4.2 临界点与极值

问题并不相同

局部最小值只把 $f(a)$ 与定义域内附近的值比较；绝对最小值则与定义域内所有值比较。若在 $a$ 以外把 $\le$ 换成 $<$，便是严格最小值。最大值以反向不等式定义。局部极值不一定是绝对极值，而绝对极值亦未必存在。连续函数在非空、闭且有界的集合上必有绝对最大值与最小值，但仍须检查所有相关候选点才能找到它们。

定理

一阶必要条件

若 $f$ 在内点 $a$ 的开邻域可微，且在 $a$ 取得局部极值，则 $\nabla f(a)=0$。

证明

限制在坐标直线上

对每个坐标方向 $e_i$，一元函数 $t\mapsto f(a+te_i)$ 在 $t=0$ 取得内部局部极值。因此其导数为零，故 $\nabla f(a)$ 的各分量均为零。

这是必要条件，不是充分条件：$f(x,y)=x^2-y^2$ 在原点的梯度为零，但任意靠近原点的位置都有正值和负值。若不可微，局部极值可在梯度不存在之处出现，例如 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点。边界点亦不一定满足内点条件。

二阶导数判别法

定理

海森矩阵分类

设 $f$ 在驻点 $a$ 附近属 $C^2$。若对每个非零 $h$ 均有 $h^TH_f(a)h>0$，则 $a$ 是严格局部最小点；若二次型对每个非零 $h$ 均为负，则是严格局部最大点；若二次型有正有负，则是鞍点，既非局部最小亦非局部最大。半正定、半负定或零二次型均使此判别法无法得出结论。

证明

为何符号保持不变

泰勒定理给 $f(a+h)-f(a)=\tfrac12h^TH_f(a)h+o(\|h\|^2)$。若海森矩阵正定，其连续二次型在紧致单位球面有正的最小值 $m$。因此二次项至少为 $m\|h\|^2/2$，当非零 $h$ 足够小时会支配小 $o$ 余项。负定情况类似。若二次型不定，取两个固定方向，分别使二次型为正及为负；沿两条足够短的射线，二次项分别支配余项。

对驻点的对称 $2\times2$ 海森矩阵，设 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$。若 $D>0$ 且 $f_{xx}>0$，则为严格极小；若 $D>0$ 且 $f_{xx}<0$，则为严格极大；若 $D<0$，则为鞍点；若 $D=0$，判别法无结论。这些结论用于驻点，并不能随意分类非驻点。

例题

分类两个驻点

令 $f(x,y)=x^3-3x+y^2$。解 $3x^2-3=0$ 和 $2y=0$ 得 $(1,0)$、$(-1,0)$。海森矩阵为 $\mathrm{diag}(6x,2)$。在 $(1,0)$ 它正定，故此点是严格局部最小点，值为 $-2$；在 $(-1,0)$ 它不定，故此点是鞍点，值为 $2$。这些局部结论本身不能决定绝对极值；事实上，当 $x\to\pm\infty$，函数上下均无界。

例题

二阶判别无结论时仍可证明

在原点，$f=x^4+y^4$ 和 $g=x^4-y^4$ 的海森矩阵均为零。但 $f$ 在原点以外恒正，所以原点是严格最小点；$g$ 沿 $x$ 轴为正、沿 $y$ 轴为负，所以原点是鞍点。高阶项解答了二阶判别无法处理的问题。

区域上的绝对极值

1. 尽可能先证明存在：非空紧致区域上的连续函数必取得极值。
2. 找出区域内部的驻点和不可微点。
3. 在每一块边界上求极值，包括端点、角点与奇异点；可参数化边界，或在假设成立时用乘数法。
4. 计算所有候选点的函数值并比较。即使某内点是严格局部极值，也可能要检查边界。

例题

内部与边界的竞争

在闭圆盘 $x^2+y^2\le1$ 上，取 $f(x,y)=x^2+y^2+2x$。由连续性及紧致性，绝对极值存在。内部驻点须满足 $(2x+2,2y)=0$，得 $(-1,0)$，但它在边界而非内部。边界上 $x^2+y^2=1$，所以 $f=1+2x$：在 $(-1,0)$ 最小为 $-1$，在 $(1,0)$ 最大为 $3$。存在性与候选点分析保证这些是绝对极值。

方法比较

用一阶导数产生候选点，不可单凭它确认类型。海森矩阵正定或负定能有效给出严格局部结论；若判别无结果，可用曲线上的符号或高阶项。求绝对极值时，局部分类未必必要，但必须完整检查边界并比较函数值。定义域若开或无界，要研究极限行为和上确界或下确界可能无法取到的情况；不能直接假定紧致。

练习

1. 分类 $f=x^2+2xy+3y^2-2x$ 的所有驻点。
2. 求 $f=x+y$ 在 $[0,2]\times[0,1]$ 上的绝对极值。
3. 判断 $f=x^4+y^6$ 和 $g=x^4-y^6$ 在原点的性质，并解释为何海森矩阵判别法本身不能回答。
4. 给出非紧致定义域上的连续函数，它没有绝对最大值，并解释为何紧致性定理不适用。

详解

1. 方程 $2x+2y-2=0$、$2x+6y=0$ 得 $(x,y)=(3/2,-1/2)$。海森矩阵 $\begin{pmatrix}2&2\\2&6\end{pmatrix}$ 的 $D=8>0$ 且 $f_{xx}=2>0$，所以是严格局部最小点。配方得 $f=(x+y-1)^2+2(y+1/2)^2-3/2$，故它亦是唯一绝对最小点，值为 $-3/2$。
2. 因为 $0\le x\le2$、$0\le y\le1$，所以 $0\le x+y\le3$。最小值 $0$ 在 $(0,0)$ 取得，最大值 $3$ 在 $(2,1)$ 取得。
3. 两者在原点的海森矩阵均为零，判别法无结论。第一个函数在原点以外恒正，所以为严格最小；第二个沿 $(t,0)$ 有 $t^4>0$，沿 $(0,t)$ 有 $-t^6<0$，其中 $t\ne0$，所以为鞍点。
4. $f(x)=x$ 在 $\mathbb R$ 上连续但上无界；$\mathbb R$ 非紧致。另一例是 $f(x)=x$ 定义于 $(0,1)$：它有界但不取到上确界。

总结

驻点条件把局部最优性转化为方程。海森矩阵检视二阶行为，但可能不能判定。整体最优化还需要存在性，以及完整处理边界与例外点。