线性平衡与矩阵准备

动机

本章假设你掌握方程、分数以及第 2 章的向量和点积。我们通过科学平衡为后续线性代数搭建桥梁。你将把多个守恒方程写成矩阵系统，用可逆行变换求解，描述所有自由选择，并在物理定义域中解释唯一解。三维坐标扩展此前的平面几何。

以下计算是数学平衡模型，其假设包括相容单位和精确守恒。符号化学配平是原子计数恒等式。

4.1 三维坐标与平面

选读：空间几何。 三维向量、平面与投影扩展坐标概念。练习 1–2 和 8 探索这一联系。

向量 $v=(v_1,v_2,v_3)^T$ 的点积为 $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$，范数为 $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$。经过点 $a$、具有非零法向量 $n$ 的平面由

$$n\cdot(x-a)=0.$$

描述。法向量与平面内每个位移垂直。直线方程为 $x=a+td$，其中 $d\ne0$。代入平面方程产生一个关于 $t$ 的标量条件。

例题

例 1：直线与平面相交。 设 $x=(1,0,2)^T+t(1,2,-1)^T$，平面为 $x_1+x_2+x_3=6$。代入得 $3+2t=6$，故 $t=3/2$，交点为 $(5/2,3,1/2)^T$，其坐标之和为六。若方向与法向量的点积为零，则依起点不同，要么没有交点，要么整条直线位于平面上。

在三维中，投影到非零方向 $u$ 的向量仍为 $(v\cdot u)u/(u\cdot u)$。直接展开可知残差与 $u$ 的点积为零。分母保证重新缩放方向不改变几何投影。

4.2 矩阵组织系数

矩阵与方程组。 第 4.2–4.4 节发展矩阵运算和基本系统。下面的求和符号表示对所有列指标相应的乘积求和；第 5.1 节详细解释该记号。

定义

具有 $m$ 行和 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 的大小为 $m\times n$。矩阵乘向量是

$$(Ax)_i=\sum_{j=1}^na_{ij}x_j.$$

因此 $Ax=b$ 表示 $n$ 个未知数的 $m$ 个联立线性方程。每列记录一个未知数对所有平衡的贡献；每行记录一个平衡。大小相同的矩阵逐项相加。对 $m\times n$ 矩阵和 $n\times p$ 矩阵，$(AB)_{ij}=\sum_ka_{ik}b_{kj}$，结果大小为 $m\times p$。

例题

例 2：同时处理两个样本。 传感器模型为 $y=Ax$，其中 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$。对输入列 $(1,3)^T$ 和 $(2,0)^T$，将其放入 $X=\begin{pmatrix}1&2\\3&0\end{pmatrix}$，则

$$AX=\begin{pmatrix}7&2\\5&4\end{pmatrix}.$$

每个输出列对应相应样本。逐项相乘不能表示这一合并的传感器规则。

转置 $A^T$ 交换行列。单位矩阵 $I$ 的对角元素为一，其余为零。乘法一般依赖次序；在另一个变换之后应用的变换写在左侧。检查元素之前必须先检查大小。

4.3 可逆消元与自由变量

命题

将系统存入增广矩阵 $[A\mid b]$。交换两行、将一行乘以非零标量、将一行的倍数加到另一行，都保持所有解。原因是可逆：撤销交换、乘以倒数或减去所加倍数即可。乘以零没有逆，不被允许。

消去非零首项或主元下方的元素，然后在剩余行中继续向右。回代恢复受约束变量。在相容系统中，没有主元的列对应自由变量。系数全零但右端非零的行不可能成立；完全为零的行不施加条件。

例题

例 3：三种浓度。 假设 $u,v,w$ 升溶液浓度分别为每升 $1,3,5$ 质量单位，混成浓度为三的 $10$ 升溶液，另要求 $v=2u$。体积与质量平衡给出

$$u+v+w=10,\qquad u+3v+5w=30,\qquad v-2u=0.$$

使用 $v=2u$ 得 $3u+w=10$ 和 $7u+5w=30$。第二式减第一式五倍：$-8u=-20$。故 $u=5/2$、$v=5$、$w=5/2$。体积非负、总和为十，溶质质量为 $5/2+15+25/2=30$。不满足非负条件的代数解不是有效混合解。

例题

例 4：无穷多解，不是任取一个答案。 对 $x+y+z=4$、$2x+2y+2z=8$，第二式冗余。取 $y=s,z=t$，得到全部解 $(4-s-t,s,t)^T$。将两个自由变量设为零只得到一个成员，不是完整答案。若三量均须非负，还要求 $s,t\ge0$ 和 $s+t\le4$。

4.4 逆矩阵与行列式准备

证明

对方阵，逆矩阵满足 $A^{-1}A=AA^{-1}=I$，于是 $Ax=b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$。逆矩阵唯一：若 $B,C$ 都是逆，则 $B=B(AC)=(BA)C=C$。

命题

对 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，行列式满足 $ad-bc\ne0$ 时有

$$A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

常见错误

直接相乘可证明恒等式。行列式为零不意味着每个右端都不可能；它意味着系数矩阵不能对每个右端都提供唯一解。此时消元区分不相容与冗余。

例题

例 5：反演校准表。 在例 2 中，$A$ 的行列式为 $-3$，故 $A^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}$。对观测列 $(7,5)^T$，恢复输入为 $(1,3)^T$。乘以原表可检验恢复结果。测量误差和近似求逆需要额外的数值分析；精确代数本身不量化它们。

证明细节：矩阵复合、消元与二阶逆矩阵

对选读的空间部分，采用基本欧氏距离及勾股定理（含逆定理）。对 $u,v\in\mathbb R^3$，直接按坐标展开得

$$\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2(u\cdot v).$$

当 $u,v$ 非零，勾股定理及其逆定理将 $u\cdot v=0$ 准确对应于直角；由定义，零向量与每个向量的点积为零。若 $u\ne0$ 且 $p=(v\cdot u)u/(u\cdot u)$，则 $u\cdot u=\|u\|^2>0$，并且

$$(v-p)\cdot u=v\cdot u-\frac{v\cdot u}{u\cdot u}(u\cdot u)=0.$$

分量 $p$ 位于 $u$ 的方向直线上。它也唯一，因为任一满足 $w\cdot u=0$ 的分解 $v=tu+w$ 都强制 $t=(v\cdot u)/(u\cdot u)$。这给出三维投影和法向量平面的解释，而不只是与平面的类比。

使用实数数值元素，维数有限且为正，每个所写乘积的尺寸相容。由行乘列定义，对 $A\in\mathbb R^{m\times n}$、$B\in\mathbb R^{n\times p}$、$x\in\mathbb R^p$，

$$(A(Bx))_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\sum_{k=1}^p b_{jk}x_k =\sum_{k=1}^p\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}\right)x_k=((AB)x)_i.$$

分配律及有限实数和的换序证明每个等号。对每一列作同样计算，得到尺寸相容时 $(AB)C=A(BC)$；由对角定义，取适当尺寸的单位矩阵有 $Ix=x$、$IA=AI=A$。因此若 $D$ 是方阵 $A$ 的双侧逆，则 $A(Db)=(AD)b=b$ 给出一个解；任意解都满足 $x=(DA)x=D(Ax)=Db$。这同时证明存在性与唯一性，而非只给候选值。

消元时，行操作作用于整个增广行。每一步在当前系数列的剩余行中选择非零元素，交换其行至当前行，并用非零主元消去下方元素；若当前剩余系数列全零，则跳过该列。每个主元消耗一行和一列，因此有限步骤后得到阶梯形。系数全零而右端非零的行排除所有解；否则，任意指定没有主元的系数变量的实值。从最后一个主元行开始，除以非零主元确定该主元变量，再向上回代。每个自由选择都由此构造一个解，而且每个主元变量唯一确定。反过来，任何解都提供这些自由选择，且必须遵循相同回代。因为第 4.3 节的每个行操作都有已说明的逆，所得恰为原方程组的全部解。增广右端列不是未知变量列。

对 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，令 $\Delta=ad-bc$、$D=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$。分别从两侧相乘得

$$AD=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-cb+da\end{pmatrix}=\Delta I_2, \qquad DA=\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}=\Delta I_2.$$

若 $\Delta\ne0$，除以此非零实标量，证明 $D/\Delta$ 就是第 4.4 节的逆矩阵。若 $\Delta=0$ 且第一行 $(a,b)$ 非零，则非零列 $v=(-b,a)^T$ 满足 $Av=(0,\Delta)^T=0$。若该行全零但 $(c,d)\ne(0,0)$，取 $v=(-d,c)^T$；若 $A=0$，取 $v=(1,0)^T$。因此每个零行列式情形都有 $v\ne0$ 使 $Av=0$。只要 $Ax=b$ 有一个解 $x$，对全部 $t\in\mathbb R$，$x+tv$ 也是解，故不唯一；其他右端则可能不相容。这证明所述区别，而非只从一个奇异特例推论。

4.5 齐次守恒与整数系数

应用：原子计数。 此例与练习 9 应用基本齐次系统。

齐次系统形如 $Ax=0$，总有零解。非零平衡可以缩放：若 $Ax=0$，则 $A(cx)=cAx=0$。物理计数解释可能要求正整数，而不是任意实数倍数。

例题

例 6：原子计数平衡。 写代数恒等式

$$a\,\mathrm{C_2H_6}+b\,\mathrm{O_2}\longrightarrow c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}.$$

计算碳、氢、氧给出 $2a=c$、$6a=2d$ 和 $2b=2c+d$。因此 $c=2a$、$d=3a$、$b=7a/2$。最小正整数选择为 $a=2$，给出系数 $(2,7,4,6)$。零向量也满足齐次方程，但不是有意义的非零计数恒等式。将上述正系数解整体乘以负数，仍满足齐次方程，但所得负系数不符合正计数约定。

此例说明如何按解释筛选齐次解族。实数求解和选择整数规范化是不同步骤。

4.6 分级练习

基础

思考检查

练习 1

1. 求 $(2,-1,2)^T$ 的长度及其与 $(1,2,0)^T$ 的点积。

思考检查

练习 2

2. 写出经过 $(1,0,2)^T$、法向量为 $(2,-1,1)^T$ 的平面的法向量方程。

思考检查

练习 3

3. 对 $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ 计算 $A(2,1)^T$。

核心

思考检查

练习 4

4. 解 $x+y+z=6$、$x-y+z=2$、$x+y-z=0$。

思考检查

练习 5

5. 描述 $x+2y+z=5$、$2x+4y+2z=10$ 的所有实解，再给出变量非负所需的额外不等式。

思考检查

练习 6

6. 判断 $x+y=3$、$2x+2y=7$ 是否相容，并指出证明该结论的可逆操作。

思考检查

练习 7

7. 求 $\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$ 的逆矩阵，并解 $Ax=(5,8)^T$。

思考检查

练习 8

8. 求直线 $x=(0,1,0)^T+t(1,1,1)^T$ 与平面 $x_1+x_2+x_3=7$ 的交点。

综合

思考检查

练习 9

9. 求原子计数恒等式 $a\,\mathrm{H_2}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{H_2O}$ 的最小正整数系数，先写出齐次约束。

思考检查

练习 10

10. 设方阵 $A$ 有逆，证明两个不同输入向量不能给出相同输出。解释为什么这本身不能说明恢复的输入是否非负。

4.7 完整解答

解答 · 练习 1

1. 长度为 $\sqrt{4+1+4}=3$，点积为 $2-2+0=0$。

解答 · 练习 2

2. 平面方程为 $2(x_1-1)-x_2+(x_3-2)=0$，即 $2x_1-x_2+x_3=4$。

解答 · 练习 3

3. 输出为 $(6+1,2+2)^T=(7,4)^T$。

解答 · 练习 4

4. 第一式减第二式得 $2y=4$，故 $y=2$。第一式减第三式得 $2z=6$，故 $z=3$。第一式继而给出 $x=1$，所有原方程均可检验。

解答 · 练习 5

5. 第二式冗余。令 $y=s,z=t$，得到 $(x,y,z)=(5-2s-t,s,t)$。非负性要求 $s\ge0,t\ge0,2s+t\le5$。

解答 · 练习 6

6. 对增广矩阵使用 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，结果为 $0=1$，证明不相容。

解答 · 练习 7

7. 行列式为 $3-4=-1$，故逆为 $\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}$。它与 $(5,8)^T$ 的乘积为 $(1,2)^T$，该输入给出原输出 $(5,8)^T$。

解答 · 练习 8

8. 代入得 $t+(1+t)+t=7$，故 $t=2$，点为 $(2,3,2)^T$。

解答 · 练习 9

9. 氢给出 $2a=2c$，氧给出 $2b=c$。因此 $a=c=2b$。最小正整数选择为 $(a,b,c)=(2,1,2)$。这些是符号化原子计数。

解答 · 练习 10

10. 若 $Au=Av$，则 $A(u-v)=0$。乘以 $A^{-1}$ 得 $u-v=0$，故 $u=v$。这确立实向量上的唯一性，却不限制其符号；例如 $A=I$ 从同一负输出唯一恢复负输入，就像恢复正输入一样。

矩阵推理练习：运算、主元与解释

矩阵计算应回答明确的建模问题。算术运算之前，先辨认哪些元素是系数、矩阵作用于哪一列未知量，以及一个输出分量的含义。若原方程使用不同单位，先用各自指定的单位表示每个测量量的数值，并将每条平衡式按其自身单位归一化。行变换随后组合的是数值等式；它不是要求不经转换便将不同物理量相加。当体积平衡和质量平衡出现在同一增广矩阵中时，这一区别尤其重要。

尺寸匹配不意味着次序可互换

例题

令

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.$$

两个乘积都存在且都是二阶方阵，但直接按行乘列得到

$$AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

对输入列向量 $e_1=(1,0)^T$，先应用 $B$ 再应用 $A$ 得 $(2,1)^T$；先应用 $A$ 再应用 $B$ 则得 $(1,1)^T$。这一个经检验的反例否定了普遍交换的说法。正确的复合规则把最后进行的变换放在左边。尺寸检查是矩阵相乘的必要条件，但不能证明次序不同的两个乘积相等。

看清三条平衡式中的每个可逆步骤

例题

回到第 4.3 节的浓度平衡。用 $u,v,w$ 表示以升计的体积数值。将平衡式按所述数值单位表示后，增广矩阵为

$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&10\\1&3&5&30\\-2&1&0&0\end{array}\right].$$

进行 $R_2\leftarrow R_2-R_1$ 和 $R_3\leftarrow R_3+2R_1$，然后将第二行除以非零数二，得到

$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&10\\0&1&2&10\\0&3&2&20\end{array}\right].$$

再用 $R_3\leftarrow R_3-3R_2$ 得到最后一行 $(0,0,-4\mid-10)$，因此 $w=5/2$。回代得 $v+2w=10$，故 $v=5$；再由 $u+v+w=10$ 得 $u=5/2$。三列各有一个主元，没有可自由选择的未知量。每个操作都有明确的逆：加回被减去的倍数，或乘以二。因此该过程保留完整解集，而不只是找到了恰好可用的候选解。

代数答案仍须解释。这三个体积非负、总和为十升、满足额外的比例约束，也产生所需的质量。检查所有原始平衡式，可发现整齐的最终三角矩阵无法发现的抄写错误。若代数答案有负分量，可逆消元仍可能正确，但所提混合方案不可行。实数列向量解的唯一性和物理混合物的可行性是不同结论。

行列式为零需要分类讨论，而不是猜测

考虑同一系数矩阵与两个不同右端：

$$C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix},\qquad d=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}.$$

$C$ 的行列式为零。在方程组 $Cx=b$ 中，第二行减去第一行的两倍得到恒等式 $0=0$，不提供新限制。令第二个未知量为 $t$，得到全部解 $(3-2t,t)^T$，其中 $t\in\mathbb R$。若要求未知量非负，还须限制 $0\le t\le3/2$。不受限制的解直线与可行线段并不是同一个集合。

在方程组 $Cx=d$ 中，同样的行变换得到 $0=1$。没有实输入能满足这一等式，因此方程组不相容。两个问题的系数行列式相同，单靠它不能区分解集。几何上，第一组方程将同一条直线写了两次；第二组则描述不同的平行线。相反，二阶系数矩阵行列式非零时，对每个右端都有唯一交点，第 4.4 节的逆矩阵公式证明了这一点。

常见错误

系数侧出现零行还不能作出判断，也要检查右端：整个增广行均为零表示冗余；系数行全零而右端非零则表示矛盾。对于相容方程组，辨认自由未知量，并用它们表示每个主元未知量；将所有自由量设为零只得到一个成员，不能描述完整解集。物理不等式须在求出代数解族后才用于筛选。

总结

坐标将直线和平面转化为标量方程。矩阵收集联立平衡，可逆消元保持所有解。自由参数描述解族，而非任意单个成员。逆矩阵证明方阵系统的唯一性。科学解释随后施加非负、整数、量纲或容量等额外约束。