三角学、向量与科学坐标

动机

本章假设你掌握第 1 章的方程、函数、平方根与定义域。我们将数与角度、周期变化及有方向的量联系起来。你将一致使用弧度，求解基本三角方程而不遗漏整族解，将向量分解为分量，并用矩阵表示一对联立方程。

标量给出一个大小，例如温度。向量给出有方向的量，例如位移。周期函数描述重复模式。只有说明坐标方向、单位和允许的输入，这些模型才有意义。

2.1 弧度与单位圆

定义

对半径 $r>0$ 的圆，以弧度计的角是有符号弧长除以 $r$。一周为 $2\pi$ 弧度；$180^\circ=\pi$ 弧度。该定义使弧度无量纲，但保留“rad”标签有助于将角与其他无量纲量区分。

在单位圆上，从正水平轴逆时针转过角 $\theta$ 所到的点为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，因此

$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

正弦和余弦的周期均为 $2\pi$。正弦为奇函数、余弦为偶函数：$\sin(-\theta)=-\sin\theta$、$\cos(-\theta)=\cos\theta$。只有 $\cos\theta\ne0$ 时定义 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$，故正切在 $\pi/2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）处无定义。

命题

两角和恒等式为

$$\begin{aligned}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\end{aligned}$$

证明

我们采用旋转的几何事实：绕原点的旋转保持距离与平面定向（顺、逆时针次序），并且对坐标分量是线性的。令 $R_\alpha$ 表示逆时针旋转 $\alpha$。由单位圆，两个坐标基向量分别旋转为

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由线性性，它对角为 $\beta$ 的点的作用为

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

从几何上看，连续旋转的角度相加，所以同一点也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比较坐标即证明两个恒等式，而无需预先使用它们。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恒等式对定义域内每个输入成立；方程询问哪些输入使特定等式成立。

例题

例 1：计算前先换算。 半径为 $0.4$ m 的轮子转过 $135^\circ=3\pi/4$ 弧度。所行弧长为 $r\theta=0.3\pi$ m。将角度数字 $135$ 直接代入 $r\theta$ 会使用错误的角单位。

2.2 解方程与选择反函数分支

命题

若 $-1\le c\le1$，方程 $\sin\theta=c$ 有周期重复的解。令 $\alpha=\arcsin c\in[-\pi/2,\pi/2]$，全部解为

$$\theta=\alpha+2k\pi\quad\text{or}\quad\theta=\pi-\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

在极端值 $c=\pm1$，某些参数表示重叠，只造成重复而不会增加解。若 $|c|>1$，没有实解。

证明

采用单位圆的基本几何：每个点都有模 $2\pi$ 唯一的角，右半圆在每个高度 $c\in[-1,1]$ 恰有一个点。该点坐标为 $(\sqrt{1-c^2},c)$，其在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 内的角定义为 $\alpha=\arcsin c$。正弦为 $c$ 的点必须满足 $x^2=1-c^2$，所以横坐标只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或其负值。第二个点是关于竖直轴的反射，其角在模 $2\pi$ 意义下为 $\pi-\alpha$。这两个点穷尽水平线与圆的交点，证明两族解及没有其他解。在 $c=\pm1$ 时两点重合；当 $|c|>1$，$x^2=1-c^2<0$ 在实数中不可能。同一几何给出余弦在上半圆 $[0,\pi]$ 的反函数分支，以及正切在 $(-\pi/2,\pi/2)$ 的分支：右半平面内的射线斜率为 $\tan\theta$，每个实数斜率恰确定一条这样的射线。最后，$\cos P=1$ 仅在 $P=2k\pi$ 成立，所以在角零处检验可知余弦的任何周期都是 $2\pi$ 的整数倍；故其最小正角周期为 $2\pi$。

$\arcsin$ 是限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上的正弦函数的反函数，不是周期正弦的全局反函数。同样，$\arccos$ 的值在 $[0,\pi]$，$\arctan$ 的值在 $(-\pi/2,\pi/2)$。

例题

例 2：有界角区间。 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin(2x)=1/2$。角 $2x$ 位于 $[0,4\pi)$，可能值为 $\pi/6$、$5\pi/6$、$13\pi/6$ 和 $17\pi/6$。除以二得 $x=\pi/12$、$5\pi/12$、$13\pi/12$、$17\pi/12$。若只返回 $\arcsin(1/2)/2$，会漏掉另外三个允许的解。

常见错误

另一个分支检验是 $\arcsin(\sin(3\pi/4))=\pi/4$，不是 $3\pi/4$。输出必须属于主值反函数的值域。

2.3 周期模型与相位

模型

$$y(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$$

在 $A\ne0$ 且 $\omega\ne0$ 时，中线为 $m$，振幅为 $|A|$，周期为 $2\pi/|\omega|$。余弦的角度参数 $\omega t+\phi$ 必须无量纲。若 $t$ 以秒计，$\omega$ 可记录为每秒弧度。相位 $\phi$ 决定模型从周期的哪个位置开始。

例题

例 3：合并两个正交相位分量。 考虑

$$y(t)=3\cos(2t)+4\sin(2t).$$

选取 $\delta\in(0,\pi/2)$，使 $\cos\delta=3/5$、$\sin\delta=4/5$。两角和恒等式给出

$$y(t)=5\cos(2t-\delta).$$

振幅为 $5$，周期为 $\pi$ 个时间单位，$t\ge0$ 的第一次最大值在 $t=\delta/2$。绘图计算器可展示模式，但恒等式精确证明振幅与相位。

常见错误

两个周期信号之和未必具有其中任一信号的周期；若周期之比为无理数，可能不存在共同非零周期。不能假设任意振荡项之和都会在某个方便区间上重复。

2.4 向量与分量

选读：向量衔接。 直角分量与角度检查支持坐标学习；合向量、点积和投影为后续线性代数作准备。

平面向量是有序对 $v=(v_x,v_y)^T$，长度为 $\|v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$。加法和数乘逐分量进行。方向角 $\theta$ 与长度 $R\ge0$ 给出

$$v=\begin{pmatrix}R\cos\theta\\R\sin\theta\end{pmatrix}.$$

对 $R>0$，方向在模 $2\pi$ 意义下确定。零向量没有唯一方向。从分量恢复角度需要正确象限；单用 $\arctan(v_y/v_x)$ 不能区分相反方向，在 $v_x=0$ 时也不能使用。

例题

例 4：合力。 在共同坐标系中，两个力为 $F_1=(3,4)^T$ N、$F_2=(-1,2)^T$ N。合力为 $(2,6)^T$ N，大小为 $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ N。将大小相加得到 $5+\sqrt5$ 不是合力大小，因为它忽略方向。

点积 $u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y$ 对非零向量间的夹角满足 $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta$。正交向量的点积为零。$v$ 沿单位方向 $e$ 的标量分量为 $v\cdot e$，对应向量分量为 $(v\cdot e)e$。

证明

对非零实平面向量，写 $u=R(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$v=S(\cos\beta,\sin\beta)$，其中 $R=\|u\|>0$、$S=\|v\|>0$。已证的两角和公式与奇偶性给出

$$u\cdot v=RS(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=RS\cos(\alpha-\beta)=RS\cos\theta,$$

其中 $\theta\in[0,\pi]$ 是两向量的较小夹角。在此区间，$\cos\theta=0$ 当且仅当 $\theta=\pi/2$，证明非零向量的垂直判据。零向量与任意向量的点积为零，无需给它定义角度。若 $\|e\|=1$，则

$$[v-(v\cdot e)e]\cdot e=v\cdot e-(v\cdot e)(e\cdot e)=0.$$

因此 $(v\cdot e)e$ 是平行于 $e$ 的分量，残差垂直于它。此分解唯一：若 $v=te+w$ 且 $w\cdot e=0$，两边与 $e$ 点乘即强制 $t=v\cdot e$。

例题

例 5：方向分量。 对 $v=(4,1)^T$ 和单位方向 $e=(3/5,4/5)^T$，标量分量为 $16/5$，向量分量为 $(48/25,64/25)^T$。残差 $v-(v\cdot e)e=(52/25,-39/25)^T$ 与 $e$ 的点积为零，验证该分解。

2.5 直线与小型矩阵系统

坐标与矩阵联系。 直角坐标和简单矩阵共同描述线性关系。

过点 $a$、具有非零方向 $d$ 的直线由 $x=a+td$（$t\in\mathbb R$）组成。若非零法向量 $n$ 与 $d$ 垂直，同一直线可写为 $n\cdot(x-a)=0$。

证明

两种直线描述相同，这里特指实平面。写 $d=(p,q)\ne(0,0)$，令 $w=x-a$。每个 $w=td$ 都满足 $(-q,p)\cdot w=0$。反过来，$-qw_x+pw_y=0$ 蕴含 $w=td$：若 $p\ne0$，取 $t=w_x/p$ 即得 $w_y=tq$；若 $p=0$，则 $q\ne0$，方程强制 $w_x=0$，取 $t=w_y/q$。由相同两种情况，任意垂直于 $d$ 的非零 $n$ 都是 $(-q,p)$ 的非零倍数，所以它的方程有完全相同的解集。在三维空间，一个非零法向量会描述平面，而不是直线。

一对标量方程可写成矩阵方程。例如

$$2x+y=8,\qquad x+3y=9\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\9\end{pmatrix}.$$

矩阵乘向量指将每个系数行与未知数列向量点乘。从第一式减去第二式的两倍得 $-5y=-10$，所以 $y=2$、$x=3$，两个原方程均可检验。此记号为更大系统作准备；它不会使每对方程自动独立或可解。

2.6 分级练习

基础

思考检查

练习 1

1. 将 $210^\circ$ 转为弧度，并求半径为 $3$ 的圆对应弧长。

思考检查

练习 2

2. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\sin x=1/2$。

思考检查

练习 3

3. 计算 $\arcsin(\sin(3\pi/4))$ 并解释分支限制。

核心

思考检查

练习 4

4. 在 $0\le x<2\pi$ 上解 $\cos(2x)=0$。

思考检查

练习 5

5. 给出 $y(t)=2-3\cos(4t+\pi/3)$ 的中线、振幅和周期。

思考检查

练习 6

6. 将 $5\cos t+12\sin t$ 写成 $R\cos(t-\delta)$，其中 $R>0$、$0<\delta<\pi/2$，并精确给出 $\cos\delta$ 与 $\sin\delta$。

思考检查

练习 7

7. 求向量 $(2,-1)^T$ 和 $(-5,5)^T$ 的合向量及长度。

综合

思考检查

练习 8

8. 将 $v=(2,3)^T$ 投影到单位方向 $e=(1,1)^T/\sqrt2$，并验证残差与该方向垂直。

思考检查

练习 9

9. 写出过 $(1,2)^T$、方向为 $(2,-1)^T$ 的直线的参数方程和法向量方程，检查 $(5,0)^T$ 是否在其上。

思考检查

练习 10

10. 两分量科学平衡给出 $x+2y=7$、$3x+y=11$。写出矩阵方程，用可逆消元求解并解释解为何唯一。

2.7 完整解答

解答 · 练习 1

1. $210^\circ=(7\pi/6)$ rad。弧长为 $3(7\pi/6)=7\pi/2$，单位与半径长度单位相同。

解答 · 练习 2

2. 第一周内的解为 $x=\pi/6$ 和 $x=5\pi/6$。

解答 · 练习 3

3. 正弦在 $3\pi/4$ 和 $\pi/4$ 处同为 $\sqrt2/2$。反函数返回 $[-\pi/2,\pi/2]$ 内的值，即 $\pi/4$。

解答 · 练习 4

4. $2x=\pi/2+k\pi$，故 $x=\pi/4+k\pi/2$。区间内四个值为 $\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4$。

解答 · 练习 5

5. 中线为 $2$，振幅为 $3$，周期为 $2\pi/4=\pi/2$。负系数相对正余弦反转峰与谷，但不产生负振幅。

解答 · 练习 6

6. $R=\sqrt{25+144}=13$。取 $\cos\delta=5/13$、$\sin\delta=12/13$，确定第一象限角；两角和恒等式给出所需表达式。

解答 · 练习 7

7. 和为 $(-3,4)^T$，长度为 $\sqrt{9+16}=5$。

解答 · 练习 8

8. $v\cdot e=5/\sqrt2$，所以向量投影为 $(5/2,5/2)^T$。残差为 $(-1/2,1/2)^T$，与 $e$ 的点积为零。

解答 · 练习 9

9. 参数方程为 $(x,y)^T=(1,2)^T+t(2,-1)^T$。法向量为 $(1,2)^T$，得到 $(x-1)+2(y-2)=0$，即 $x+2y=5$。点 $(5,0)$ 满足后式，也等于 $t=2$ 的参数点，故在直线上。

解答 · 练习 10

10. 方程为 $\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}(x,y)^T=(7,11)^T$。第二式减去第一式三倍得 $-5y=-10$，故 $y=2$、$x=3$。非零系数 $-5$ 强制唯一的 $y$，第一式再强制唯一的 $x$，没有自由选择。直接检验得 $3+4=7$、$9+2=11$。

水平尺度是证明的一部分

对非常数模型 $f(t)=m+A\cos(\omega t+\phi)$，假设 $A\ne0$、$\omega\ne0$。时间增量 $P=2\pi/|\omega|$ 使余弦自变量改变 $2\pi$ 或 $-2\pi$。因此由角度加法公式可得 $f(t+P)=f(t)$。余弦的基本角周期为 $2\pi$，所以这个非零仿射时间缩放给出的基本时间周期是 $P$。改变振幅不会改变水平间距。

写成 $\omega t+\phi=\omega(t-h)$ 可得 $h=-\phi/\omega$。$h$ 有时间单位，而 $\phi$ 是角度；混淆两者会改变模型。由于增加一整周角度不改变余弦值，可以按整周期描述等价的平移。当 $A>0$ 时，$h$ 是不受限制模型的一个最大值时刻；当 $A<0$ 时，相同相位位置则是最小值。在受限观察窗口中，只有包含在窗口内的峰值和谷值时刻才算。若 $A$ 或 $\omega$ 为零，输出为常数，不能应用非常数周期的解释。

图像专题 G2

思考检查

图像题 G2

带相位的周期温度记录

在闭观察区间 $0\le t\le26$ 秒内，理想化温度为

$$T(t)=20+3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-2)\right).$$

这里 $T$ 是以摄氏度表示的温度数值，$t$ 是以秒表示的时间数值。角频率为每秒 $\pi/6$ 弧度，因此余弦的自变量无量纲。这是所述区间上的假设模型，不是实验测量数据。

1. 读出中线、振幅、最大值、最小值和周期，并写出正确单位。
2. 将相位解释为水平时间平移，求观察区间内前两个最大值出现的时间。为什么二不是周期？
3. 从图中估计满足 $T(t)\ge21.5$ 的所有时间，再推导精确的闭区间并集，而不只给出一个反余弦值。
4. 说明此图对于观察区间之外的时间能够及不能说明什么。

解答 · 图像题 G2

1. 中线为摄氏 $20$ 度，振幅为摄氏 $3$ 度；最大值为摄氏 $23$ 度，最小值为摄氏 $17$ 度，均在区间内取得。一个完整周期为

   $$P=\frac{2\pi}{\pi/6}=12\text{秒}.$$

   例如相邻最大值出现在 $t=2$ 和 $t=14$。把水平距离读作振幅会混淆秒与摄氏度。

2. 相对于 $20+3\cos(\pi t/6)$，图像向右平移两秒：在 $t=2$ 时余弦自变量为零。每个最大值满足 $(\pi/6)(t-2)=2k\pi$，故对整数 $k$ 有 $t=2+12k$。前两个为两秒和十四秒，第三个出现在包含的端点二十六秒。水平平移决定起始相位，重复峰值的间距决定周期。展开自变量得到相位 $-\pi/3$ 弧度，而不是两弧度。

3. 阈值比中线高一又二分之一摄氏度，所以

   $$T(t)\ge21.5\iff \cos\!\left(\frac\pi6(t-2)\right)\ge\frac12.$$

   在角度轴上，余弦至少为二分之一的角度属于 $[-\pi/3,\pi/3]+2k\pi$。乘以正的时间尺度得到

   $$t\in[12k,4+12k]\qquad(k\in\mathbb Z).$$

   将该完整周期族与 $[0,26]$ 取交，得到

   $$[0,4]\cup[12,16]\cup[24,26]\quad\text{秒}.$$

   边界时刻零、四、十二、十六和二十四的温度恰为摄氏 $21.5$ 度；二十六秒处为摄氏 $23$ 度。因此所有列出的端点均满足非严格比较和闭观察区间。一个反余弦主值不能找齐每个峰值两侧及之后的周期。

4. 公式有数学上的周期延伸，但题目只在所述观察区间假设其科学有效。图像不能证明实际仪器在零之前或二十六秒之后仍保持周期性或遵循此校准。外推是额外建模假设，而不是从窗口内曲线得出的结论。

总结

弧度联系弧长与角坐标。反三角函数需要限制分支，三角方程却可能有许多周期解。振幅和相位识别周期模型结构。向量分量保留方向，点积识别垂直分量，矩阵记号组织联立平衡。