恒等式、不等式与数学归纳法

动机

本章需要代数展开、符号推理、基本三角学和第 5 章的记号。我们研究计算背后的逻辑：确定要证明什么、记录每步所需假设，并找出等号条件。你应学会验证恒等式和简单不等式，以及用归纳法证明关于每个正整数的陈述。

测试几个数值可以发现错误，却不能证明全称陈述。证明必须解释为什么覆盖所述定义域内每个值，包括边界与例外情况。

7.1 恒等式、方程、蕴含与等价

定义

定义域上的恒等式是在该定义域每个输入处成立的等式。待解方程则询问允许的哪些输入使等式成立。例如

(x+1)^2=x^2+2x+1

对所有实数 $x$ 是恒等式，而 $(x+1)^2=9$ 只有两个实数解。单凭等号无法确定所求任务。

陈述 $P\implies Q$ 表示 $P$ 保证 $Q$ ，反命题未必成立。例如 $x=2\implies x^2=4$ ，但 $x^2=4$ 也允许 $x=-2$ 。记号 $P\iff Q$ 表示两个方向都成立。在代数中，可逆变换在所述定义域上确立等价；平方或除以可能为零的量未必可逆。

验证有理恒等式时，先说明原来两边都有定义的地方。化简表达式的自然定义域可能更大，但化简不会自动扩大原陈述。

例题

例 1：带空点的有理恒等式。 验证

\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.

左边要求 $x\ne2$ 。对每个这样的 $x$ ，因式分解并除以非零因子 $x-2$ 即可证明。 $x=2$ 时左边无定义，故这是 $\mathbb R\setminus\{2\}$ 上的恒等式，而不是两个自然定义域函数在所有实数上相等。

例题

例 2：三角函数定义域。 在两边的共同定义域上，

\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} =\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.

右边要求 $\sin\theta\ne0$ ，即 $\theta\notin\pi\mathbb Z$ 。在此定义域中 $\cos\theta\ne-1$ ，故左边分母也非零。此处 $\cos\theta\ne1$ ，可以将左边乘以 $(1-\cos\theta)/(1-\cos\theta)$ 。于是

\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{1-\cos^2\theta} =\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\sin^2\theta} =\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.

在 $\theta=0$ ，单独的左边等于零，右边无定义。该恒等式并不声称两边自然定义域相同。分母有理化时若不检查新增因子，可能掩盖这个区别。

有用的证明格式是通过附有条件的恒等式将一边变成另一边；也可将两边相减并证明差为零。从目标等式开始也可以，但每一步必须明确等价，且最终落在已确立的真命题上；仅以另一种形式重复目标等式不是证明。

7.2 不等式来自非负量

命题

对实数 $t$ ， $t^2\ge0$ ，且等号当且仅当 $t=0$ 时成立。因此

(a-b)^2\ge0\quad\implies\quad a^2+b^2\ge2ab \qquad(a,b\in\mathbb R),

等号当且仅当 $a=b$ 时成立。这是一般不等式，不声称 $a,b$ 为正。

命题

对非负 $u,v$ ，代入 $a=\sqrt u$ 、 $b=\sqrt v$ ，得到

\frac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv},

等号当且仅当 $u=v$ 时成立。这是两个数的算术–几何平均不等式，平方根要求 $u,v\ge0$ 。不能将此公式推广到任意实数 $u,v$ 。

例题

例 3：正数倒数界。 若 $x>0$ ，由 $(x-1)^2\ge0$ 得 $x^2+1\ge2x$ 。除以正数 $x$ 得

x+\frac1x\ge2,

等号只在 $x=1$ 成立。若 $x<0$ ，除法使不等号反向，得到 $x+1/x\le2$ ；更强的负半轴界为 $x+1/x\le-2$ ，可对 $-x$ 应用正数结果得到。在 $x=0$ 表达式无定义。符号假设是定理的一部分。

例题

例 4：约束乘积。 假设 $u,v\ge0$ 且 $u+v=10$ 。由 $(u-v)^2\ge0$ 得

100=(u+v)^2=(u-v)^2+4uv\ge4uv.

故 $uv\le25$ ，等号当且仅当 $u=v=5$ 时成立。这确定最大值且表明它在允许的定义域内取得；并不声称改变总和或非负限制后最大值不变。

一种系统策略是将目标不等式写成“非负表达式 $\ge0$ ”。对 $x\ge0$ ，

x-\frac{x}{1+x}=\frac{x^2}{1+x}\ge0,

因为分子非负且分母为正，所以 $0\le x/(1+x)\le x$ 。上界等号当且仅当 $x=0$ 时成立。对 $x<-1$ ，分母符号不同，不能不重新分析就照搬论证。

7.3 绝对值与二维不等式

证明

由定义， $-|a|\le a\le|a|$ 。对 $a$ 与 $b$ 的不等式相加得

-(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|.

因为 $|a|+|b|\ge0$ ，这等价于实数三角不等式

|a+b|\le|a|+|b|.

等号当且仅当 $ab\ge0$ 时成立，包括某个输入为零。直接检查可将两个非负边平方：平方差为 $2(|a||b|-ab)$ ，当且仅当 $ab\ge0$ 时为零。

对 $a=(a-b)+b$ 应用三角不等式得 $|a|-|b|\le|a-b|$ 。交换 $a,b$ 得另一侧，共同证明反三角不等式

\big||a|-|b|\big|\le|a-b|.

这些估计无需知道误差的符号即可比较误差。

例题

例 5：合并测量误差。 设理想和为 $s=u+v$ ，测量输入为 $\tilde u=u+e_1$ 、 $\tilde v=v+e_2$ ，且以共同单位计 $|e_1|\le0.03$ 、 $|e_2|\le0.05$ 。则

|(\tilde u+\tilde v)-s|=|e_1+e_2|\le0.08.

当误差同号且达到各自界时可取得该界。相消可能使实际误差更小，但不能保证。

对任意实数 $a,b,c,d$ ，展开给出

(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2\ge0.

两个平方根边均非负，故

|ac+bd|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.

等号当且仅当 $ad=bc$ 时成立，包括零向量。这是二维 Cauchy–Schwarz 不等式，为第 2 章的点积提供严谨上界，无需所有分量为正。

7.4 归纳法为什么覆盖无穷多个整数

设 $P(n)$ 是关于整数 $n\ge n_0$ 的陈述， $n_0$ 固定。数学归纳法说明：

证明基础情形 $P(n_0)$ 。
对任意整数 $k\ge n_0$ ，假设 $P(k)$ ，并证明 $P(k+1)$ 。
得出对每个整数 $n\ge n_0$ 都有 $P(n)$ 。

第 2 步的假设是归纳假设，它是条件性的，不是预先假设最终定理成立。基础情形启动链条，蕴含则将任意有效一环延伸到下一环。

可用非负整数的最小元素性质说明：若有反例，则存在最小反例 $m\ge n_0$ 。基础情形排除 $n_0$ ，于是 $m-1\ge n_0$ 不是反例，归纳步骤迫使 $P(m)$ 成立，矛盾。

常见错误

检查前一百个值只给出一百个事实，不是归纳步骤。只有归纳步骤而没有基础情形，只得到蕴含，没有起始真命题。用 $P(k+1)$ 来证明它本身是循环论证，不是归纳步骤。

7.5 用归纳法证明恒等式、整除性与不等式

例题

例 6：平方和。 对每个整数 $n\ge1$ ，

\sum_{j=1}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

当 $n=1$ 两边均为一。假设公式对任意 $k\ge1$ 成立，分出新项得

\begin{aligned} \sum_{j=1}^{k+1}j^2 &=\frac{k(k+1)(2k+1)}6+(k+1)^2\\ &=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}\\ &=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}6. \end{aligned}

这恰是 $n=k+1$ 时的公式，归纳原理证明所有正整数情形。 $j$ 是求和指标， $k$ 是当前端点；区分两者作用可避免歧义。

例题

例 7：整除性。 对每个整数 $n\ge0$ ， $7^n-1$ 被六整除。零处表达式为零，等于 $6\cdot0$ 。假设对整数 $m$ 有 $7^k-1=6m$ ，则

7^{k+1}-1=7(7^k-1)+6=6(7m+1),

因为 $7m+1$ 是整数，所以被六整除，结论得证。整除表示整数倍；未经验证的小数近似无关。

例题

例 8：Bernoulli 不等式。 对每个实数 $h\ge-1$ 和整数 $n\ge1$ ，

(1+h)^n\ge1+nh.

固定这样的 $h$ 。基础情形 $n=1$ 是等式。假设在 $k\ge1$ 成立。由于 $1+h\ge0$ ，乘法保持不等号方向：

(1+h)^{k+1}\ge(1+kh)(1+h) =1+(k+1)h+kh^2\ge1+(k+1)h.

最后一步使用 $k\ge1$ 和 $h^2\ge0$ 。归纳完成证明。当 $n=1$ ，所有 $h$ 都取等；当 $n\ge2$ ，当且仅当 $h=0$ 时取等，因为非零 $h$ 使到任意至少为二的指数的步骤中所示 $kh^2$ 项严格为正。边界 $h=-1$ 允许：其正次幂为零，右边 $1-n\le0$ 。

此例说明乘以归纳不等式之前必须说明符号假设。若 $h<-1$ ，乘数为负，同一步骤无效；事实上 $h=-4,n=3$ 时命题失败，左边为 $(-3)^3=-27$ ，右边为 $1-12=-11$ 。所提反例本身也必须检查。

7.6 递推与故意构造的错误命题

对递推式，检查初值和递推关系即可证明显式公式，这是自然形式的归纳法。

例题

例 9：累积奇数增量。 对整数 $n\ge0$ ，令 $x_0=0$ 、 $x_{n+1}=x_n+2n+1$ 。声称 $x_n=n^2$ 。零处成立；若 $x_k=k^2$ ，则

x_{k+1}=k^2+2k+1=(k+1)^2.

因此公式对所有允许指标成立。奇数增量产生了平方总量，但仅匹配前两个值不能推出该公式。

归纳法证明具体命题，不是模糊的视觉模式。若有人声称对所有 $n\ge1$ 有 $2^n\ge n^2$ ，基础情形 $n=1$ 成立，但 $n=3$ 失败： $8<9$ 。修正后的命题对所有整数 $n\ge4$ 成立，四处取等。对 $k\ge4$ ，

2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2>0.

假设 $2^k\ge k^2$ ，得 $2^{k+1}\ge2k^2\ge(k+1)^2$ 。较晚的基础情形与步骤现在匹配；不能由此声称遗漏的小指标也成立。

某些递推中，证明 $k+1$ 时可假设从基础情形到 $k$ 的所有陈述。这是强归纳法，有相同的最小反例论证。上面的单步证明无需加强，但这说明某些归纳假设可以合法地包含多个早期情形。

7.7 分级练习

基础

思考检查

练习 1

写出共同实数定义域并验证 $(x^2-1)/(x+1)=x-1$ 。

思考检查

练习 2

$\sqrt{x^2}=x$ 是实数 $x$ 上的恒等式吗？给出正确恒等式和所提公式的反例。

思考检查

练习 3

对实数 $a,b$ 证明 $a^2+4b^2\ge4ab$ ，给出所有等号情形。

思考检查

练习 4

学生在 $n=0,1,2$ 处检验 $n^2+n+41$ ，声称对每个非负整数 $n$ 它都是素数。解释论证为什么不足，并在 $n=41$ 处找出合数值。

核心

思考检查

练习 5

对 $x>0$ 证明 $(x+2)^2/x\ge8$ 并确定等号条件。

思考检查

练习 6

对 $0\le t\le1$ 证明 $t(1-t)\le1/4$ 并给出等号条件。

思考检查

练习 7

对实数 $a,b$ 证明 $|a-b|\le|a|+|b|$ ，并给出等号条件。

思考检查

练习 8

写出精确定义域，并在其上验证 $(1-\cos2\theta)/\sin2\theta=\tan\theta$ 。

思考检查

练习 9

对整数 $n\ge1$ 用归纳法证明 $\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=n^2$ 。

思考检查

练习 10

对所有整数 $n\ge0$ 用归纳法证明 $3^n-1$ 为偶数。

思考检查

练习 11

对整数 $n\ge1$ 用归纳法证明 $n!\ge2^{n-1}$ ，并准确确定等号成立的情形。

思考检查

练习 12

设 $a_0=2$ 、 $a_{n+1}=3a_n+1$ 。证明对每个整数 $n\ge0$ ， $a_n=(5\cdot3^n-1)/2$ 。

综合

思考检查

练习 13

对 $a,b>0$ 证明 $(a+b)(1/a+1/b)\ge4$ 并确定等号条件，说明每个除法条件。

思考检查

练习 14

对实数 $a\le x\le b$ ，证明 $x^2\le(a+b)x-ab$ 。给出所有等号情形，包括 $a=b$ 。

思考检查

练习 15

对实数 $u,v$ ，使用恒等式或二维不等式证明 $(2u-v)^2\le5(u^2+v^2)$ ，并给出等号情形。

思考检查

练习 16

用归纳法证明所有整数 $n\ge1$ 满足 $2^n>n$ 。解释为什么此处乘以二是安全的。

思考检查

练习 17

一个所谓归纳法声称：“任何 $n$ 个读数的组都有相同值。单个读数是如此。证明 $n+1$ 时，先去掉第一个读数，再去掉最后一个；两个 $n$ 读数组重叠，所以它们的值相同。”指出重叠论证在哪一步失败。

思考检查

练习 18

使用 Bernoulli 不等式，给出一个明确尾部指标，证明对正整数 $n$ 有 $(3/4)^n\to0$ 。该指标必须确保误差严格小于给定的 $\varepsilon>0$ 。

7.8 完整解答

解答 · 练习 1

要求 $x\ne-1$ 。分解 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 并消去非零分母，在该定义域证明恒等式。在 $x=-1$ 原商无定义。

解答 · 练习 2

正确恒等式是对所有实数 $x$ 有 $\sqrt{x^2}=|x|$ 。当 $x=-2$ ，左边为二，所提右边为负二。原公式只在 $x\ge0$ 成立。

解答 · 练习 3

差为 $a^2+4b^2-4ab=(a-2b)^2\ge0$ 。等号当且仅当 $a=2b$ 时成立，包括 $a=b=0$ 。

解答 · 练习 4

有限次测试不能确立所有整数情形。当 $n=41$ ， $41^2+41+41=41(41+2)=41\cdot43$ 是两个大于一的整数之积，故为合数。

解答 · 练习 5

因为 $x>0$ ， $(x+2)^2/x-8=(x^2-4x+4)/x=(x-2)^2/x\ge0$ 。等号当且仅当 $x=2$ 时成立。

解答 · 练习 6

恒等式 $t(1-t)=1/4-(t-1/2)^2$ 给出界，等号当且仅当 $t=1/2$ 时成立。所述定义域也确保乘积非负；实际上仅上界对所有实数 $t$ 都成立。

解答 · 练习 7

对 $a+(-b)$ 应用三角不等式。等号当 $a(-b)\ge0$ ，即 $ab\le0$ ，包括任一值为零。

解答 · 练习 8

左边分母要求 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\ne0$ ，故 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 均非零，等价于 $\theta\notin(\pi/2)\mathbb Z$ ，也已保证正切有定义。使用 $1-\cos2\theta=2\sin^2\theta$ 并消去非零 $2\sin\theta$ ，得 $\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta$ 。正切单独在另外一些点也有定义，但不能扩大恒等式的共同定义域。

解答 · 练习 9

一处和为一。若到 $k$ 的和为 $k^2$ ，下一和为 $k^2+[2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2$ 。归纳得所有正整数情形。

解答 · 练习 10

零处表达式为零，是偶整数。若对整数 $m$ 有 $3^k-1=2m$ ，则 $3^{k+1}-1=3(3^k-1)+2=2(3m+1)$ 也是偶数，证明所有情形。

解答 · 练习 11

一处取等。若 $k!\ge2^{k-1}$ ，乘以 $k+1\ge2$ 得 $(k+1)!\ge(k+1)2^{k-1}\ge2^k$ 。等号在 $n=1$ 、 $n=2$ 成立。对每个 $n\ge3$ ，到该指数的最后一步使用 $k+1\ge3$ ，故严格；这两个是唯一等号情形。

解答 · 练习 12

零处公式给出 $(5-1)/2=2$ 。若在 $k$ 成立，则 $a_{k+1}=3(5\cdot3^k-1)/2+1=(5\cdot3^{k+1}-1)/2$ ，与所声称的下一项相符，完成证明。

解答 · 练习 13

正的 $a,b$ 保证 $ab>0$ 。展开并减四得 $(a+b)(1/a+1/b)-4=a/b+b/a-2=(a-b)^2/(ab)\ge0$ 。等号当且仅当 $a=b$ 时成立。

解答 · 练习 14

区间条件蕴含 $x-a\ge0$ 、 $b-x\ge0$ 。其乘积非负： $(x-a)(b-x)=(a+b)x-ab-x^2\ge0$ 。等号当且仅当 $x=a$ 或 $x=b$ 时成立。若 $a=b$ ，唯一允许点是共同端点，仍取等。

解答 · 练习 15

以所提右边减左边： $5(u^2+v^2)-(2u-v)^2=(u+2v)^2\ge0$ 。等号当且仅当 $u=-2v$ 时成立。也可对分量向量 $(u,v)$ 和 $(2,-1)$ 使用 Cauchy–Schwarz。

解答 · 练习 16

一处 $2>1$ 。若 $2^k>k$ ，乘以正数二得 $2^{k+1}>2k$ 。对 $k\ge1$ ， $2k\ge k+1$ ，故 $2^{k+1}>k+1$ 。乘数为正，因此不等号不反向。

解答 · 练习 17

从一个读数推到两个读数时，两个单读数组没有共同读数，因而没有依据使它们的值相同。论证需要重叠，却恰在第一次延伸时缺失；有效基础情形不能修复失败的归纳步骤。

解答 · 练习 18

因为 $4/3=1+1/3$ ，Bernoulli 不等式给出 $(4/3)^n\ge1+n/3$ 。取正倒数得 $(3/4)^n\le1/(1+n/3)$ 。取正整数 $N$ 满足 $N>3/\varepsilon$ 。对所有 $n\ge N$ ，有 $1/(1+n/3)<3/n\le3/N<\varepsilon$ 。这以明确但不尖锐的尾部阈值证明收敛。

总结

恒等式需要定义域，方程需要解集。可逆步骤只在运算允许处证明等价。平方、因式分解和绝对值估计给出具有明确等号条件的不等式。归纳法需要位置正确的基础情形，以及对任意后续整数有效的蕴含。它可验证公式、整除性、递推式与界，却不能使错误命题变真，也不能替代缺失的收敛论证。

联系。 第 5 章的有限公式是自然的归纳命题。Bernoulli 不等式支持第 6 章的几何数列极限。三角不等式与 Cauchy–Schwarz 不等式支持第 2、8 章的坐标与复数模的计算。第 9 章对数不等式仍需要注意符号的变换。

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恒等式、不等式与数学归纳法

动机

7.1 恒等式、方程、蕴含与等价

7.2 不等式来自非负量

7.3 绝对值与二维不等式

7.4 归纳法为什么覆盖无穷多个整数

7.5 用归纳法证明恒等式、整除性与不等式

7.6 递推与故意构造的错误命题

7.7 分级练习

基础

练习 1

练习 2

练习 3

练习 4

核心

练习 5

练习 6

练习 7

练习 8

练习 9

练习 10

练习 11

练习 12

综合

练习 13

练习 14

练习 15

练习 16

练习 17

练习 18

7.8 完整解答

总结

先备知识

本单元重点词汇

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