参数曲面与边界定理的推导

边界定理并不允许随意将一个曲面换成另一个。正则性、方向以及曲面之间的区域决定定理是否适用。通过在参数曲面片上推导 Stokes 定理，并在图像围成的实体上推导散度定理，我们可以看清导数、面积向量和抵消分别在何处出现。

1 曲面面积向量与图像通量

设 $r(u,v)$ 是 $C^1$ 正则参数化，即 $r_u\times r_v\ne0$。小参数矩形可用边为 $r_u\Delta u$、$r_v\Delta v$ 的平行四边形近似。面积为 $\|r_u\times r_v\|\Delta u\Delta v$，定向面积向量为 $(r_u\times r_v)\Delta u\Delta v$。所以标量面积使用范数，通量则使用向量本身。

对向上定向的图像 $r(x,y)=(x,y,h(x,y))$，

$$r_x\times r_y=(-h_x,-h_y,1).$$

因此对 $F=(P,Q,R)$，

$$\iint_SF\cdot n\,dS=\iint_D[-P(x,y,h)h_x-Q(x,y,h)h_y+R(x,y,h)]dx\,dy.$$

斜率因子已经编码面积增大和法向方向。再乘以 $\sqrt{1+h_x^2+h_y^2}$ 会重复计算面积。若向下定向，将整个表达式取负。

曲面帽例。 对单位圆盘上方的抛物面 $z=1-x^2-y^2$ 和 $F=(0,0,z)$，向上通量为

$$\iint_D(1-x^2-y^2)dA=2\pi\int_0^1(1-r^2)r\,dr=\frac\pi2.$$

这是通量，不是曲面的标量面积。

2 单个正则曲面片上的 Stokes 定理

假设 $D$ 是有界平面区域，其正向分段光滑边界适用 Green 定理。设 $r$ 在 $\overline D$ 的邻域上是一一的 $C^2$ 正则参数化，$F$ 在其像附近为 $C^1$。曲面按 $r_u\times r_v$ 定向，边界按参数区域正向边界的像定向。

令

$$A(u,v)=F(r(u,v))\cdot r_u,\qquad B(u,v)=F(r(u,v))\cdot r_v.$$

边界链式法则给出 $F\cdot dr=A\,du+B\,dv$。求导得

$$B_u-A_v=(DF(r)r_u)\cdot r_v-(DF(r)r_v)\cdot r_u,$$

因为 $r_{vu}=r_{uv}$ 使两个含 $F$ 的项相消。展开 $DF$ 的三个分量并收集反对称项，得到恒等式

$$B_u-A_v=(\nabla\times F)(r)\cdot(r_u\times r_v).$$

例如 $P_y$ 项的系数是 $r_{u,y}r_{v,x}-r_{v,y}r_{u,x}$，与旋度第三分量中负的 $P_y$ 贡献一致；其他项同理。Green 定理给出

$$\oint_{\partial S}F\cdot dr=\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS.$$

这在所列曲面片假设下证明了 Stokes 定理。对可分为有限个相容曲面片的紧定向曲面，逐片应用：每条内部边由相邻两片沿相反方向经过，线积分相消。剩余边界是带诱导方向的外边界。此推广假设存在这样的有限相容曲面片分解。

环流例。 取 $F=(-y/2,x/2,0)$ 和上方抛物面帽。旋度为 $(0,0,1)$，所以旋度曲面通量为投影圆盘面积 $\pi$。边界是 $z=0$ 处逆时针单位圆；参数化得到线积分被积式 $1/2$，结果为 $\pi$。反转曲面法向也反转边界方向和两个符号。

3 图像夹层上的散度定理

设 $D$ 是具有分段光滑正向边界的有界平面区域，$a,b$ 在某邻域内为 $C^1$，且 $a<b$。考虑

$$\Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ a(x,y)\le z\le b(x,y)\}.$$

设 $F=(P,Q,R)$ 在其闭包附近为 $C^1$。定义 $\bar P(x,y)=\int_a^bP(x,y,z)dz$，$\bar Q$ 类似。变限求导规则给出

$$\int_a^bP_xdz=\bar P_x-P(x,y,b)b_x+P(x,y,a)a_x,$$

$Q_y$ 有类似公式。剩余导数积分得到 $R(x,y,b)-R(x,y,a)$。

在 $D$ 上积分，涉及顶部值的各项恰是 $z=b$ 上向上的图像通量；底部项恰是 $z=a$ 上向下的图像通量。剩余平面散度积分为

$$\iint_D(\bar P_x+\bar Q_y)dA =\oint_{\partial D}(\bar P\nu_x+\bar Q\nu_y)ds,$$

由 Green 通量形式得到，其中 $\nu$ 是平面向外单位法向量。对逆时针单位速率边界参数化 $(x(s),y(s))$，有 $\nu=(y'(s),-x'(s))$。以 $(x(s),y(s),z)$ 参数化的侧面具有向外面积向量 $(y',-x',0)ds\,dz$，故最后一个边界积分恰是其通量。相加顶部、底部与侧面，证明

$$\iiint_\Omega\nabla\cdot F\,dV=\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,dS.$$

对有限个图像夹层组成的分解，内部曲面因向外法向相反而通量相消。若顶部与底部在边界相遇，有时可通过向内的区域极限推广，但必须检查额外积分及收缩侧面通量。仅写出公式不能涵盖奇异场、非正则边界或需要额外极限论证的定义域。

4 安全比较曲面

若 $F$ 在两曲面之间的实体中处处为 $C^1$ 且散度为零，纳入任何侧边界后，一致定向的通量相等。除非侧面贡献为零或不存在，否则不能省略它。对旋度通量，当两曲面具有相同定向边界、各自满足 Stokes 定理假设且场在其邻域正则时，两个旋度积分相等。

奇点会使随意替换失效。径向场 $F=x/\|x\|^3$ 在原点外散度为零，但围绕原点的球面向外通量为 $4\pi$。由于该场在原点无定义，不能对整个包围的球体使用散度定理。在排除原点的球壳上，外通量由向内定向的内边界通量抵消，恰符合定理。

图像夹层上的正常三维切片证明

设 $D\subset\mathbb R^2$ 为紧 Jordan 集，$a,b$ 在 $D$ 上连续且 $a\le b$，令 $\Omega=\{(p,z):p\in D,\ a(p)\le z\le b(p)\}$。取包含全部竖直纤维且长度为正的紧高度区间 $J$。实体紧，边界包含在两个图像及 $\partial D\times J$ 中。每个图像都 Jordan 零测：将包含底面的盒细分为边长 $h$ 的正方形，在每个与 $D$ 相交的方格上，以高度至多为 $2\omega(\sqrt2h)+h$ 的竖直盒包围图像，其中 $\omega$ 为 $a,b$ 在 $D$ 上共同的连续模。方格数为 $O(h^{-2})$，故覆盖总体积趋零。侧边集合也零测，因为总面积小于 $\eta$ 的有限 $\partial D$ 底面覆盖，拉成柱后总体积至多为 $|J|\eta$。由已证边界判据，$\Omega$ Jordan 可测。

对连续 $h:\Omega\to\mathbb R$，令 $g(p)=\int_{a(p)}^{b(p)}h(p,z)dz$，无需将 $h$ 延拓到环境开集。两条邻近纤维的重叠部分用 $h$ 的一致连续性控制，未配对端部用 $|h|$ 的界 $M$ 控制。具体地，

$$|g(p)-g(q)|\le |J|\omega_h(\|p-q\|) +M\bigl(|a(p)-a(q)|+|b(p)-b(q)|\bigr)\longrightarrow0.$$

所以 $g$ 在 $D$ 上连续。由紧集上的连续性及 Jordan 边界判据，向包含它们的三维、二维盒作零延拓所得 $h_0,g_0$ 均 Riemann 可积。$h_0$ 的每个竖直切片在纤维内连续、外面为零，至多在两个端点跳跃，因此可积，积分为 $g_0(p)$。对任意有限乘积网格，先对常数的逐格上下界作高度积分，再对底面积分，恰将 $\int g_0$ 夹在 $h_0$ 的三维下和与上和之间。两和的差可任意小，夹逼得

$$\iiint_\Omega h\,dV=\iint_D\left(\int_{a(p)}^{b(p)}h(p,z)dz\right)dA.$$

这证明了散度推导实际使用的夹层切片。此积分引理允许零长度纤维，不会因此删去图像夹层散度证明中的严格分离及通量极限条件。

面积定义与曲面坐标变换

对紧 Jordan 参数区域上的单射正则 $C^1$ 曲面片，用 $\int_D f(r)\|r_u\times r_v\|$ 定义密度为 $f$ 的标量面积积分，用上面的面积向量积分定义定向通量。在满足二维正常换元假设的 $C^1$ 微分同胚参数变换下，这些定义一致。事实上，对 $(u,v)=\psi(s,t)$，叉积的双线性与反对称性给出

$$(r\circ\psi)_s\times(r\circ\psi)_t =\det D\psi\,(r_u\times r_v)\circ\psi.$$

取范数产生标量面积的绝对 Jacobian，保留符号则给出通量的诱导方向，再用已证二维正常换元即可。有限相容曲面片沿参数面积为零的边相加。这明确了所用曲面积分模型，没有调用不受限制的测度论曲面面积定理。

Stokes 中完整的分量抵消

写 $p=r_u$、$q=r_v$、$F=(P,Q,R)$。在 $(DFp)\cdot q-(DFq)\cdot p$ 中，对角导数项抵消，其余项整理为

$$(R_y-Q_z)(p_yq_z-p_zq_y) +(P_z-R_x)(p_zq_x-p_xq_z) +(Q_x-P_y)(p_xq_y-p_yq_x),$$

恰为 $(\nabla\times F)\cdot(p\times q)$。连同 $C^2$ 保证的 $r_{uv}=r_{vu}$ 及已证 Green 恒等式，这就逐分量闭合曲面片证明。有限推广要求实际存在有限分解，内部除零面积边外不重叠，每条内部边须以相反诱导方向配对。

变限求导为何成立

局部固定常高度 $z_*$，令 $H(x,y,z)=\int_{z_*}^zP(x,y,w)dw$。$P_x$ 在紧邻域上连续，使 $H_x$ 的差商在 $w$ 上一致趋于 $P_x$，故 $H_x=\int_{z_*}^zP_xdw$；误差由区间长度乘一致误差控制。微积分基本定理给出 $H_z=P$。对 $H(x,y,b(x,y))-H(x,y,a(x,y))$ 用普通链式法则即得第 3 节变限公式，$Q$ 同理。因此图像夹层证明要求 $a,b$ 在紧底面的邻域上为 $C^1$、在那里严格 $a<b$，$F$ 在夹层闭包附近为 $C^1$，底面属于已证 Green 类。改为边界接触或新的实体类，需要各自的极限估计。抛物面练习对该特定接触给出了估计，并非一般推广定理。

上述球面面积公式的证明

对半径 $R>0$ 的球面，令

$$s(\phi,\theta)=(R\sin\phi\cos\theta,R\sin\phi\sin\theta,R\cos\phi).$$

直接求导得 $\|s_\phi\times s_\theta\|=R^2\sin\phi$，在 $0<\phi<\pi$ 时为正。取紧的截断矩形 $\delta\le\phi\le\pi-\delta$、$-\pi+\eta\le\theta\le\pi-\eta$，其中 $0<\delta<\pi/3$、$0<\eta<\pi/2$；这是只覆盖一次的正则曲面片，其面积为

$$A_{\delta,\eta} =R^2(2\pi-2\eta)\int_\delta^{\pi-\delta}\sin\phi\,d\phi =2R^2(2\pi-2\eta)\cos\delta.$$

还须控制遗漏的曲面面积，不能只估计体积。在两极附近，球面是正则图像 $z=\pm\sqrt{R^2-x^2-y^2}$。在半径 $R\sin\delta$ 的圆盘上，图像面积因子为 $R/\sqrt{R^2-x^2-y^2}\le1/\cos\delta\le2$。故每个遗漏极帽的面积至多为 $2\pi R^2\sin^2\delta$，趋于零。此界只用了图像公式及平面圆盘面积，并未使用待证明的球面面积。

对剩余角条带，改用无奇点的方位角区间 $[\pi-\eta,\pi+\eta]$，仍令 $\delta\le\phi\le\pi-\delta$。这是正则曲面片，其面积至多为 $2\eta R^2\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=4\eta R^2$。所以总遗漏面积由 $4\pi R^2\sin^2\delta+4\eta R^2\to0$ 控制。有限条共用曲面片边在参数域内面积为零，不改变相加结果。取极限得 $\operatorname{Area}(S_R)=4\pi R^2$；再乘上位置向量场恒定的向外法向分量 $R$，也就证明了前例的通量 $4\pi R^3$。

特定球壳为何可作散度检验

练习 4 的球壳可通过明确极限从已证图像夹层得到。写 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，取 $0<\varepsilon<1/4$。在 $\rho\le1-\varepsilon$ 上取两个夹层

$$\sqrt{1-\rho^2}\le z\le\sqrt{4-\rho^2},\qquad -\sqrt{4-\rho^2}\le z\le-\sqrt{1-\rho^2}.$$

在 $1+\varepsilon\le\rho\le2-\varepsilon$ 上取夹层 $-\sqrt{4-\rho^2}\le z\le\sqrt{4-\rho^2}$。每个顶底函数在紧底面的邻域上为 $C^1$ 且严格分离。圆盘底面满足已证 Green 假设；环形底面分为四个象限，每块均有连续上下和左右图像边界，径向边抵消。因此每个截断实体都属于已证有限类。

对在闭球壳邻域上为 $C^1$ 的场，场及散度均有界。$\rho=1,2$ 附近遗漏柱带的体积趋零，可由高度 4 乘平面环域面积控制。遗漏球面纬带的面积也趋零。为不借用整球面积公式，对半径 $a$ 的赤道带用 $(\sqrt{a^2-z^2}\cos\theta,\sqrt{a^2-z^2}\sin\theta,z)$ 参数化，其叉积范数为 $a$，故 $z_1\le z\le z_2$ 的面积为 $2\pi a(z_2-z_1)$，特别地 $|z|\le h$ 的面积为 $4\pi a h$。$\rho=1,2$ 附近遗漏内外赤道带的半高度至多为 $\sqrt{1-(1-\varepsilon)^2}$、$\sqrt{4-(2-\varepsilon)^2}$，均趋零。此外，遗漏 $1-\varepsilon<\rho<1+\varepsilon$ 柱带还删去了外球面的两条纬带。令 $\Delta z=\sqrt{4-(1-\varepsilon)^2}-\sqrt{4-(1+\varepsilon)^2}\to0$，两者总面积为 $8\pi\Delta z\to0$。这计入了全部球面边界遗漏。

人工外柱面 $\rho=2-\varepsilon$ 的高度和面积趋零。$\rho=1-\varepsilon$ 与 $\rho=1+\varepsilon$ 处柱面的法向相反，其参数化通量被积函数在固定有界高度区间上一致趋于 $\rho=1$ 处的同一个函数；小的中央高度缺口及端点高度差趋零。有界性和一致连续性使两者合通量趋零。在有限夹层恒等式中取极限，便对这个特定球壳及上述正则场证明散度定理。该径向例子在球壳的邻域上正则，虽然在排除的中心球内奇异。这补出了需要的特定区域证明，没有声称已推广至所有分段光滑实体。

5 分级练习

E1 基础。 求 $F=(0,0,1)$ 穿过半径为 $R>0$ 的圆盘上方曲面 $z=x^2+y^2$ 的向上通量。它是标量曲面面积吗？

E2 Stokes 定理。 对 $F=(-y,x,0)$，用任意符合条件的张成曲面，计算沿 $x^2+y^2=4$、$z=3$ 的逆时针圆周的环流。

E3 夹层散度。 对 $F=(x,y,z)$ 和位于 $z=1-x^2-y^2$ 下方、$z=0$ 上方的实体，求总向外通量并检查底部贡献。

E4 奇点。 对球壳 $1\le\|x\|\le2$ 上的 $F=x/\|x\|^3$ 应用散度定理，注意两个边界的方向。

E5 方向证明。 解释为什么两个方向一致的相邻曲面片的公共边在 Stokes 定理中相消，但标量曲面面积相加而不相消。

6 完整解答

S1. 图像通量公式在投影圆盘上给出被积函数 1，故通量为 $\pi R^2$。标量面积的被积函数为 $\sqrt{1+4x^2+4y^2}$，当 $R>0$ 时更大。通量度量定向投影量，而不是总面积。

S2. 旋度为 $(0,0,2)$。$z=3$ 处的向上平圆盘给出 $2\cdot\pi\cdot2^2=8\pi$。从上方看边界为逆时针，与该法向一致。

S3. 对图像夹层推导，先使用半径 $1-\varepsilon$ 的圆盘，此时顶部与底部严格分离，再令 $\varepsilon\downarrow0$。有界光滑被积函数在体积和曲面帽积分中收敛；收缩侧面的高度为 $1-(1-\varepsilon)^2\to0$，故其通量趋于零。散度为 3。体积为 $2\pi\int_0^1(1-r^2)rdr=\pi/2$，故总通量为 $3\pi/2$。底部向外法向为 $(0,0,-1)$ 且 $z=0$，故通量为零。曲面帽的面积向量公式给出 $2x^2+2y^2+(1-x^2-y^2)=1+r^2$，积分得到 $3\pi/2$。

S4. 球壳内处处散度为零。半径 2 的球面上，场的模为 $1/4$、向外面积为 $16\pi$，得到 $4\pi$。内球面处，球壳的向外法向指向原点，与径向场相反，故得到 $-4\pi$。总和为零，与体积分一致。

S5. 边界方向由曲面方向诱导，两片曲面的内部位于公共边两侧。因此公共边的切向方向相反，定向线积分互为负数。标量面积使用叉积的范数，非负且方向反转时不变，故面积相加。

总结

面积向量避免重复计数并确定通量符号。正则曲面片上的 Stokes 定理来自 Green 定理和链式法则恒等式；图像夹层上的散度定理来自一元积分和平面通量。有限相容分解通过内部边界抵消推广两者。奇点和遗漏侧边界是具体障碍，不能忽略。