求和、乘积与有限结构

动机

本章需要分数运算和分配律。完成后，你应能读写带指标的和与积，在不改变各项的情况下变换指标，推导简单的有限累积公式，并检查公式在端点的意义。这些技能用于数据摘要、重复变化和第 6 章的无穷级数。

大型求和或乘积符号不是新的算术，而是告诉我们执行哪些普通加法或乘法的紧凑指令。困难往往在于读懂指令，而不是执行运算。

5.1 指标是指令，不是额外变量

定义

对整数 $m\le n$ 和数 $a_m,\ldots,a_n$，定义

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n.$$

符号 $k$ 是指标，$m$ 是下限，$n$ 是上限。两个端点都包含，故有 $n-m+1$ 项。被求和的表达式称为求和项。计算时，将求和项中每个指标替换为每个允许的整数。

例如，

$$\sum_{k=2}^{5}(2k-1)=3+5+7+9=24.$$

共有四项，不是三项也不是五项。与指标无关的因子保持不变并重复出现：

$$\sum_{k=1}^{n}c=nc\qquad(n\ge1).$$

在有限和中，指标是约束变量或哑变量：$\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{j=1}^{n}j^2$。改名不改变数值。未被求和符号约束的变量仍是参数，例如

$$F(x)=\sum_{k=1}^{3}(x+k)=3x+6.$$

这里 $x$ 可自由变化；$k$ 不是 $F$ 的自变量。

例题

例 1：数据记号。 四个读数为 $x_1=3$、$x_2=5$、$x_3=4$、$x_4=8$。则

$$\sum_{i=1}^{4}x_i=20,\qquad \sum_{i=1}^{4}x_i^2=9+25+16+64=114.$$

但是 $(\sum_{i=1}^{4}x_i)^2=400$。和的平方产生交叉项，不是仅将每个求和项平方。样本算术平均数为 $\bar x=(1/4)\sum_i x_i=5$，单位与每个读数相同。

没有上下限的 $\sum_i$ 只有在指标集合已说明时才可使用，不能在计算间暗中改变指标集合。

5.2 有限和的代数

命题

若 $a_k,b_k$ 在同一整数范围内定义，且 $\alpha,\beta$ 是与 $k$ 无关的常数，则分配律给出

$$\sum_{k=m}^{n}(\alpha a_k+\beta b_k) =\alpha\sum_{k=m}^{n}a_k+\beta\sum_{k=m}^{n}b_k.$$

证明

这称为线性性。将两边展开成有限项列表并重新分组即可证明，无需各项为正。

在满足 $m\le p<n$ 的整数 $p$ 处分割范围，得到

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m}^{p}a_k+\sum_{k=p+1}^{n}a_k.$$

第二个和从 $p+1$ 开始；若从 $p$ 开始会重复计算一项。

常见错误

常数可提出，但依赖指标的表达式不能。$\sum_{k=1}^{n}ka_k$ 不能改写为 $k\sum_{k=1}^{n}a_k$：求和后不再有单一的 $k$ 值。

例题

例 2：代数总量。 因为 $1+\cdots+5=15$，

$$\sum_{k=1}^{5}(3k-2)=3(15)-2(5)=35.$$

第二部分的 $2$ 重复五次，而不是只减一次 $2$。

5.3 变换指标保持项列表

改变指标时必须同时改变求和项与上下限。若 $j=k-m$，则 $k=m$ 对应 $j=0$，$k=n$ 对应 $j=n-m$。因此

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n-m}a_{j+m}.$$

比较首项、末项和项数，可以检查换指标并捕捉许多错误。

例题

例 3：移位模型。 将 $\sum_{k=3}^{7}(k-2)^2$ 写成下标从零开始的和。令 $j=k-3$，结果为

$$\sum_{j=0}^{4}(j+1)^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55.$$

若在原公式中直接以 $j$ 代替 $k$ 而不改变上下限，并没有完成此移位。

也可以反向排列。在 $\sum_{k=0}^{n}a_k$ 中令 $j=n-k$，同样的项按 $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ 出现，故

$$\sum_{k=0}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n}a_{n-j}.$$

对有限实数或复数和，加法的结合律和交换律允许重排。第 6 章不会自动将此许可用于任意无穷级数。

5.4 等差总量与裂项相消

对整数 $n\ge1$，令 $S=1+2+\cdots+n$。反转次序并将对应项相加：

$$2S=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n+1)=n(n+1).$$

有 $n$ 对，每对等于 $n+1$，因此

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2.$$

无论 $n$ 为奇数或偶数，证明都成立：我们相加的是两个完整列表，而不是把一个列表分成对。首项为 $a$、公差为 $d$ 的等差数列，其第 $k$ 项为 $a+(k-1)d$，总和为

$$\sum_{k=1}^{n}[a+(k-1)d] =na+\frac{dn(n-1)}2=\frac n2[2a+(n-1)d].$$

例题

例 4：计划测量。 一项研究安排 $12$ 次测量，首次在参考时刻后 $5$ 分钟，此后每次测量时刻增加 $3$ 分钟。这些时刻是 $5,8,\ldots,38$ 分钟，平均为 $(5+38)/2=21.5$ 分钟，和为 $12(21.5)=258$ 分钟。这个和是相对于参考时刻的时间戳之和，不是研究历时；最后一次测量在 $38$ 分钟时进行。

命题

展开后大多数项相消的和称为裂项相消和。对任意有定义的 $b_1,\ldots,b_{n+1}$，

$$\sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}.$$

中间的 $b_2,\ldots,b_n$ 各以正负号出现一次。由于表达式有限，相消有效。

例题

例 5：有理式裂项。 对正整数 $k$，

$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.$$

因此

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.$$

先通分证明恒等式，再求和。当 $n=1$ 时公式给出 $1/2$，检查了下端点。裂项消去中间项，而不是末尾边界项。

第 3 章已推导的有限几何级数公式也是累积恒等式。用当前记号，对 $n\ge1$，

$$\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=\begin{cases} a(1-r^n)/(1-r),&r\ne1,\\ na,&r=1. \end{cases}$$

首项为 $a$，末项为 $ar^{n-1}$。这是有限公式，即使 $|r|>1$ 也有效；只有提出无穷极限时才涉及收敛。

5.5 乘积记号、阶乘与相消

定义

相应的乘积定义为

$$\prod_{k=m}^{n}a_k=a_ma_{m+1}\cdots a_n\qquad(m\le n).$$

现在 $a_k$ 称为因子。对整数 $n\ge1$，阶乘为 $n!=\prod_{k=1}^{n}k$。规定 $0!=1$；从一到零没有正整数可乘。更一般地，空和为 $0$，空积为 $1$，分别是加法和乘法单位元。这里使用的空范围没有指标，不是倒序求和的指令。

含零因子的乘积为零。乘积之商要求分母非零。若相关因子均有定义，

$$\prod_{k=m}^{n}(a_kb_k)=\left(\prod_{k=m}^{n}a_k\right)\left(\prod_{k=m}^{n}b_k\right),$$

且当每个 $b_k\ne0$ 时，

$$\prod_{k=m}^{n}\frac{a_k}{b_k}= \frac{\prod_{k=m}^{n}a_k}{\prod_{k=m}^{n}b_k}.$$

对 $N=n-m+1$ 个因子，$\prod_{k=m}^{n}(ca_k)=c^N\prod_{k=m}^{n}a_k$。除非特殊值使两者相等，否则这不是 $c\prod a_k$。乘积不具有类似和的线性性：一般 $\prod(a_k+b_k)\ne\prod a_k+\prod b_k$。

例题

例 6：相消乘积。 对 $n\ge1$，

$$\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} =\frac21\frac32\cdots\frac{n+1}{n}=n+1.$$

所有被消去的因子均非零。当 $n=0$，将左边解释为空积得到 $1$，与 $n+1$ 一致。相比之下，若某个指标处的分母为零，表达式无定义；漂亮的相消模式不能使除零合法。

例题

例 7：变化的百分比。 无量纲比例 $p_k$ 在第 $k$ 阶段以乘数 $1+p_k$ 改变量。从 $Q_0$ 开始，经过 $n$ 个阶段后的量为

$$Q_n=Q_0\prod_{k=1}^{n}(1+p_k).$$

先上升 $10\%$ 再下降 $10\%$ 的乘数为 $1.1(0.9)=0.99$，所以最终为起始量的 $99\%$。直接相加百分比会忽略基数变化。对于非负量，每阶段乘数应非负；负的代数乘数需要不同的模型解释。

5.6 双重指标与统计恒等式

有限矩形双重和为

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum_{i=1}^{m}(a_{i1}+\cdots+a_{in}).$$

表中每个元素出现一次，因此可以按列而不是按行求和。特别地，普通有限分配律给出

$$\left(\sum_{i=1}^{m}u_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n}v_j\right) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}u_iv_j.$$

两个指标必须独立。例如 $(u_1+u_2)(v_1+v_2)$ 有四项，而不只是指标相同的两项 $u_1v_1+u_2v_2$。这是代数事实，不假设统计独立性。

对实数观测值 $x_1,\ldots,x_n$（$n\ge1$），令 $\bar x=(1/n)\sum_i x_i$。展开各平方并使用线性性，得到

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 &=\sum_i x_i^2-2\bar x\sum_i x_i+\sum_i\bar x^2\\ &=\sum_i x_i^2-2n\bar x^2+n\bar x^2\\ &=\sum_i x_i^2-n\bar x^2. \end{aligned}$$

此恒等式涉及离差平方总和；除以 $n$ 或 $n-1$ 属于不同的统计约定。$n-1$ 的约定在 $n=1$ 时无定义。对例 1 的读数，离差平方总和为 $114-4(25)=14$，直接计算也得 $4+0+1+9$。其单位是读数单位的平方。

5.7 分级练习

基础

思考检查

练习 1

1. 展开并计算 $\sum_{k=0}^{3}(2k+1)$ 和 $\prod_{k=1}^{4}(k+1)$。

思考检查

练习 2

2. 对 $n\ge4$，$\sum_{j=4}^{n}a_j$ 有多少项？计算 $\sum_{j=4}^{8}7$。

思考检查

练习 3

3. 对 $a_1=1,a_2=-2,a_3=4$，在 $i=1,2,3$ 范围内计算 $\sum a_i$、$\sum a_i^2$ 和 $(\sum a_i)^2$。

思考检查

练习 4

4. 解释为什么 $\prod_{k=1}^{3}(2a_k)$ 等于 $8a_1a_2a_3$，而不是 $2a_1a_2a_3$。

核心

思考检查

练习 5

5. 将 $\sum_{k=5}^{9}(k-4)^3$ 改写为下标从零开始的和，并指出首项和末项。

思考检查

练习 6

6. 对 $n\ge1$，推导 $\sum_{k=1}^{n}(4k-1)$ 的闭式公式，检查 $n=1$ 和 $n=3$。

思考检查

练习 7

7. 对 $n\ge2$，计算 $\sum_{k=2}^{n}1/[k(k+1)]$。

思考检查

练习 8

8. 对 $n\ge2$，计算 $\prod_{k=2}^{n}(k-1)/k$。给出 $n=1$ 的空积值，并检查同一闭式公式是否适用。

思考检查

练习 9

9. 人口模型连续使用乘数 $1.2$、$0.75$、$1.1$。剩下初始量的多少？总百分比变化是否为 $20-25+10$？

思考检查

练习 10

10. 分别按行和按列计算 $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}(i+2j)$。

综合

思考检查

练习 11

11. 使用等差求和公式证明 $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$。解释为什么它计数前 $n$ 个正奇数，包括末项。

思考检查

练习 12

12. 对 $x_1=2,x_2=4,x_3=9$，精确求平均值和离差平方总和，分别使用直接展开与第 5.6 节恒等式。

思考检查

练习 13

13. 对 $n\ge1$，化简 $\prod_{k=1}^{n}(1-1/(k+1)^2)$。仔细展示相消，不要跨加法相消。

思考检查

练习 14

14. 学生写出 $\sum_{k=1}^{n}x^k=x\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}=x(1-x^n)/(1-x)$。说明商式对哪些 $x$ 有效，给出排除值处的单独答案，并检查 $x=0$。

思考检查

练习 15

15. 取 $a_1=1,a_2=2$ 和 $b_1=3,b_2=5$，给出数值反例否定 $\prod_{k=1}^{2}(a_k+b_k)=\prod_{k=1}^{2}a_k+\prod_{k=1}^{2}b_k$。

思考检查

练习 16

16. 假设 $q_1,\ldots,q_n>0$ 且 $n\ge1$。反复使用双因子对数律证明 $\ln(\prod_{k=1}^{n}q_k)=\sum_{k=1}^{n}\ln q_k$。解释为什么即使最终乘积恰好为正，只要有一个非正因子，实对数陈述就无效。

5.8 完整解答

解答 · 练习 1

1. 和为 $1+3+5+7=16$，积为 $2\cdot3\cdot4\cdot5=120$。

解答 · 练习 2

2. 项数为 $n-4+1=n-3$。上限为八时有五项，故值为 $35$。

解答 · 练习 3

3. 和为 $1-2+4=3$，平方和为 $1+4+16=21$，和的平方为 $9$。差异反映交叉项。

解答 · 练习 4

4. 有三个独立的因子二：$(2a_1)(2a_2)(2a_3)=2^3a_1a_2a_3$。即使某个 $a_k=0$ 仍成立。

解答 · 练习 5

5. 令 $j=k-5$，则 $k-4=j+1$。结果为 $\sum_{j=0}^{4}(j+1)^3$，首项 $1^3$，末项 $5^3$。

解答 · 练习 6

6. 线性性给出 $4n(n+1)/2-n=2n^2+n=n(2n+1)$。在一处为 $3$，在三处为 $21$，与 $3+7+11$ 一致。

解答 · 练习 7

7. 每项写成 $1/k-1/(k+1)$，剩下边界项 $1/2-1/(n+1)=(n-1)/[2(n+1)]$。当 $n=2$，值为 $1/6$，即和中的唯一一项。

解答 · 练习 8

8. 乘积为 $(1/2)(2/3)\cdots((n-1)/n)=1/n$。当 $n=1$，空积为 $1$，与 $1/n=1$ 一致。

解答 · 练习 9

9. 精确乘数为 $(6/5)(3/4)(11/10)=99/100$。因此剩下 $99\%$，总变化为下降 $1\%$。阶段百分比之和为 $5\%$，未考虑不同基数。

解答 · 练习 10

10. 按行得到 $(3+5+7)+(4+6+8)=15+18=33$；按列得到 $(3+4)+(5+6)+(7+8)=7+11+15=33$。六个元素各计一次。

解答 · 练习 11

11. 线性性给出 $2[n(n+1)/2]-n=n^2$。指标表达式从一开始，每次增加二，以 $2n-1$ 结束，故恰列出前 $n$ 个正奇数。当 $n=1$，两边均为一。

解答 · 练习 12

12. 平均值为 $15/3=5$。直接计算总和为 $(2-5)^2+(4-5)^2+(9-5)^2=9+1+16=26$。恒等式给出 $4+16+81-3(25)=101-75=26$。

解答 · 练习 13

13. 由于 $1-1/(k+1)^2=k(k+2)/(k+1)^2$，将乘积分为 $\prod_{k=1}^{n}k/(k+1)$ 和 $\prod_{k=1}^{n}(k+2)/(k+1)$。它们分别为 $1/(n+1)$ 和 $(n+2)/2$，得到 $(n+2)/[2(n+1)]$。当 $n=1$，值为 $3/4$，与原式首因子一致。分解先因式分解平方差，再使用乘法，而不是消去和中的项。

解答 · 练习 14

14. 对所有实数 $x\ne1$，有限商式有效。在 $x=1$，和为 $n$。在 $x=0$，原和的幂从一开始，故为零，商式也给出零。有限几何表达式 $\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ 的常数项取一，包括 $x=0$ 时；不需要为一般不定表达式 $0^0$ 下定义。

解答 · 练习 15

15. 左边为 $(1+3)(2+5)=28$，所提右边为 $1\cdot2+3\cdot5=17$，故该规律错误。

以下解答所用双因子对数律在第 9 章证明，所需实幂构造见实幂基础证明。

解答 · 练习 16

16. 当 $n=1$，陈述显然。合并前两个正因子得 $\ln(q_1q_2)=\ln q_1+\ln q_2$；将它们的正乘积与 $q_3$ 合并再加上 $\ln q_3$。继续有限列表即得全部 $n$ 项。正性使每个对数都有定义。两个负因子的乘积可以为正，但各自的实对数无定义；零因子也使乘积的对数无定义。

总结

• 有限和列出加法，有限积列出乘法。端点与项数是其意义的一部分。
• 和具有线性性；逐项乘积的积可拆成两个积相乘，但不能类似地对加法拆分。
• 换指标时改变指标表达式及上下限，并比较首末项。
• 等差总和、裂项和几何总和是精确有限恒等式；例外分母须单独检查。
• 空和、空积分别为零和一。非空分母仍不能为零。
• 数据平均数和离差平方展示了平方和与和的平方的区别。

联系。 有限部分和导向第 6 章的无穷级数定义；本章恒等式提供第 7 章归纳证明的命题。乘积乘数与第 9 章指数及对数律相联系。第 4 章的矩阵元素记号也是指标和。