4.4 隐函数与局部反函数

固定整数 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用欧几里得范数。集合若包含在某个有限半径的球内，就称为有界；若补集是开集，就称为闭集；若它的每个由 $\mathbb R^n$ 中开集组成的覆盖都有有限子覆盖，就称为紧集。我们使用实数完备性，包括闭区间套性质。

有限维欧几里得空间的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，当且仅当它闭且有界。空集具有这三种性质。

紧致推出有界。 开球 $B(0,m)$（整数 $m\ge1$）覆盖 $K$。取有限子覆盖后，$K$ 包含在其中最大的球内。

紧致推出闭。 设 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。开球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆盖 $K$。取中心为 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆盖，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 为中心的所选球内，三角不等式给出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不与 $K$ 相交，补集是开集。

闭且有界推出紧致。 设非空的 $K$ 闭且有界，把它包含在闭立方体 $Q_0=[-M,M]^n$ 内，其中 $M>0$。假设 $K$ 的某个开覆盖没有有限子覆盖。把每个坐标区间分成两个闭半区间，所得 $2^n$ 个闭子立方体覆盖 $Q_0$。至少一个子立方体与 $K$ 的交集不能由给定覆盖族有限覆盖；否则把有限多个有限子覆盖合并，就能覆盖 $K$。选取这样的子立方体并重复，得到闭立方体套 $Q_j$，其边长为 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆盖，因而非空。

对每个坐标使用闭区间套性质，得到公共坐标值；合起来得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意两点的距离不超过 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。选取 $x_j\in K\cap Q_j$，则 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。闭集包含这种极限：若 $p$ 在开补集中，$p$ 周围某个开球就会使最终的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆盖中有一个成员 $O$ 含 $p$，由开放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。当 $j$ 足够大时，$Q_j$ 的每点到 $p$ 的距离都小于 $\varepsilon$，于是单个 $O$ 就覆盖 $K\cap Q_j$，与 $Q_j$ 的选取矛盾。因此每个开覆盖都有有限子覆盖。这里 $2^n$ 是有限数；若改成无限多个子块，这个论证就不再成立。

连续像与极值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 紧致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相对于 $K$ 连续，则 $F(K)$ 紧致。特别地，非空紧集 $K$ 上的连续函数 $f:K\to\mathbb R$ 有界，并达到最大值和最小值。

证明。 $F(K)$ 的开覆盖 $(O_i)$ 的原像是相对开集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中开。这些 $U_i$ 覆盖 $K$，所以有限多个足够。对应的 $O_i$ 覆盖 $F(K)$，证明了像的紧致性。对标量函数 $f$，由已证明定理的一维情形，其像非空、闭且有界。令 $a=\sup f(K)$。对每个 $j\ge1$，由上确界定义，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。于是 $y_j\to a$，闭性使 $a$ 属于像，所以最大值可达。对 $-f$ 使用同一论证即得最小值。该结论证明存在性，而不提供极大点的计算公式。

唯一性所需的实零导数引理

已选的有限欧氏紧致性与极值证明，保证连续实函数在 $[a,b]$ 上取得极值。内部可微极值点的左右差商迫使导数为零。连续函数 $g$ 若两端值相同，则或者恒定，或者有内部最大值或最小值；故内部可微时有一点导数为零，这就是 Rolle 论证。对实可微函数 $f$，减去端点割线并应用该论证，得到某个 $c\in(a,b)$ 满足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。因此区间上导数为零的实函数恒定。对实参数复值函数的实部与虚部分别应用该结论，得到相同的恒定结论；这里没有假设复中值等式。

实内积、诱导范数与所需不等式

实向量空间上的内积是取值于实数的映射 $\langle u,v\rangle$，它对称、对每个变量线性，并且正定：$v\ne0$ 时 $\langle v,v\rangle>0$。线性性给出 $\langle0,v\rangle=0$。定义 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，则范数恰在零向量处为零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的标准例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。内积为零的向量称为正交；不同成员互相正交且每个成员范数为一的列表称为正交规范列表。

若 $v\ne0$，将 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非负平方 $\|u-tv\|^2$，以双线性展开得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，该不等式直接成立。对 $v\ne0$，等号意味着 $\|u-tv\|=0$，等价于 $u=tv$；零向量情形也取等。最后展开 $\|u+v\|^2$ 并对交叉项使用该界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待开方的两边非负，因此得到三角不等式。这确实定义了范数，任何非零向量的归一化都只除以正实数；这里不使用复双线性的约定。

交换环上的 Leibniz 行列式与交错性

设 $R$ 为含单位的交换环，$n\ge1$，且 $A\in M_n(R)$。定义

符号为 $(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$，在 $R$ 中解释。交换排列中相邻的两项，会使逆序数的奇偶性改变。以相邻逆序交换排序，便将其符号表示为这些交换符号的乘积。把 $\tau$ 的相邻交换分解应用于 $\sigma$ 的位置，得到 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$；一个对换的符号为 $-1$。这些先是整数奇偶性事实，之后才将符号映入 $R$。

有限公式对每行及每列多重线性。若两行相同，把每个排列项与交换这两行所选列后的项配对。两项不同，乘积相同而符号相反，故任何特征下两项之和均为零。因此重复行使行列式为零；重复列同理。这是成对抵消，不是从 $2\det A=0$ 推出零。交换行或列，由相同的排列替换得到变号。另有 $\det I=1$；在和式中以 $\sigma^{-1}$ 替换 $\sigma$ 得 $\det A^{\mathsf T}=\det A$。

所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 $D$ 是 $R^n$ 中 $n$ 个列向量的交错多重线性函数，在标准基中展开每个输入。含重复基向量的项为零；其余指标列为排列。交换两位置使 $D$ 变号，因为展开 $D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0$ 得 $D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0$。故整个展开等于 $D(e_1,\ldots,e_n)$ 乘以输入列的 Leibniz 行列式。这里没有除法，也没有域假设。

乘法性、三角分块与伴随矩阵

固定 $A$，函数 $D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n)$ 交错且多重线性，并满足 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$。将前述唯一性原理用于 $B$ 的各列，得到

对方块大小为 $p,q$ 的 $\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}$，非零 Leibniz 项必须把最后 $q$ 行全配到最后 $q$ 列，否则含一个左下零元素。这些行用尽那些列，故前 $p$ 行只能使用前 $p$ 列。剩余排列恰为两块内部排列的组合，符号与单项式均为两块对应量的乘积。求和得 $\det B\det D$，也包括以空行列式为一的空块。该论证允许某些项因其他原因变零，不要求无零因子。

记 $A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 为删去第 $i$ 行和第 $j$ 列的矩阵，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } }$。按 $\sigma(i)=j$ 将 Leibniz 和分组，得到行余子式展开 $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$。把第 $i$ 行、第 $j$ 列移到首位，共作 $i+j-2$ 次相邻交换，剩余排列作用于未删除指标，这就给出符号因子。转置给出列展开。定义 $\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}$。$A\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i,j)$ 元素为 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$，它是将第 $j$ 行替换为第 $i$ 行后矩阵的余子式展开。当 $i=j$ 时为 $\det A$；否则由重复行抵消为零。列论证给出另一乘积。因此

当 $n=1$，空余子式行列式为一，故伴随矩阵为 $[1]$，恒等式仍成立。当 $n=0$，定义伴随矩阵为空矩阵；恒等式是唯一空矩阵之间的等式，而行列式仍为一。本节全部结果适用于 $R=F[t]$，从未除以行列式。

向量空间是在域 $F$ 上配备加法和数乘，并满足通常的阿贝尔群及分配律公理的集合。列向量只是一个模型。次数至多为 $d$ 的多项式空间 $P_d(F)$ 和空间之间的线性映射也是模型。零多项式属于 $P_d(F)$，虽然其次数通常不定义。

子空间包含零，且对加法和数乘封闭。若每个向量都是某列表中向量的线性组合，该列表张成空间；若只有零系数组合能得到零，它线性无关。基同时满足两者。有限生成列表可通过删除相关项缩减成基；线性无关列表可通过添加其张成空间外的向量扩充成基，直到张成给定的有限生成列表。

交换引理。 若 $r$ 个向量的线性无关列表位于 $s$ 个向量的张成空间中，则 $r\le s$。理由是：用生成列表表示第一个无关向量，利用某个非零系数，以它替换一个生成向量，再重复。每一步的线性无关性保证下一个无关向量对尚未被替换的某个生成向量有非零系数，因此至少需要 $r$ 个位置。对两个基双向比较得到长度相等；共同长度为 $\dim V$。

因此在 $n$ 维空间中，任意 $n$ 个线性无关向量构成基，任意 $n$ 个张成向量也构成基。只有在证明线性无关性或张成性之后，计数列表才有用。

映射 $T:V\to W$ 若满足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$，则为线性。其核与像都是子空间。选取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$，并以 $v_1,\ldots,v_s$ 扩充为基，则 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 构成 $\operatorname{im}T$ 的基：展开任意输入可证明张成性；若这些像线性相关，相应输入组合落入核，而扩充基的线性无关性迫使所有系数为零。因此

这就是秩–零度定理。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。

域上的桥梁：奇异性与特征多项式

现在令 $R=F$ 为域。若 $\det A\ne0$，伴随恒等式给出逆矩阵 $\operatorname{adj}(A)/\det A$。若 $A$ 可逆，由乘法性 $\det A\det A^{-1}=1$，故 $\det A\ne0$。C01 已证的秩—零度定理说明有限方阵线性映射的核为零当且仅当可逆。因此 $\det A=0$ 当且仅当有非零核。

对固定 $A\in M_n(F)$，将交换环构造用于 $tI-A\in M_n(F[t])$。其行列式是首一 $n$ 次多项式：恒等排列的乘积贡献 $t^n$，其余排列均用到一个非对角常数元素，故其乘积或者为零，或者次数小于 $n$。乘法性证明可逆常数矩阵 $P$ 下 $A\mapsto P^{-1}AP$ 的不变性；分块三角公式证明限制—商空间的因式分解。最后，伴随矩阵各元素或者为零，或者次数至多为 $n-1$，所以 C02 的凯莱—哈密顿证明可以合法比较系数。在零维情形，特征多项式为空行列式一；代入后得到零空间上的恒等算子，它就是零算子，所以凯莱—哈密顿定理单独直接成立。这给出实际的交换环行列式先修证明，没有扩张任何仅适用实数的行列式 authority。

对子空间 $U\subseteq V$，当 $v-w\in U$ 时定义 $v\sim w$，这是等价关系。其等价类是陪集 $v+U$，商空间 $V/U$ 的运算为

改变代表元只会加上 $U$ 中元素，所以运算良定义。投影 $\pi:V\to V/U$ 是线性满射，核为 $U$。若 $u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s$ 如上构成扩充基，则 $v_1+U,\ldots,v_s+U$ 构成商空间的基，证明

商空间是等价类的空间，不是某个选定补空间，虽然任一选定补空间都同构地映到它。

因式分解定理。 线性映射 $T:V\to W$ 当且仅当 $U\subseteq\ker T$ 时可下降为满足 $T=\widetilde T\pi$ 的映射 $\widetilde T:V/U\to W$。此时 $\widetilde T(v+U)=Tv$ 良定义且唯一。当 $U=\ker T$ 时，该映射单射且映满 $\operatorname{im}T$，得到第一同构定理

公式本身证明所有断言：代表元之差被 $T$ 消去；商类映到零当且仅当其代表元属于核。

对偶空间 $V^*$ 由线性函数 $\varphi:V\to F$ 组成。对基 $b_1,\ldots,b_n$，对偶基 $b^1,\ldots,b^n$ 由 $b^i(b_j)=\delta_{ij}$ 定义。每个泛函可唯一表示为 $\sum_i\varphi(b_i)b^i$，故 $\dim V^*=n$。

$T:V\to W$ 的对偶映射为 $T^*:W^*\to V^*$，定义为 $T^*\psi=\psi\circ T$。在对偶基下，其矩阵是普通转置 $A^{\mathsf T}$，包括在 $\mathbb C$ 上也如此；这里没有复共轭，这是代数对偶而非 Hermitian 伴随。复合次序反转：

对任意泛函及向量计算两边即得。

对 $U\subseteq V$，其零化子为

适配基说明 $\dim U^\circ=\dim V-\dim U$。商空间的对偶自然地与零化子对应：$\eta\mapsto\eta\circ\pi$ 是同构 $(V/U)^*\to U^\circ$，因为恰好消去 $U$ 的泛函可下降通过商映射。

对线性映射，

第一式由取值直接得到。第二式的包含关系来自：只要 $Tv=0$，就有 $\psi(Tv)=0$。为证明反向包含，若 $\varphi$ 消去 $\ker T$，在 $\operatorname{im}T$ 上定义泛函 $Tv\mapsto\varphi(v)$；它良定义，并可通过基扩充延伸至整个 $W$。该延拓 $\psi$ 满足 $T^*\psi=\varphi$。比较维数便得到行秩等于列秩，无需选定行化简算法。

前置基础

以实数完备性（上确界公理）、基本次序及绝对值不等式、欧几里得范数性质和基础线性代数为基础。连续和 Fréchet 可微分别采用 epsilon-delta 与线性余项定义。这里的证明不依赖逆函数或隐函数定理。

介值定理

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 连续且 $f(a)<y<f(b)$。集合 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$ 非空且有上界，令 $c=\sup S$。端点处的连续性表明 $a<c<b$。若 $f(c)<y$，连续性给出一点 $c+\delta\le b$ 满足 $f(c+\delta)<y$，与 $c$ 是上界矛盾。若 $f(c)>y$，连续性给出 $\delta>0$，使 $|x-c|<\delta$ 时 $f(x)>y$；但上确界性质给出 $x\in S$，满足 $c-\delta<x\le c$，矛盾。因此 $f(c)=y$。端点等号情形显然；端点值次序相反时将 $f$ 和 $y$ 同时取负即可。此定理证明存在，不保证唯一。

范围和前置知识

全程在有限维实欧几里得空间工作。前置知识是实数介值定理、中值定理、完备性、矩阵乘法及行列式的连续性、Fréchet 导数的链式法则和费马驻点定理；这里不声称证明这些前置结果。$C^1$ 映射定义在开集上且导数连续。参数维数允许 $p=0$；方程个数 $k$ 为正整数，局部逆部分取 $n\ge1$。以下结论均为局部结论，不保证全局唯一或全局可逆。

一个方程

设 $H:U\subset\mathbb R^{p+1}\to\mathbb R$ 为 $C^1$，$H(a,c)=0$ 且 $H_t(a,c)\ne0$。必要时把 $H$ 换成 $-H$；由连续性可取乘积盒 $P\times[c-r,c+r]\subset U$，其中 $P$ 为开盒，并可取 $m>0$，使其上 $H_t\ge m$。适当缩小 $r$，再缩小 $a$ 附近的 $P$，就有每个 $x\in P$ 均满足 $H(x,c-r)<0<H(x,c+r)$：这是对 $x=a$ 用中值定理，再对两个端点用连续性得到的。介值定理给出区间内部的零点 $t=\phi(x)$，中值定理保证它唯一，并给出

固定 $x_0\in P$，连续性及上式表明 $|\phi(x)-\phi(x_0)|\le |H(x,\phi(x_0))|/m\to0$。在 $(x_0,\phi(x_0))$ 周围足够小的凸盒上，$x$ 方向导数有上界 $M$；沿线段用一元中值定理得 $|H(x,\phi(x_0))-H(x_0,\phi(x_0))|\le M\|x-x_0\|$。因此局部有 $|\phi(x)-\phi(x_0)|\le(M/m)\|x-x_0\|$。令 $h\to0$、$k=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)=O(\|h\|)$。由 $H$ 可微，

于是 $D\phi=-H_t^{-1}D_xH$。右侧连续，故 $\phi\in C^1$。此乘积盒保证所给区间内所有零点的唯一性，而不仅是某条选定分支唯一。

消元证明多个方程

设 $G:U\subset\mathbb R^{p+k}\to\mathbb R^k$ 为 $C^1$，$G(a,c)=0$，且 $D_yG(a,c)$ 可逆。对 $k$ 归纳证明局部结论。$k=1$ 即上节。$k>1$ 时令 $A=D_yG(a,c)$，把 $G$ 换成 $A^{-1}G$；零点和正则性不变，而基点的 $y$ 雅可比矩阵成为 $I_k$。将 $y=(t,z)$，其中 $z\in\mathbb R^{k-1}$。第一方程的 $t$ 偏导非零，故局部唯一解为 $t=\psi(x,z)$，且 $\psi$ 为 $C^1$。对归一化系统定义 $K(x,z)=(G_2,\ldots,G_k)(x,\psi(x,z),z)$。在基点，$D_z\psi=-G_{1t}^{-1}G_{1z}=0$，同时 $D_z(G_2,\ldots,G_k)=I_{k-1}$，$D_t(G_2,\ldots,G_k)=0$，故 $D_zK=I_{k-1}$。归纳假设给出唯一局部解 $z=\zeta(x)$，从而 $y=(\psi(x,\zeta(x)),\zeta(x))$。单方程定理给出 $(x,z)$ 的开定义域；将它缩小为 $P_x\times Z$，并记标量零点区间为 $T$。缩小归纳所得邻域，使所有 $x\in P_x$ 都满足 $\zeta(P_x)\subset Z$ 及 $\psi(x,\zeta(x))\in T$。$P_x\times T\times Z$ 中的每个零点满足第一方程，故 $t=\psi(x,z)$，进而满足 $K=0$；两次唯一性因此证明所述局部唯一。对 $G(x,\phi(x))=0$ 用链式法则得到

行列式连续且在基点非零，所以缩小邻域后逆矩阵始终存在。有限代数公式 $B^{-1}=\operatorname{adj}(B)/\det B$ 亦表明逆矩阵各项在该邻域连续。这证明存在、局部唯一和 $C^1$ 正则性，不保证所选邻域以外的唯一性。

局部逆

设 $F:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 为 $C^1$，且 $DF(a)$ 可逆。对 $G(y,x)=F(x)-y$ 在 $(F(a),a)$ 使用上面的定理。存在 $F(a)$ 的开邻域 $V$ 和 $a$ 的开邻域 $X$，对每个 $y\in V$，$F(x)=y$ 在 $X$ 内恰有一个解 $x=H(y)$。令 $W=X\cap F^{-1}(V)$；它是包含 $a$ 的开集，且 $F:W\to V$ 为双射，逆 $H$ 是 $C^1$，满足 $DH(y)=[DF(H(y))]^{-1}$。这是局部结果。

正则等式约束

开集上的可微实值函数若有局部极值，则限制到每条坐标直线后仍有局部极值。由一元费马定理，每个坐标偏导为零，故其 Fréchet 导数为零。$d=0$ 时这一结论按唯一零线性映射理解。

设 $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$ 与 $g=(g_1,\ldots,g_k):U\to\mathbb R^k$ 为 $C^1$，$0\le k\le n$。设 $a$ 是约束 $g(x)=g(a)$ 下 $f$ 的局部极值点，且 $Dg(a)$ 的秩为 $k$。当 $0<k\le n$，选出 $k$ 个线性无关列，重排坐标为 $(u,v)\in\mathbb R^{n-k}\times\mathbb R^k$。隐函数定理给出所有局部可行点构成的图 $v=\phi(u)$。费马定理和链式法则给出

定义行向量 $\lambda^T=D_v f[D_vg]^{-1}$，则 $D_u f=\lambda^T D_ug$ 且 $D_v f=\lambda^T D_vg$，所以 $Df(a)=\lambda^T Dg(a)$，即 $\nabla f(a)=\sum_i\lambda_i\nabla g_i(a)$。当 $k=n$，$Dg$ 可逆，直接取 $\lambda^T=Df[Dg]^{-1}$；局部可行点孤立。当 $k=0$，结论是普通费马条件 $Df(a)=0$，右侧为空和。秩不足时本证明失效，结论亦未必成立；乘数条件一般只必要而非充分。

例子与检查

在 $(0,1)$ 附近，$x^2+y^2=1$ 的 $g_y=2$，局部分支为 $y=\sqrt{1-x^2}$，故 $y'(0)=0$。对 $F(s,t)=(s+t^2,t)$，原点附近的逆为 $(u-v^2,v)$，在原点的导数是恒等矩阵。对圆 $x^2+y^2=1$ 上的 $f=x+y$，全圆正则，$(1,1)=\lambda(2x,2y)$ 给出候选点 $(\pm1/\sqrt2,\pm1/\sqrt2)$，符号相同，函数值为 $\pm\sqrt2$。由紧性和连续性才得到它们分别为全局最大及最小值；这一步与必要乘数条件不同。

先假设 $F_y(a,b)>0$；如有需要可把 $F$ 换成 $-F$。由连续性，在 $(a,b)$ 周围某个小矩形上有 $F_y>m>0$。由一元中值定理，可选充分接近 $b$ 的水平边界，使 $F(a,b-\varepsilon)<0<F(a,b+\varepsilon)$。由连续性，当 $x$ 充分接近 $a$ 时，两个严格符号仍保持。对每个这样的 $x$，介值定理给出两边界之间的一个根；$F$ 对 $y$ 严格递增保证根唯一。

要证根 $\varphi(x)$ 在附近任意 $x_0$ 连续，利用 $F_y\ge m$ 和对 $y$ 的中值定理得到

要证可微，令 $\Delta y=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)$。由 $F$ 可微及中值估计，局部有 $\Delta y=O(|\Delta x|)$。把两个增量代入 $F(x+\Delta x,\varphi(x)+\Delta y)-F(x,\varphi(x))=0$，除以 $\Delta x$ 并令 $\Delta x\to0$，得到 $F_x+F_y\varphi'=0$。因 $F_x,F_y,\varphi$ 均连续且分母保持非零，商的公式连续。在矩形内的唯一性来自 $y$ 方向的严格单调性。