函数、方程与科学模型

动机

本章假设读者熟悉带符号数和分数的运算以及分配律。学完后，你应能写出公式的定义域、区分等价方程与仅为必要条件的方程、对适当函数进行复合与求逆，并建立量纲一致的初等模型。这些技能为微积分中的极限和线性代数中的方程组作准备。

单靠公式不能说明全部情况。表达式 $1/(x-2)$ 在 $x=3$ 有意义，在 $x=2$ 却没有意义。平方根可能带来限制，即使平方后该限制不再显现。科学模型还会增加约束：代数上有效的负浓度不是物理上允许的答案。我们将这三个问题分开：表达式有定义吗？方程成立吗？模型适用吗？

1.1 实数、区间和绝对值

实数轴有序。区间不用逐一列出元素便能表示范围。例如，

$$[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\},\qquad (a,b]=\{x\in\mathbb R:a<x\le b\}.$$

符号 $\infty$ 和 $-\infty$ 不是实数端点，所以 $(a,\infty)$ 在无穷远一端使用圆括号。不等式的解可能是多个区间的并集。

$x$ 的绝对值是它到零的距离：

$$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}$$

命题

因此，对 $r\ge0$，$|x-a|\le r$ 等价于 $a-r\le x\le a+r$。对 $r>0$，$|x-a|>r$ 意味着 $x<a-r$ 或 $x>a+r$。“或”很重要：邻域之外的点不必同时处于两侧。

证明

令 $z=x-a$。若 $z\ge0$，则 $|z|\le r$ 等价于 $z\le r$，而 $-r\le z$ 已成立。若 $z<0$，则它等价于 $-z\le r$，即 $z\ge-r$，而 $z\le r$ 已成立。因此对 $r\ge0$，两种情况合起来恰为 $-r\le z\le r$。取相反情况可得，$|z|>r$ 当且仅当 $z<-r$ 或 $z>r$。平移 $a$ 即证明两项结论，第一项也包括 $r=0$ 的等号情况。

例题

例 1：测量容差。 若传感器读数 $T$ 与 $25$ 相差至多 $0.4$，则符合认证条件。条件为 $|T-25|\le0.4$，因此 $T\in[24.6,25.4]$。“至多”包含等号，所以包括端点。若单位为摄氏度，不等式中的数均使用同一单位。

1.2 函数与定义域

定义

函数 $f:D\to C$ 为每个输入 $x\in D$ 指定唯一的值 $f(x)\in C$。集合 $D$ 是定义域，$C$ 是陪域，$f(D)=\{f(x):x\in D\}$ 是值域。陪域是预先指定的目标集合，不必等于值域。

实值公式的自然实定义域是使其运算均有定义的实数输入集合。本章中：

• 分母必须非零；
• 实平方根的被开方数必须非负；
• 实对数的真数必须为正。

应取所有限制条件的交集，不要只考虑最明显的一项。

例题

例 2：同时考虑两个限制。 对

$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2},$$

要求 $x\ge-1$ 且 $x\ne2$。因此自然定义域为 $[-1,2)\cup(2,\infty)$。允许任意接近 $2$ 的点，并不意味着公式在 $2$ 有定义。

常见错误

两个函数相等，要求定义域相同，且在该定义域上的函数值相同。公式 $(x^2-1)/(x-1)$ 和 $x+1$ 在 $x\ne1$ 时相同，但作为各自自然定义域上的函数，它们不相等：后者在 $1$ 有定义，前者没有。约去因子只能化简允许约分处的值，不能恢复被排除的输入。

分段规则只要在每个允许的输入处指定唯一明确的值，仍然是函数。各分段的条件不应留下意外空缺，也不应在重叠处给出冲突的值。

1.3 有逻辑地解方程

方程是关于输入的陈述。它的解集由所给定义域内使两边相等的输入组成。两个方程在某定义域上等价，是指它们在该定义域上有相同解集。

两边加上同一个表达式，在该表达式有定义的地方保持等价。两边乘以已知非零的表达式也保持等价；乘以可能为零的表达式可能产生额外解，除以可能为零的表达式则可能丢失解。两边平方保留所有原解，但可能产生新解，因为 $u^2=v^2$ 不仅允许 $u=v$，也允许 $u=-v$。

例题

例 3：根式方程。 在实数范围内解 $\sqrt{x+1}=x-1$。左边非负，所以任何解必须满足 $x\ge1$。平方得到

$$x+1=(x-1)^2\iff x^2-3x=0\iff x=0\text{ 或 }x=3.$$

候选值 $0$ 不满足 $x\ge1$。将 $3$ 代回原方程得到 $2=2$，所以解集为 $\{3\}$。只写出平方后的方程和两个根，并未解出原方程。

例题

例 4：有理不等式。 解 $(x-1)/(x+2)\ge0$。关键点为 $-2$（表达式无定义）和 $1$（表达式为零）。在 $(-\infty,-2)$ 上分子、分母均为负，商为正；在 $(-2,1)$ 上符号相反；在 $(1,\infty)$ 上均为正。包含 $1$、排除 $-2$，得到

$$(-\infty,-2)\cup[1,\infty).$$

常见错误

若不按 $x+2$ 的正负分类就直接乘以它，做法不安全：乘以负数会反转不等号。

1.4 复合与反函数

对 $f:D\to C$ 和定义域包含 $f$ 相应输出的函数 $g$，复合为 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$。其定义域恰为

$$\{x\in D:f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.$$

例题

例 5：复合次序。 设 $f(x)=x^2-1$ 定义在 $\mathbb R$ 上，$g(u)=\sqrt u$ 定义在 $[0,\infty)$ 上。那么

$$g(f(x))=\sqrt{x^2-1},\quad\operatorname{dom}(g\circ f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).$$

反过来，$f(g(x))=x-1$ 的定义域是 $[0,\infty)$。虽然化简后的公式 $x-1$ 在整个 $\mathbb R$ 上有意义，复合函数却不是如此：原来的内层函数仍控制定义域。

命题

若不同输入有不同输出，即 $f(x_1)=f(x_2)$ 蕴含 $x_1=x_2$，称函数是单射。单射函数存在从其值域到定义域的反函数。在相应定义域上，反函数 $f^{-1}$ 满足 $f^{-1}(f(x))=x$ 和 $f(f^{-1}(y))=y$。$f^{-1}$ 不表示 $1/f$。

证明

设 $f:D\to C$ 为单射。对每个 $y\in f(D)$，值域的定义保证存在 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，单射性保证此 $x$ 唯一。定义 $g(y)$ 为这个唯一输入，则 $g:f(D)\to D$ 是函数，且对每个 $x\in D$ 有 $g(f(x))=x$；由定义，对每个 $y\in f(D)$ 也有 $f(g(y))=y$。所以 $g=f^{-1}$ 具有所述定义域和两个逆关系。反过来，若函数 $g$ 满足 $g\circ f=\operatorname{id}_D$，对 $f(x_1)=f(x_2)$ 两边应用 $g$ 即得单射性。反函数只定义在 $f(D)$ 上时，无需 $f$ 满射到原先声明的陪域 $C$。

$\mathbb R$ 上的 $x\mapsto x^2$ 不是单射，因为 $2$ 和 $-2$ 的平方相同。在 $[0,\infty)$ 上它是单射，其反函数为 $y\mapsto\sqrt y$。限制定义域是一项数学选择，不是代数技巧。

例题

例 6：仪器校准。 无量纲校准规则为 $y=3x/(1+x)$，其中 $x\ge0$。分母为正。若两个输入有相同输出，交叉相乘得到 $3x_1(1+x_2)=3x_2(1+x_1)$，故 $x_1=x_2$，所以它是单射。求输入得

$$y+yx=3x\implies x=\frac{y}{3-y}.$$

当 $x\ge0$ 时，$0\le y<3$；反过来，该区间内每个 $y$ 都给出非负的 $x$。因此反函数定义在 $[0,3)$，而不是除 $3$ 以外的所有实数。

1.5 作为逆模型的指数与对数

对底数 $a>0$、$a\ne1$，指数函数 $a^x$ 在 $\mathbb R$ 上为正且是单射，其反函数是定义在 $x>0$ 上的 $\log_a x$。特别地，$\ln x$ 的底数为 $e$。当 $u,v$ 为正且 $p$ 为实数时，

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,\qquad \ln(u^p)=p\ln u$$

成立；但不存在对应的法则 $\ln(u+v)=\ln u+\ln v$。

正底实数次幂、正数值域及单调性的不使用微积分的构造，见实幂基础证明；第 9 章由该构造推导对数律，本节先作入门应用。

在衰减模型 $C(t)=C_0e^{-kt}$ 中，假设 $C_0>0$、$k>0$、$t\ge0$。若要求数量降至初始量的比例 $r$ 时所需时间，其中 $0<r\le1$，则解 $e^{-kt}=r$。取对数得 $t=-\ln r/k$。由于 $\ln r\le0$，答案按要求非负。$kt$ 必须无量纲；若时间以小时计，$k$ 的单位为每小时。

1.6 模型包含假设

证明

考虑两种盐水混合，过程中没有损失或反应。设浓度分别为 $c_1,c_2$ 克/升，体积为 $V_1,V_2>0$ 升。若体积可加，由盐质量守恒得

$$c=\frac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}.$$

分子是质量，分母是体积。当 $c_1\le c_2$ 时，结果落在 $[c_1,c_2]$ 中，因为它是正权重之和为一的加权平均。这个界可用于检查错误。

证明

加权平均的界可直接验证，无需图像假设。对 $V_1,V_2>0$ 和 $c_1\le c_2$，

$$c-c_1=\frac{(c_2-c_1)V_2}{V_1+V_2}\ge0,\qquad c_2-c=\frac{(c_2-c_1)V_1}{V_1+V_2}\ge0.$$

因此 $c_1\le c\le c_2$。若允许其中一个体积为零，但总体积仍为正，同一证明成立并包括纯溶液端点。代数界适用于有序实数 $c_1,c_2$；物理浓度模型另外采用非负浓度。

例题

例 7：配制混合液。 将 $2$ g/L 与 $7$ g/L 的溶液混合，得到 $10$ L、浓度 $5$ g/L 的溶液。设第二种溶液为 $v$ 升，则第一种为 $10-v$ 升，且

$$2(10-v)+7v=5(10)\implies5v=30\implies v=6.$$

应使用第二种溶液 $6$ L、第一种 $4$ L，满足约束 $0\le v\le10$。若目标浓度高于 $7$ g/L，即使不加限制的线性方程给出一个数字，该模型下也没有允许的解。

1.7 分层练习

基础

思考检查

练习 1

1. 将 $|2x-3|\le5$ 的解写成区间。

思考检查

练习 2

2. 求 $h(x)=\sqrt{4-x}/(x^2-1)$ 的自然实定义域。

思考检查

练习 3

3. 在 $\mathbb R$ 上解 $\sqrt{2x+3}=x$，并检查每个候选值。

思考检查

练习 4

4. 解 $(x+3)/(x-2)<0$。

核心

思考检查

练习 5

5. 设 $f(x)=1/(x-1)$、$g(u)=\sqrt{u+2}$。求两种次序的复合及其定义域。

思考检查

练习 6

6. 在 $[0,\infty)$ 上设 $F(x)=2x/(x+3)$。证明 $F$ 是单射，求其值域，并写出反函数及其定义域。

思考检查

练习 7

7. 某量满足 $Q(t)=80e^{-0.2t}$，其中 $t\ge0$，$t$ 以小时计。求 $Q=20$ 时的精确时间，并写出 $0.2$ 的单位。

综合

思考检查

练习 8

8. 用 $4$ g/L 和 $10$ g/L 的溶液配制 $15$ L、浓度为 $8$ g/L 的溶液。求两种体积。不用再解一个线性方程，解释为何目标浓度 $12$ g/L 不可能达到。

思考检查

练习 9

9. 一名学生解 $x(x-2)=0$ 时除以 $x$，得到 $x=2$。指出确切丢失的情况。再解释为何约分 $(x^2-4)/(x-2)=x+2$ 在 $x=3$ 有效，却不能使左边在 $x=2$ 有定义。

思考检查

练习 10

10. 假设 $c_1<c_2$，且 $V>0$ 固定。对 $0\le v\le V$，令 $c(v)=[c_1(V-v)+c_2v]/V$。用代数证明该函数是单射且值域恰为 $[c_1,c_2]$，求其反函数，并解释端点。

1.8 详解

解答 · 练习 1

1. $-5\le2x-3\le5$，因此 $-2\le2x\le8$，所以 $x\in[-1,4]$。

解答 · 练习 2

2. 平方根要求 $x\le4$，分母要求 $x\ne-1,1$。定义域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,4]$。

解答 · 练习 3

3. 解必须满足 $x\ge0$。平方得到 $2x+3=x^2$，即 $(x-3)(x+1)=0$。候选值为 $3$ 和 $-1$；只有 $3$ 非负，且 $\sqrt9=3$。故解为 $x=3$。

解答 · 练习 4

4. 商为负当且仅当分子、分母异号，即 $-3<x<2$。两个端点都不允许：在 $-3$ 商为零，在 $2$ 商无定义。

解答 · 练习 5

5. $(g\circ f)(x)=\sqrt{1/(x-1)+2}=\sqrt{(2x-1)/(x-1)}$。要求 $x\ne1$ 且 $(2x-1)/(x-1)\ge0$；符号表给出 $(-\infty,1/2]\cup(1,\infty)$。反过来，$(f\circ g)(x)=1/(\sqrt{x+2}-1)$，要求 $x\ge-2$ 且 $x\ne-1$，定义域为 $[-2,-1)\cup(-1,\infty)$。

解答 · 练习 6

6. 输出相等给出 $x_1(x_2+3)=x_2(x_1+3)$，故 $3x_1=3x_2$。当 $x\ge0$，$F(x)=2-6/(x+3)$ 落在 $[0,2)$。对任意 $y\in[0,2)$，解得 $x=3y/(2-y)\ge0$，所以该区间每个值都能取到。因此 $F^{-1}(y)=3y/(2-y)$ 定义在 $[0,2)$ 上。

解答 · 练习 7

7. $e^{-0.2t}=1/4$，故 $t=\ln4/0.2=5\ln4$ 小时。系数单位为 h$^{-1}$，它与 $t$ 的乘积无单位。

解答 · 练习 8

8. 若 $v$ 为 $10$ g/L 溶液的体积，则 $4(15-v)+10v=8(15)$。故 $6v=60$，$v=10$ L，另一种为 $5$ L。任何允许的混合浓度都是 $4$ 和 $10$ 的加权平均，不可能为 $12$。

解答 · 练习 9

9. 除法假设 $x\ne0$，丢失了真正的解 $x=0$。正确分类为 $x=0$，或在 $x\ne0$ 时 $x-2=0$。有理式约分只在 $x\ne2$ 有效，因为分子、分母都除以 $x-2$。在 $3$ 该因子非零；在 $2$ 原分式除以零，虽然化简公式的值为 $4$。

解答 · 练习 10

10. 写成 $c(v)=c_1+(c_2-c_1)v/V$。若 $c(v_1)=c(v_2)$，则 $(c_2-c_1)(v_1-v_2)/V=0$；系数非零，所以 $v_1=v_2$。当 $v\in[0,V]$，比例 $v/V$ 属于 $[0,1]$，故 $c(v)\in[c_1,c_2]$。反过来，当 $c\in[c_1,c_2]$，$v=V(c-c_1)/(c_2-c_1)$ 属于 $[0,V]$ 且产生该浓度，故这是反函数。端点分别表示只用第一种或只用第二种溶液。

从图像读取模型定义域

图像有输入轴和输出轴，每条轴都需要标明自身单位或无量纲比值。读取高度之前，先判断对应的水平输入是否属于模型定义域。虚线延伸可以展示代数公式在该定义域外给出的值，但不表示这些值在科学上允许。绘图窗口的边缘不自动成为数学定义域的端点。

对于水平容差边界，先找出允许曲线中位于所要求一侧的部分，再用公式和严格或非严格的比较论证交点及其是否包含。这样可以避免把图上近似交点当成精确测量事实。第 3 章图像专题 G1中的受限抛物线分别展示了三个集合：代数曲线、操作定义域以及满足容差的输入。

总结

• 函数不仅是公式，还包括定义域；化简与复合后仍须保留定义域限制。
• 说明使方程变形可逆的假设；平方后检查候选值。
• 原函数为单射时，反函数定义在其值域上；它不是倒数。
• 指数模型要求指数无量纲；对数只在正数输入上求其逆。
• 科学问题中允许的答案必须同时满足方程和模型约束。

知识联系。 区间和符号推理支持三角函数的定义域及后续极限；复合与反函数支持对数和反三角函数的法则；守恒方程通向线性方程组与矩阵表示。