分清坐标对与它所表示的点
使用非负半径时，极坐标由映射
Φ:[0,∞)×R⟶R2,Φ(r,θ)=(rcosθ,rsinθ)
给出，角度以弧度计。若 r>0，给角度加上 2π 的整数倍不会改变所表示的点；若 r=0，任何角度都表示原点。这描述的是坐标映射；具体的极坐标方程还可能限制哪些坐标对才是解。
若 S 是满足方程的允许坐标对所组成的集合，则平面轨迹为 Φ(S)={Φ(r,θ):(r,θ)∈S}。点属于该像集，指至少存在一个允许坐标对表示它，并不要求该点的每种表示都满足方程。后文限制 −π≤θ≤π 时，允许坐标对的定义域随之改变，列出角度解之前必须先应用该限制。
用两个方向证明点集相等
以 x2+y2 代替 r2，以 x 代替 rcosθ，可从极坐标方程推出一个直角坐标结论。要证明轨迹相等，还须从直角坐标点出发，找到一个满足原方程的允许极坐标对。对非零点可取 r=x2+y2>0，此时才能合法地除以 r；在原点不能这样除，必须另行检查允许角度。
这关乎推理是否可逆，而不只是图像的外观。等比例坐标轴使图形能辅助解释圆心和半径；两个方向的包含关系才确定精确点集。下面四题区分这两项工作。
读图并回答四个问题
思考检查
图像专题 G3：极坐标对、圆与原点
设 r,x,y 是以厘米计的长度数值，θ 以弧度计。使用非负极半径及
x=rcosθ,y=rsinθ.考虑极坐标方程
r=4cosθ,r≥0.图中两个直角坐标轴使用相同尺度。经过 P 的射线方向为 θ=π/3。
- 将极坐标方程化为直角坐标方程，验证从图读出的圆心与半径。证明逆向结论并单独检查原点，确定完整点集。
- 当 −π≤θ≤π 时，哪些角度允许 r>0？哪些角度在满足极坐标方程时表示原点？
- 精确求 P 的 r 和直角坐标。整条射线与直角坐标圆除了在 P 处相交外，也在原点相交。极坐标对 (r,θ)=(0,π/3) 是否满足原方程？解释区别。
- 某学生在 r2=4rcosθ 中约去 r。这是否保留所有极坐标对？在本例中是否保留直角坐标点集？
完整解答：坐标对、点与零半径分支
解答 · 图像专题 G3：极坐标对、圆与原点
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两边乘以 r 得到 r2=4rcosθ，所以
x2+y2=4x⟺(x−2)2+y2=4.
圆心是 (2,0) 厘米，半径为两厘米，与图中未失真的圆一致。仅乘法只证明一个方向。反过来，取满足直角坐标方程的非零点，选择其非负半径 r=x2+y2>0 和对应角度。于是 r2=4rcosθ，除以这个正半径恢复 r=4cosθ。原点也属于极坐标轨迹：r=0、θ=π/2 满足方程。因此没有遗漏或增加直角坐标点。
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半径严格为正时 cosθ>0，所以在所述角度窗口内要求 −π/2<θ<π/2。原点的 r=0，此时方程要求 cosθ=0，在该窗口得到 θ=−π/2 或 π/2；这两对坐标表示同一个原点。余弦为负会要求负半径，而此约定不允许。令 θ 从 −π/2 变化到 π/2 可描出完整圆，两个端点都表示原点。
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当 θ=π/3，r=4(1/2)=2，因此
P=(2cos(π/3),2sin(π/3))=(1,3)厘米.
它与圆心的位移平方为 (1−2)2+(3)2=4，符合要求。但 (0,π/3) 不满足 r=4cosθ，因为这会断言 0=2。一个直角坐标点可以有多个极坐标表示；点属于轨迹，是指至少一个允许的表示满足其方程，而不是每种表示都满足。原点作为直角坐标点同时位于射线与圆上，但极坐标方程以不同角度表示它。
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乘后的方程在 r=0 时对每个角度成立，而约去后的方程只在 cosθ=0 时成立。因此约分移除了许多极坐标对，在完整坐标对定义域上不可逆。不过本例中，每个被移除的坐标对都表示同一个原点，而仍有保留下来的坐标对表示原点。半径为正时除法可逆。因此两个方程的直角坐标点集相同，极坐标对的解集却不同。
什么时候约分改变坐标对而保留点集
在本例中，把 r=4cosθ 乘以 r，会增加原先不满足方程的所有 r=0 坐标对。每个新增坐标对都映到原点，而原方程本来已有表示该点的解，例如 (0,π/2)。因此坐标对解集扩大，像点集却不变。这个结论依赖对零半径分支的检查。
这并非允许不经检查地任意乘除极坐标方程。例如 r=1、r≥0 描述单位圆；乘以 r 得到 r2=r，就会向平面轨迹增加原点。无论乘法还是除法，都应记录丢失或增加了哪些坐标对，再检查它们在 Φ 下的像。
