幂、对数与乘法尺度

动机

第 1 章介绍了正底指数函数、作为其逆函数的对数和衰减模型。本章补充其代数发展，而不重复该模型。你应能区分整数、有理数与实数次幂，说明幂和对数律的安全假设，求解基本指数及对数方程和不等式，并将重复因子误差要求转换为整数阈值。

关键是保持数系和定义域明确。对正底数及任意实指数有效的规律，未必对负底数仍然有效。对数化简不能产生非正数的实对数。

9.1 整数次幂与零的情况

对正整数 $n$，定义 $a^n$ 为实数 $a$ 的 $n$ 个因子相乘。对 $a\ne0$，规定 $a^0=1$、$a^{-n}=1/a^n$。通过分组和消去因子可得整数指数律：

$$a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}.$$

对非零实数 $a$，这些规律适用于所有整数 $m,n$。另外，对实数 $a,b\ne0$ 和整数 $n$，有 $(ab)^n=a^nb^n$ 和 $(a/b)^n=a^n/b^n$。当所有指数为正时可以弱化非零假设，但负指数或商需要时必须恢复它。

对零，当 $n$ 为正整数时 $0^n=0$。零的负次幂无定义，因为需要除以零。本章不定义 $0^0$。多项式的常数项是给定常数；在有限几何和中将它写成第零项，不需要对不定表达式 $0^0$ 作一般赋值。

例题

例 1：先整理再计算。 因为底数二非零，

$$\frac{2^{-3}2^5}{2^4}=2^{-3+5-4}=2^{-2}=\frac14.$$

带符号底数需要括号：$(-2)^4=16$，而 $-2^4=-(2^4)=-16$。后者的负号不是取幂底数的一部分。

9.2 有理数与实数次幂：正性何时重要

对 $a>0$ 和整数 $p,q$（$q>0$），将 $a^{p/q}$ 定义为 $a^p$ 的唯一正 $q$ 次根。等价分数得到相同定义。特别地 $a^{1/q}$ 为正，即使 $q$ 是偶数也是如此：此记号表示非负根函数，而不是方程的两个解。

对负底数，当 $q$ 为奇数时存在实数 $q$ 次根。在本章基本约定下，将有理指数 $p/q$ 写成 $q>0$ 的最简形式：若 $q$ 为奇数，定义 $a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^p$；若 $q$ 为偶数，表达式不是实数。此约定并未把负底数扩展为具有任意无理指数的实值函数。

例题

例 2：根与解集。 $16^{1/2}=4$，不是 $\pm4$。方程 $x^2=16$ 有两个解 $x=\pm4$。此外

$$(-8)^{1/3}=-2,\qquad (-8)^{2/3}=4.$$

但 $(-8)^{1/2}$ 不是实数。第 8 章可求对应的复数根方程，却不能因此对负底数使用所有实指数律。

命题

对正实底数 $a$，实数次幂 $a^x$ 对每个实指数 $x$ 有定义。我们使用与有理次幂一致的通常实指数扩展，以及规律

$$a^{x+y}=a^xa^y,\qquad (a^x)^y=a^{xy},\qquad (ab)^x=a^xb^x\quad(a,b>0).$$

下方的共享构造证明这些法则、连续性、$a\ne1$ 时的严格单调性及正数值域。先构造指数，再定义逆对数；公式 $a^x=\exp(x\ln a)$ 因而是结论，不是循环前提。

共享基础：不循环依赖对数的正底数的实数次幂

基础约定。 将实数视为完备有序域，并使用非负整数归纳法。基本语言为有限代数、绝对值及数列极限定义。本构造不预设对数、实指数函数、导数、积分或复数幂律，也不定义负底数的无理次幂。构造完成后可选通常的常数 $e>1$ 为底数；这里的代数不需要 $e$ 的微分刻画。

1. 整数界、有理逼近与正根。 正整数无上界：若其上确界为 $s$，必有整数大于 $s-1$，其后继就大于 $s$，矛盾。因此有阿基米德性质。对每个实数 $x$，足够大的正、负整数夹住 $x$，其中有限整数列表有不超过 $x$ 的最大成员，故下取整存在。因此 $r_n=\lfloor nx\rfloor/n$ 满足 $r_n\le x<r_n+1/n$。对不同实数 $u<v$，选 $1/n<v-u$，则 $(\lfloor nu\rfloor+1)/n$ 严格位于两者之间。这些事实来自完备性和整数次序，不使用指数函数。

在完备有序实数域中，对 $b>0$ 和整数 $m\ge1$，令 $S=\{t\ge0:t^m\le b\}$。它包含 $\min\{1,b\}>0$，且以 $\max\{1,b\}$ 为上界，故存在 $r=\sup S>0$。有限因式分解给出：对非负的 $t,r\le M$，

$$t^m-r^m=(t-r)\sum_{j=0}^{m-1}t^{m-1-j}r^j,\qquad |t^m-r^m|\le mM^{m-1}|t-r|.$$

取 $M=r+1$。若 $r^m<b$，选 $0<h<1$ 使 $mM^{m-1}h<b-r^m$，则 $(r+h)^m<b$，与上界 $r$ 矛盾。若 $r^m>b$，选 $0<h<\min\{1,r\}$ 使 $mM^{m-1}h<r^m-b$，则 $(r-h)^m>b$；由非负数整数幂的单调性，$r-h$ 是 $S$ 的上界，与上确界矛盾。因此 $r^m=b$。当 $b=0$，唯一非负根为零。同一因式分解说明 $t>s\ge0$ 时 $t^m>s^m$，故正根唯一。

2. 有理次幂及其法则。 对 $a>0$，以 $a^p$ 的正 $q$ 次根定义 $a^{p/q}$，其中 $p\in\mathbb Z$、$q\ge1$，负整数幂使用倒数。若 $p/q=p'/q'$，将两个正候选值均取 $qq'$ 次幂，得相同值 $a^{pq'}=a^{p'q}$；由正根唯一性，定义不依赖分数表示。将有理指数通分，所有幂都可写为同一正根的整数幂，整数分组法则便给出对有理 $r,s$ 的 $a^{r+s}=a^ra^s$、$a^{-r}=1/a^r$。同样，对整数乘积应用正根唯一性，得到 $a,b>0$、有理 $r$ 时 $(ab)^r=a^rb^r$：若 $r=p/q$，正数 $a^rb^r$ 的 $q$ 次幂为 $a^pb^p=(ab)^p$，因此就是定义中的正根。

当 $a>1$，正有理次幂大于一，所以 $a^r$ 在有理指数上严格递增。归纳证明伯努利不等式 $(1+d)^n\ge1+nd$（$d\ge0$）：乘以 $1+d$ 时，比下一步所需下界多出非负项 $nd^2$。令 $d=a^{1/n}-1\ge0$，得

$$1\le a^{1/n}\le1+\frac{a-1}{n}.$$

故 $a^{1/n}\to1$，且对有理 $|h|\le1/n$，有 $a^{-1/n}\le a^h\le a^{1/n}$。

3. 上确界延拓与加法法则。 对 $a>1$ 和实数 $x$，定义

$$E_a(x)=\sup\{a^r:r\in\mathbb Q,\ r\le x\}.$$

选整数 $M\le x<N$，则 $a^M$ 属于该集合，$a^N$ 是上界。因此上确界存在且至少为 $a^M>0$；这并非声称定义集合的全部成员有正下界。有理 $x$ 时，它等于有理幂 $a^x$。令 $r_n=\lfloor nx\rfloor/n$、$v_n=a^{1/n}$，有理指数的单调性给出

$$a^{r_n}\le E_a(x)\le a^{r_n}v_n.$$

整数 $N>x$ 给出 $a^{r_n}\le a^N$，所以 $0\le E_a(x)-a^{r_n}\le a^N(v_n-1)\to0$，即 $a^{r_n}\to E_a(x)$。对实数 $x,y$，令 $t_n=r_n(x)+r_n(y)$，则 $t_n\le x+y<t_n+2/n$，且

$$a^{t_n}\le E_a(x+y)\le a^{t_n}v_n^2.$$

有理指数加法法则给出 $a^{t_n}=a^{r_n(x)}a^{r_n(y)}\to E_a(x)E_a(y)$，而 $a^{t_n}$ 被某个固定整数次幂从上方界住。由于 $v_n^2\to1$，上述界证明 $E_a(x+y)=E_a(x)E_a(y)$。这里的基本乘积极限步骤可直接由下式证明：

$$|u_nv_n-uv|\le |u_n|\,|v_n-v|+|v|\,|u_n-u|.$$

收敛的 $u_n$ 在某尾部满足 $|u_n|\le|u|+1$。在共同尾部取 $|v_n-v|<\varepsilon/[2(|u|+1)]$ 和 $|u_n-u|<\varepsilon/[2(|v|+1)]$，右边便小于 $\varepsilon$。所用夹逼步骤也只需使所示非负上界小于 $\varepsilon$。

由定义集合可知 $E_a$ 非递减、$E_a(0)=1$；加法法则给出 $E_a(-x)=1/E_a(x)$。若 $h>0$，选有理 $0<r<h$，便有 $E_a(h)\ge a^r>1$。故 $x<y$ 时 $E_a(y)=E_a(x)E_a(y-x)>E_a(x)$，延拓严格递增。

4. 连续性与全部正输出。 当 $|h|\le1/n$，

$$a^{-1/n}\le E_a(h)\le a^{1/n}.$$

两界均趋于一；对 $v_n=a^{1/n}\ge1$，$0\le1-v_n^{-1}\le v_n-1\to0$。给定任意容许误差，选 $n$ 使两界与一之差均小于该误差，再取 $|h|<1/n$，即证在零处连续。由 $E_a(x+h)=E_a(x)E_a(h)$，把容许误差除以固定正因子 $E_a(x)$，便证每个 $x$ 处连续。

伯努利不等式给出 $E_a(n)=a^n\ge1+n(a-1)$，故正向无界；$E_a(-n)=1/a^n\to0$。固定 $u>0$，实数集合 $T=\{t:E_a(t)\le u\}$ 因而非空且有上界。令 $x=\sup T$。若 $E_a(x)<u$，由连续性可选小的 $h>0$ 使 $E_a(x+h)<u$，与上界 $x$ 矛盾；若 $E_a(x)>u$，可选小的 $h>0$ 使 $E_a(x-h)>u$，单调性就使 $x-h$ 成为 $T$ 的上界，与最小上界矛盾。因此 $E_a(x)=u$，严格单调性保证原像唯一。由此不使用对数，构造了连续双射 $\mathbb R\to(0,\infty)$。

5. 全部正底数与其余实指数律。 规定 $1^x=1$。当 $0<a<1$，定义 $a^x=E_{1/a}(-x)$；当 $a>1$，写 $a^x=E_a(x)$。这些定义与有理幂一致，保持加法法则和连续性，且在 $0<a<1$ 时严格递减、值域仍为全部正数。

对 $a,b>0$，取有理 $r_n\to x$。指数变量的连续性及有理法则 $(ab)^{r_n}=a^{r_n}b^{r_n}$ 给出 $(ab)^x=a^xb^x$。对幂的幂，先令 $r=p/q$ 为有理数、$q>0$。加法法则给出 $(a^{x/q})^q=a^x$，由正根唯一性得 $(a^x)^{1/q}=a^{x/q}$。使用整数幂和倒数，得 $(a^x)^{p/q}=a^{xp/q}$。最后取有理 $r_n\to y$，在 $(a^x)^{r_n}=a^{xr_n}$ 中使用两边指数函数的连续性，得 $(a^x)^y=a^{xy}$。每次取根和应用连续性时，底数均为正。

6. 作为逆函数的对数，没有循环。 对 $a>0$、$a\ne1$，定义 $\log_a$ 为刚证双射的逆函数。严格递增函数的逆也严格递增；严格递减函数的逆也严格递减，因为两种输入次序分别强制相应的严格输出次序。这证明对数不等式所用单调性。本章对数乘积、商、幂和换底公式的证明，现在依赖独立构造的指数律和逆关系。若 $\exp(x)=e^x$、$\ln=\log_e$，则 $a=e^{\ln a}$，由已证幂律得 $a^x=\exp(x\ln a)$。它是结论，不是用来证明同一批法则的循环定义。

常见错误

不要将中间规律移植到任意负底数。取 $a=-1$、$x=2$、$y=1/2$，两个表达式都有实数意义，但

$$[(-1)^2]^{1/2}=1\quad\text{whereas}\quad(-1)^{2(1/2)}=-1.$$

所以即使各表达式分别有定义，也不使无限制的规律成立。同样，对实数 $x$，$\sqrt{x^2}=|x|$，一般不是 $x$。

9.3 对数及其规律证明

定义

对 $a>0$、$a\ne1$，函数 $x\mapsto a^x$ 将 $\mathbb R$ 双射到 $(0,\infty)$，其逆函数为 $\log_a$。因此

$$\log_a u=v\iff a^v=u\qquad(u>0).$$

底数必须为正且不为一，真数必须为正。特别地 $\log_a1=0$、$\log_aa=1$。不存在实数 $\log_a0$；正真数可趋近零不意味着在零处赋予实对数。

命题

对正数 $u,v$ 和实数 $p$，

$$\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,$$$$\log_a(u/v)=\log_a u-\log_a v,\qquad \log_a(u^p)=p\log_a u.$$

证明

证明乘积律时令 $s=\log_a u$、$t=\log_a v$，则 $u=a^s$、$v=a^t$，所以 $uv=a^{s+t}$。应用逆函数即得结果。商律使用 $u/v=a^{s-t}$；幂律使用 $u^p=(a^s)^p=a^{sp}$，此步因底数为正而允许。这些是指数律与可逆性的后果，而非独立的符号技巧。

例题

例 3：安全展开。 若 $x>0$、$y>0$，

$$\ln\left(\frac{x^2\sqrt y}{3}\right) =2\ln x+\frac12\ln y-\ln3.$$

若 $x<0$、$y>0$，原真数仍为正，但写出的 $\ln x$ 无定义。对所有 $x\ne0$、$y>0$ 有效的公式是

$$\ln\left(\frac{x^2\sqrt y}{3}\right) =2\ln|x|+\frac12\ln y-\ln3.$$

省略绝对值或分情况时，展开式可能比原表达式要求更严格的限制。

不存在将和的对数变为对数之和的规律。例如 $\ln(1+1)=\ln2>0$，而 $\ln1+\ln1=0$。乘积律适用于乘法，不适用于加法。

对另一个允许的底数 $b>0$、$b\ne1$，换底公式为

$$\log_a u=\frac{\log_b u}{\log_b a}\qquad(u>0).$$

证明时令 $v=\log_a u$，则 $u=a^v$。取 $\log_b$ 得 $\log_b u=v\log_b a$。因 $a\ne1$，分母非零。选 $b=e$ 得 $\log_a u=\ln u/\ln a$。

9.4 单调性决定不等号方向

若 $a>1$，$a^x$ 和 $\log_a x$ 均严格递增；若 $0<a<1$，两者均严格递减。后一情况可由 $a^x=(1/a)^{-x}$（$1/a>1$）及取逆看出。

因此，对正数 $u,v$，

$$\log_a u\le\log_a v \iff\begin{cases}u\le v,&a>1,\\u\ge v,&0<a<1.\end{cases}$$

反向至关重要。即使最终不等式中对数消失，真数正性条件仍然有效。

例题

例 4：小于一的底数。 解

$$\log_{1/2}(x-1)\ge-2.$$

首先 $x>1$。因为对数递减，与 $\log_{1/2}4=-2$ 比较得到 $x-1\le4$。结合定义域得

$$1<x\le5.$$

在 $x=5$ 取等；在 $x=1$ 对数无定义。忘记底数导致的反向会选错端点的一侧。

底数大于一时，真数大于一对应正对数；底数小于一时，正对数对应的真数介于零与一之间。负对数是普通实数输出，不表明其真数为负。

9.5 解方程时避免产生伪解

例题

例 5：对数方程。 解

$$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$

两个真数都须为正，所以 $x>1$。在该定义域上，乘积律及可逆性给出

$$\log_2[(x-1)(x+1)]=3 \iff x^2-1=8 \iff x=3\text{ or }x=-3.$$

只有 $x=3$ 属于原定义域。代入得到 $\log_22+\log_24=1+2=3$。另一个代数根不是原方程的解。乘积为正本身不能保证两个因子分别为正。

例题

例 6：正数代换。 求实数 $x$ 满足 $4^x-5\cdot2^x+4=0$。令 $u=2^x>0$，则 $4^x=(2^x)^2=u^2$，所以

$$u^2-5u+4=(u-1)(u-4)=0.$$

两个根均为正。方程 $2^x=1$ 和 $2^x=4$ 给出 $x=0$、$x=2$，各自可检验。若二次方程产生非正 $u$，必须在取对数前舍去。

例题

例 7：变量底数。 解 $\log_x9=2$。转换前，底数条件为 $x>0$ 且 $x\ne1$。逆关系给出 $x^2=9$，候选为 $x=3$ 和 $x=-3$。只有三是允许的对数底数，故唯一解为 $x=3$。

记号 $\log_a u$ 有两个数学作用不同的输入：底数和真数。若任一包含变量，都需要记录其限制。在科学公式中，未知符号不能按对数计算的方便程度决定。

9.6 几何误差估计的整数阈值

假设 $C>0$、$0<q<1$，整数 $N\ge0$ 项后的误差为 $E_N=Cq^N$。对容许值 $\varepsilon>0$，取自然对数得到

$$E_N\le\varepsilon \iff N\ln q\le\ln(\varepsilon/C) \iff N\ge\frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q},$$

因为 $\ln q<0$。因此允许的最小整数为

$$N_{\min}=\max\left\{0,\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q}\right\rceil\right\}.$$

上取整 $\lceil t\rceil$ 是不小于 $t$ 的最小整数。对严格误差要求 $E_N<\varepsilon$，$N$ 的不等式也是严格的，公式变为

$$N_{\min}=\max\left\{0,\left\lfloor \frac{\ln(\varepsilon/C)}{\ln q}\right\rfloor+1\right\}.$$

这里 $\lfloor t\rfloor$ 是不大于 $t$ 的最大整数。这些公式包括 $N=0$ 时已满足容许值的情况。若应用只允许 $N\ge1$，将外面的零替换为一。若 $C=0$，每个误差均为零，不应尝试以对数除以 $C$；直接处理该情形。

例题

例 8：比较相邻整数。 设 $E_N=5(0.7)^N$，要求 $E_N\le0.02$。对数阈值约为 $15.4804$，候选整数为 $16$。检查相邻整数对应的幂，而不要只依赖四舍五入的阈值：

$$5(0.7)^{15}\approx0.0237378>0.02,\qquad 5(0.7)^{16}\approx0.0166165<0.02.$$

由于误差随 $N$ 递减，这证明最小允许整数为 $16$。当计算阈值接近整数，过早四舍五入可能给出错误选择。

9.7 幂律与无量纲对数尺度

正输入的幂律可写为量纲清晰的形式

$$\frac y{y_0}=\left(\frac x{x_0}\right)^p, \qquad x,x_0,y,y_0>0.$$

取对数得

$$\ln(y/y_0)=p\ln(x/x_0).$$

真数是无量纲比值，因此等式不依赖测量单位。在记录这些对数比值的坐标轴上，模型是过原点、斜率为 $p$ 的直线。数据在这种坐标上近似成直线，是候选幂律的证据，而不是在观测范围外也成立的精确物理定律证明。

例题

例 9：由比值恢复指数。 在某模型中，$x$ 加倍使 $y$ 变为三倍。则 $3=2^p$，所以

$$p=\frac{\ln3}{\ln2}.$$

指数不是三：幂律指数记录变化的对数比。选定此理想化指数后，$x$ 乘以四使 $y$ 乘以 $4^p=(2^p)^2=9$。

也可将对数评分定义为 $D=10\log_{10}(Q/Q_0)$，其中 $Q,Q_0$ 为正。$D$ 增加十使 $Q/Q_0$ 乘以十；增加三使比值乘以 $10^{0.3}$，不是乘以三。此结论来自定义，不假设特定物理应用。对数显示压缩乘法范围，但不会使原量的加法变化成为等间距。

9.8 分级练习

基础

思考检查

练习 1

1. 将 $3^{-2}$、$(-3)^2$、$-3^2$、$16^{3/4}$ 和 $(-32)^{2/5}$ 计算为实数。

思考检查

练习 2

2. 按本章约定，$0^{-2}$、$0^3$、$(-4)^{1/2}$、$(-27)^{1/3}$ 中哪些作为实数有定义？

思考检查

练习 3

3. 计算 $\log_327$、$\log_{1/2}8$ 和 $\log_51$。

思考检查

练习 4

4. 用一个允许的底数和正真数，给出并检查 $\log_a(u+v)=\log_a u+\log_a v$ 的反例。

核心

思考检查

练习 5

5. 给出 $\ln[(x-2)/(x+1)]$ 的实数定义域，并与 $\ln(x-2)-\ln(x+1)$ 的定义域比较。两式在哪里相等？

思考检查

练习 6

6. 在实数上解 $\ln x+\ln(x+3)=\ln10$。

思考检查

练习 7

7. 在实数上解 $9^x-10\cdot3^x+9=0$。

思考检查

练习 8

8. 解 $\log_3(x+1)\le2$。

思考检查

练习 9

9. 解 $\log_{1/2}(2x+1)>1$。

思考检查

练习 10

10. 解 $\log_x16=4$，先说明底数限制。

思考检查

练习 11

11. 对每个实数 $x\ne0$ 证明 $\ln(x^2)=2\ln|x|$。解释为什么 $2\ln x$ 在整个定义域上不是等价的实表达式。

思考检查

练习 12

12. 对整数 $N\ge0$，误差为 $E_N=8(1/2)^N$。分别求满足 (a) $E_N\le1/8$ 和 (b) $E_N<1/8$ 的最小 $N$。

综合

思考检查

练习 13

13. 在正输入幂律模型中，$x$ 乘以三使 $y$ 乘以五。求指数，以及 $x$ 乘以九时的乘数。说明取对数所需正性。

思考检查

练习 14

14. 对定义的评分 $D=10\log_{10}(Q/Q_0)$，求 $D=-20$ 时的 $Q/Q_0$；当 $Q_0$ 固定、$D$ 从 $-20$ 升至 $-5$ 时，求 $Q$ 的乘法变化。

思考检查

练习 15

15. 学生由幂的幂法则声称 $(-1)^{2(1/2)}=[(-1)^2]^{1/2}$。分别计算两边并指出缺失假设。

思考检查

练习 16

16. 假设 $C>0$、$0<q<1$，且 $N$ 是非负整数。推导满足 $Cq^N\le C$ 的最小 $N$，再推导满足 $Cq^N<C$ 的最小 $N$。与上取整和下取整公式比较，不要假定两个容许条件相同。

9.9 完整解答

解答 · 练习 1

1. 结果为 $1/9$、$9$、$-9$、$(16^{1/4})^3=2^3=8$ 和 $[(-32)^{1/5}]^2=(-2)^2=4$。

解答 · 练习 2

2. 第一个因需要除以零而无定义。第二个有定义且等于零。第三个没有实数值，因为实数平方不能为负。第四个有定义且等于 $-3$。

解答 · 练习 3

3. 分别为三、负三和零：$3^3=27$、$(1/2)^{-3}=8$、$5^0=1$。

解答 · 练习 4

4. 取底数二和 $u=v=1$。左边为 $\log_22=1$，所提右边为 $0+0=0$。反例中的所有对数均有定义。

解答 · 练习 5

5. 第一个表达式要求 $(x-2)/(x+1)>0$ 且 $x\ne-1$。符号表给出 $x<-1$ 或 $x>2$。展开式要求 $x-2>0$ 且 $x+1>0$，故只有 $x>2$；商律证明它们在那里相等。对 $x<-1$，原正比值有实对数，但各个对数无定义，故展开式不能表示它。在原完整定义域上的另一表达式是 $\ln|x-2|-\ln|x+1|$。

解答 · 练习 6

6. 定义域要求 $x>0$。合并对数得 $x(x+3)=10$，即 $(x+5)(x-2)=0$。候选 $-5$ 不允许；$x=2$ 给出 $\ln2+\ln5=\ln10$。故二是唯一解。

解答 · 练习 7

7. 令 $u=3^x>0$，得到 $u^2-10u+9=(u-1)(u-9)=0$。两根均为正，故 $x=0$ 或 $x=2$，两者均满足原方程。

解答 · 练习 8

8. 定义域为 $x>-1$。底数三大于一，故不等式等价于 $x+1\le9$，因此 $-1<x\le8$。

解答 · 练习 9

9. 要求 $2x+1>0$，即 $x>-1/2$。由于底数小于一，与 $\log_{1/2}(1/2)=1$ 比较得 $2x+1<1/2$，即 $x<-1/4$。合并得 $(-1/2,-1/4)$，两个端点均排除。

解答 · 练习 10

10. 要求 $x>0$、$x\ne1$。方程给出 $x^4=16$，其实数候选为二和负二，只有二是允许的底数。故 $x=2$。

解答 · 练习 11

11. 由于 $x\ne0$，有 $|x|>0$ 和 $x^2=|x|^2$。正真数幂律给出 $\ln(x^2)=\ln(|x|^2)=2\ln|x|$。对负 $x$，$\ln x$ 无定义，但原表达式有定义；例如 $x=-1$ 给出 $\ln1=0$。

解答 · 练习 12

12. 条件 $8/2^N\le1/8$ 等价于 $2^N\ge64$，最小整数为六。严格不等式要求 $2^N>64$，最小整数为七。六处误差恰为 $1/8$，这解释了区别。

解答 · 练习 13

13. 输入和输出参考比值为正时，$5=3^p$，故 $p=\ln5/\ln3$。$x$ 乘以九使 $y$ 乘以 $9^p=(3^p)^2=25$。正比值确保实对数有定义；输入的参考比值为三而非一，所以分母对数非零。

解答 · 练习 14

14. 整理得 $Q/Q_0=10^{D/10}$。当 $D=-20$，比值为 $10^{-2}=1/100$。评分增加十五，故乘数为 $10^{15/10}=10^{3/2}=10\sqrt{10}$。负评分对应小于一的正比值，而不是负量。

解答 · 练习 15

15. 左边为 $(-1)^1=-1$，右边为 $1^{1/2}=1$。实指数的幂的幂法则只对正底数陈述；原底数为负。每个表达式各自具有实数意义，不足以推广该法则。

解答 · 练习 16

16. 除以 $C>0$。对于 $q^N\le1$，$N=0$ 已取等，故最小 $N$ 为零。对于 $q^N<1$，零不满足，一成立，因为 $q<1$，故最小 $N$ 为一。在一般公式中，$\varepsilon/C=1$ 使对数阈值为零。非严格公式给出 $\max\{0,\lceil0\rceil\}=0$，严格公式给出 $\max\{0,\lfloor0\rfloor+1\}=1$，符合要求。

图像专题 G4

思考检查

图像题 G4

在哪一种坐标轴上是直线？

某校准练习构造以下精确的正无量纲比值。它们是为练习构造的数据，不是外部实验测量值。设 $u=x/x_0$、$q=Q/Q_0$，其中 $x,x_0,Q,Q_0>0$，每个分子与其自身参考分母的物理单位相同。

输入比值 $u$	$1/2$	$1$	$2$	$4$	$8$
输出比值 $q$	$1/4$	$1$	$4$	$16$	$64$

左图使用普通比值坐标；右图使用 $X=\log_2u$ 和 $Y=\log_2q$。候选曲线只画出数据的输入区间 $[1/2,8]$。

1. 变换全部五组数值，用右图中两点求斜率。在假设幂律模型 $q=u^p$ 下，确定 $p$ 并恢复普通比值坐标中的方程。
2. 右图上水平增加一个单位，对原输入意味着什么？若模型有效范围内输入变为三倍，输出变为多少倍？
3. 为什么零或负的输入／输出比值都不能放在对数图上？$X$ 或 $Y$ 为负是否表示物理比值为负？
4. 五个变换后的点共线，是否证明幂律在每个正输入上成立，或证明普通坐标中的图像是直线？区分图像证据、假设模型与普遍结论。

解答 · 图像题 G4

1. 变换后的各对为

   $$(-1,-2),\quad(0,0),\quad(1,2),\quad(2,4),\quad(3,6).$$

   例如通过 $(0,0)$ 和 $(3,6)$ 的斜率为 $6/3=2$。若 $q=u^p$ 且 $u>0$，取以二为底的对数得 $Y=pX$。幂律模型因此要求 $p=2$，故 $q=u^2$。代入可检验原来全部五对数据。物理变量中的候选模型为 $Q/Q_0=(x/x_0)^2$，即 $Q=Q_0(x/x_0)^2$。参考量保留模型的单位；取对数的是比值，而不是带单位的浓度或时间。

2. $X$ 增加一，使 $u$ 乘以二，因为 $u=2^X$。变换图上的相等水平距离对应相等的乘法因子，而不是原输入的相等加法增量。指数为二时，将 $u$ 换成 $3u$ 得 $(3u)^2/u^2=9$，所以输出乘以九。若它是经验候选模型，原输入和三倍后的输入都必须处于实际确立的有效范围内。

3. 实对数要求真数为正，因此 $u=0$、$q=0$ 和负比值没有可绘制的对数坐标。相反，$X=-1$ 表示 $u=2^{-1}=1/2>0$，$Y=-2$ 表示 $q=2^{-2}=1/4>0$。负对数坐标表示小于一的正比值，而不是负物理量。图上的截距 $(X,Y)=(0,0)$ 对应 $(u,q)=(1,1)$，不是零输入或零输出。

4. 五组读数都与这一幂律假设一致；在该数学模型内，给定公式证明所有正输入对应直线。有限数据本身不能确立各读数之间或其外的物理规律。其他函数也可以在全部五个输入处相同，而在其他地方不同。另外，变换坐标中的直线在原坐标中并不是直线：$q=u^2$ 在原坐标中有变化的割线斜率。图像外观取决于所述坐标轴和尺度。将模型外推到所示区间之外，需要独立的科学依据。

总结

整数次幂是重复乘法和倒数。有理次幂需要根和符号约定；任意实指数律对正底数安全。实对数要求正且不为一的底数以及正真数，其规律来自取幂和求逆。底数决定对数不等式保持还是反转次序。变换后定义域仍有效，指数代换带有正性限制。对数将几何误差不等式化为整数阈值，但仍需注意严格容许值与取整。无量纲比值使对数科学模型在不同单位下可解释。

联系。 本章补充第 1 章初步逆模型以外的指数和对数代数。第 5 章提供有限乘积与重复变化，第 6 章提供几何余项，第 7 章提供注意符号的证明习惯。第 8 章的复数幂使用不同数系，并不自动推广这里每个实数幂约定。