，由 Jordan 边界判据，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方体可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均为零测。因此全局单射保证不同内部格子的像仅在零测的面像上重叠，其体积与积分可用有限可加性。

$E$ 中未被内部格子像覆盖的部分包含在边界立方体的像中。其体积至多为 $Cb_h$，因为 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆盖有限。它本身也 Jordan 可测：从 Jordan 集 $E$ 中减去有限 Jordan 集并即可。这便给出了目标边界层误差界。

3. 先对连续 f 证明定理

设 $f$ 在紧集 $E$ 上连续。它以 $M$ 为界且一致连续；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同连续模。对每个内部立方体 $Q$，$T(Q)$ 上的目标积分与 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多为 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆盖的目标边界层贡献至多为 $MCb_h$。

由于内部格子像的内部除零测集外互不相交，其总体积不超过 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

现在把每个像的体积替换为 $J(c)h^n$。对固定长方体 $B$（包含 $K$），额外总误差至多为

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的内部格子标记和。该函数在紧集 $K$ 上连续，前面的 Jordan/Darboux 引理证明这些和趋于其积分：一致连续性控制内部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的边界格子。因此连续 $f$ 的两个积分相等。

共同的格子相对误差界使体积替换的总误差消失，而独立的边界估计控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的体积恒等式

在已证明的连续情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

对每个紧 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也适用于有界 Jordan 集 $S$（闭包包含于 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含于 $\partial S$，其像为零测，因此体积和积分都不变。

我们需要将此恒等式用于以有限网格切割目标集所得的部分。令 $C$ 为一个网格长方体，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其边界包含于

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分为零测。第二部分也为零测，因为目标网格面的这一部分是 $V$ 内紧零测集的有界子集，而逆映射为 $C^1$，在紧集 $E$ 的邻域上成立。对该逆映射应用有限覆盖零测像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可测的，且其闭包紧包含于 $U$。

若需要严格不相交的划分，可对网格格子采用一致的半开边界归属。这些部分的边界仍包含在同一有限零测集合中。其像恰为采用相应归属的 $E\cap C$。因此体积恒等式结合有限线性性，证明了目标网格上每个有限阶梯函数的变量替换公式。

于是连续定理的常数函数推论已经建立了有限目标阶梯函数的替换公式。

5. 利用有限阶梯夹逼处理有界 Riemann 可积函数

取包含 $E$ 的目标长方体，令 $f_0$ 为 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可积性意味着对每个 $\varepsilon>0$，存在有限网格，使其下、上阶梯函数 $\ell,u$ 满足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每个格子上取 $f_0$ 在其闭包上的下确界和上确界，并一致地指定面上的值。Darboux 判据恰给出上述差距。将非负差函数限制到 $E$ 上不会增加其积分。

源函数 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓后均 Riemann 可积。它们分别是连续函数 $J$ 与刚建立的 Jordan 原像部分集的示性函数之积的有限和。这样的有界乘积由 Darboux 乘积估计可积，也可在这些零测部分边界之外直接利用一致连续性证明。由于 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

阶梯函数恒等式给出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函数有积分差任意小的可积上下夹逼，则它 Riemann 可积。事实上其下积分至少为下夹逼的积分，上积分至多为上夹逼的积分，因此两者之差小于每个正 epsilon。

这证明了变换后被积函数可积。它的积分与原积分 $\int_Ef$ 均位于同一对数值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之间，而它们的差小于 epsilon。因此两个积分之差为零。定理包括有界 Riemann 情形，证毕。

有限 Darboux 夹逼和 Jordan 体积恒等式完成了有界 Riemann 推广。

6. 非线性映射例题，包括不连续被积函数

设 $T(u,v)=(u,v+u^2)$ 定义于 $\mathbb R^2$。其逆映射为 $(x,y)\mapsto(x,y-x^2)$，行列式为一。单位正方形映成

$$E=\{0\le x\le1,\quad x^2\le y\le x^2+1\}.$$

对连续函数 $f(x,y)=y$，定理给出

$$\iint_Ey\,dA=\int_0^1\int_0^1(v+u^2)\,dv\,du=\frac56.$$

该映射弯曲上下边界但保持面积，因为常数一的积分仍为一。

对于有界示性函数：令 $f(x,y)=1$ 当 $y\ge x^2+1/2$，下方为零；它在 $E$ 内的不连续点位于一条光滑图线上。其有界零延拓 Riemann 可积：用总面积任意小的有限薄格子覆盖该图线及 $\partial E$，其余位置函数为常数。变换后的函数为阶梯函数 $1_{\{v\ge1/2\}}$，故积分为 $1/2$。此例将有界 Riemann 推广应用于跨光滑图线的跳跃。

7. 极坐标作为极限推论

在 $U=(0,\infty)\times(-\pi,\pi)$ 上，极坐标映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 是到去掉非正水平射线的平面的微分同胚，且 $J=r$。该去掉射线的平面上的一个显式光滑逆映射为 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\theta=2\arctan[y/(\sqrt{x^2+y^2}+x)]$：其分母在那里严格为正，半角恒等式可验证两个复合映射。对 $0<\varepsilon<R$ 和 $0<\delta<\pi$，紧矩形 $[\varepsilon,R]\times[-\pi+\delta,\pi-\delta]$ 恰好满足定理。

对闭圆盘上的有界连续被积函数，只有控制遗漏部分之后才能从这些截断扇域过渡到圆盘。环域中宽度为 $2\delta$ 的遗漏角楔可用另一个非奇异极坐标分支覆盖；由被积函数为一时的定理，其面积为 $\delta(R^2-\varepsilon^2)$。半径为 epsilon 的圆盘包含在面积为 $4\varepsilon^2$ 的正方形内。将这些界乘以被积函数的界，两个遗漏贡献都趋于零。圆周与径向接缝可由有限光滑曲线覆盖，面积为零。这证明了此类有界被积函数的通常圆盘极坐标公式；取被积函数为一即得圆盘面积 $\pi R^2$。

截断使映射保持正则且单值；上述界在极限中恢复原点与角度接缝。

8. Jacobian 非零并不意味着恰好覆盖一次

对去心平面上的 $F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$，有 $\det DF=4(x^2+y^2)>0$。它处处局部可逆，但 $F(x,y)=F(-x,-y)$。环域 $1\le r\le2$ 两次映满环域 $1\le\rho\le4$。

像的面积为 $15\pi$，而

$$\iint_{1\le r\le2}|\det DF|\,dA =\int_0^{2\pi}\int_1^2 4r^3\,dr\,d\theta=30\pi.$$

因子二反映重叠覆盖。全局单射性正是保证不同像格子除零测面外不相交的条件。限制到单射分支并记录其重叠，便可区分两次遍历与普通像面积。

分级定理与应用练习

1. 假设审查。 解释紧包含 $K\subset U$ 和全局单射为何在逻辑上不同于导数行列式非零。给出一个边界与定义域的例子，说明不通过广义积分极限就不能直接应用本定理。
2. 证明机制。 准确指出一致小立方体相对误差和 Jordan 边界层估计在连续情形的证明中各用于何处。为何该论证中两者都不可或缺？
3. 非线性剪切。 验证 $(u,v)\mapsto(u,v+u^2)$ 的逆映射和行列式，并重算其 $y$ 的积分以及所示上半部分阶梯函数的积分。
4. 覆盖。 验证复平方映射的行列式和环域上的二对一描述。解释若悄然去掉单射性，定理证明的哪一步会重复计数。
5. 有界 Riemann 推广。 解释有限阶梯夹逼的拉回为何 Jordan 可积，以及不等式乘以 $J$ 为何保持方向。说明证明对于任意有界不可积函数没有建立什么结论。
6. 三维情形。 对单位立方体使用 $T(u,v,w)=(u,v,w+u^2+v^2)$，求像的体积和 $\iiint_{T(K)}z\,dV$，并验证所有映射与定义域条件。

完整解答

1. 行列式非零只是局部条件。它既不能保证靠近缺失定义域边界时导数与逆矩阵有界，也不能阻止相距很远的不同输入有同一像。例如 $T(x)=1/x$ 在 $(0,\infty)$ 上是微分同胚，但 $(0,1]$ 不紧包含于该定义域，且其像无界。此处的替换属于广义积分问题，须截断并证明收敛，不能直接应用上述紧集定理。复平方环域则给出另一个独立例子：尽管行列式处处非零，全局单射仍失效。
2. 一致相对误差控制把每个曲线格子的体积替换为 $J(c)h^n$；求和后误差至多为 $M\beta(h)$ 乘以固定包含长方体的体积，趋于零。边界层界以 $MCb_h$ 控制完全内部源格子未覆盖的目标点。仅有内部线性近似会遗漏该层，而仅有边界控制不能确定内部体积密度。两项估计都是等式证明中的明确组成部分。
3. 解 $x=u,y=v+u^2$ 得 $u=x,v=y-x^2$，这是全局光滑逆映射。行列式为一。单位正方形上变换后的 $y$ 为 $v+u^2$，积分为 $1/2+1/3=5/6$。$y\ge x^2+1/2$ 的示性函数变为 $v\ge1/2$ 的示性函数，其正方形积分为 $1/2$。边界及分隔图线均为 Jordan 零测，故其上有界赋值不改变结果。
4. 导数矩阵为 $\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}$，行列式为 $4(x^2+y^2)$。以极坐标表示时，它将半径平方、角度加倍，故所述环域中每个像点恰有两个互为对径的原像。源上的行列式积分为 $30\pi$，像面积为 $15\pi$。有限像格子的可加性步骤会失效：不同源区域的像在正面积上重叠，而不只是在零测的面上相交。
5. 每个网格原像部分的边界包含于 $\partial K$ 与有限多个目标面的逆像之并中。由 $T^{-1}$ 的有限覆盖引理，二者均 Jordan 零测，所以每一部分都是 Jordan 集。连续函数 $J$ 乘以其示性函数是 Riemann 可积的。行列式绝对值非负，故上下不等式方向不变。论证假设目标函数 Riemann 可积，以获得任意接近的 Darboux 夹逼；任意有界函数可能没有这种夹逼，本定理并不断言它们的拉回可积。
6. 逆映射为 $(x,y,z)\mapsto(x,y,z-x^2-y^2)$，在整个 $\mathbb R^3$ 上光滑。三角导数矩阵的行列式为一；立方体是该开定义域内的紧 Jordan 集。其像为曲面夹层 $0\le x,y\le1$、$x^2+y^2\le z\le x^2+y^2+1$，体积为一。变换后的被积函数为 $w+u^2+v^2$，其立方体积分为 $1/2+1/3+1/3=7/6$。这说明定理的有限维形式超越平面面积。

总结

变量替换结合了 Jordan 边界保持性和一致双侧格子体积估计。内部和因相对误差一致而收敛，边界层体积则趋于零。有限 Darboux 夹逼继而将连续公式推广到有界 Riemann 可积函数。非线性剪切、极坐标截断和双重覆盖例子展示了计算时如何验证假设。

以受控极限恢复柱坐标及球坐标边界

这里已证的正常换元定理适用于有限正维数、位于开集间全局 $C^1$ 微分同胚定义域内部的紧 Jordan 集，以及有界 Riemann 可积的目标函数。局部行列式并不能单独保证这些假设。以下给出所列坐标模型需要的极限。

柱坐标取 $\rho>0$、$-\pi<\theta<\pi$ 和有界 $z$ 区间。逆映射为 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$、去掉射线的平面极坐标逆映射及不变的 $z$，所以在轴和角度接缝之外是微分同胚。在闭圆柱上先取 $\varepsilon\le\rho\le R$、$-\pi+\eta\le\theta\le\pi-\eta$。遗漏轴柱包含在体积为 $4\varepsilon^2L$ 的正方柱内，其中 $L$ 是高度。遗漏角楔的体积至多为 $\eta R^2L$，来自已证平面极坐标面积及矩形 Fubini。两者趋零，被积函数的界控制目标积分误差。参数积分含因子 $\rho$，对应遗漏也由直接一元积分趋零。

2. 在利用径向对称性前推导球坐标缩放

使用坐标

$$T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),$$

其中 $\phi$ 从正 $z$ 轴量起，$0\le\phi\le\pi$，$\theta$ 是一整周的方位角。导数向量的长度为 $1,r,r\sin\phi$，它们两两垂直，在内部具有相应的正定向。其标量三重积为 $r^2\sin\phi$，得到

$$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta.$$

明确核算行列式：按 $(r,\phi,\theta)$ 次序，导数列为

$$T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0).$$

当 $r>0$、$0<\phi<\pi$ 时，其混合积为 $r^2\sin\phi>0$。在开参数域 $(0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)$ 上，映射对其切缝后的像是一对一的，光滑逆为 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\phi=\arccos(z/r)$ 及通常的切缝平面方位角。因此，已证明的有限维换元定理适用于该域内每个紧的截断参数长方体。

还须独立于待证明公式估计遗漏的目标区域。半径 $\varepsilon$ 的球包含在体积 $8\varepsilon^3$ 的立方体中。在半径 $R$ 的球内，与轴的夹角至多为 $\delta<\pi/2$ 的两个极帽包含在 $|x|,|y|\le R\sin\delta$、$|z|\le R$ 的长方体中，体积为 $8R^3\sin^2\delta$。总角宽 $2\eta$、$0<\eta<\pi/2$ 的方位角接缝包含在 $|x|,|z|\le R$、$|y|\le R\sin\eta$ 中，体积为 $8R^3\sin\eta$。三种上界均随截断参数趋于零。乘上连续目标被积函数的上界，即控制其遗漏积分；下文的参数积分估计则控制另一侧。这完成了非奇异区域逼近的论证，没有用球坐标体积公式来证明该公式自身。

原点、极点和角度接缝是坐标边界的例外。对球上有界连续被积函数，在无奇点的截断参数区域上计算并取极限；被省略的参数积分界趋于零。对于有界被积函数，零附近的径向因子由常数乘 $\int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3$ 控制，极冠因子为 $\int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0$，收缩的方位角接缝则具有趋零的角宽。该公式不允许忽略这些位置上的任意无界奇异性。

4 分级练习

E1 基础。 对 $c(x,y,z)=x^2+yz$，求在 $(1,2,3)$ 处沿 $(2,0,0)$ 方向每单位距离的方向导数。

E2 积分。 求单位正方形上面密度 $\rho=2x$ 对应的总质量和质心。

E3 极坐标。 计算 $\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2)dA$。

E4 柱坐标。 用积分求 $x^2+y^2\le4$、$0\le z\le3$ 的体积。

5 完整解答

S1. 梯度为 $(2x,z,y)$，该点处为 $(2,3,2)$。将给定方向规范化为 $(1,0,0)$，导数为 2。若与未规范化向量点乘则得 4，对应不同的参数速度。

S2. $M=\int_0^1\int_0^1 2x\,dy\,dx=1$。$x$ 方向矩为 $\int_0^12x^2dx=2/3$，$y$ 方向矩为 $(\int_0^12x dx)(\int_0^1y dy)=1/2$。故质心为 $(2/3,1/2)$。

S3. $\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2r\,dr\,d\theta=2\pi/4=\pi/2$。

S4. $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^3r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot3=12\pi$，与底面积乘高度一致。

总结

梯度预测局部空间变化和方向响应。多重积分把密度转化为总量和加权中心。只有正确处理雅可比比例因子、区域边界及奇点限定，坐标变换才保持同一物理总量。