多项式结构与坐标几何

动机

本章假设你掌握第 1 章的定义域、方程等价、区间与函数。我们将在微积分前加强代数与几何。你将推导二次公式，利用多项式因子分析符号，在有理函数中保留排除点，并将几何描述转换为方程。

科学公式往往经过结构改写才易于处理。配方可揭示圆或最小值；因式分解可揭示重根与符号变化；定义域检查可区分可去空点和允许的输入。这些是数学判断，而不只是机械化简。

3.1 多项式除法与因式定理

命题

非零多项式 $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$（$a_n\ne0$）的次数为 $n$。用 $x-r$ 作多项式除法得到

$$P(x)=(x-r)Q(x)+c,$$

证明

其中 $c$ 为常数。代入 $x=r$ 证明 $c=P(r)$。因此 $r$ 是根当且仅当 $x-r$ 是因子。反复除法证明非零 $n$ 次多项式至多有 $n$ 个不同实根：每个不同根除去一阶，而其他根仍属于商。

证明

这里所有多项式系数与 $r$ 都是实数。用 $x-r$ 除来自有限代数，而非预设求根结论。对 $k\ge1$，

$$x^k-r^k=(x-r)\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}r^j.$$

展开右边，中间项全部相消。对 $P(x)-P(r)$ 的每项应用此恒等式，得

$$P(x)-P(r)=(x-r)\sum_{k=1}^{n}a_k\sum_{j=0}^{k-1}x^{k-1-j}r^j.$$

这构造出 $Q$ 与常数余项 $P(r)$；常数多项式也包括在内，此时空和给出 $Q=0$。若 $n\ge1$，$Q$ 的次数为 $n-1$，首项系数为 $a_n$。若有两种这样的除法，代入 $x=r$ 得到相同余项；相减后 $(x-r)(Q_1-Q_2)=0$ 作为多项式恒成立，由首项系数可知 $Q_1=Q_2$。若 $s\ne r$ 是另一个根且 $P=(x-r)Q$，代入得 $(s-r)Q(s)=0$，故 $Q(s)=0$。以非零常数无根为起点，对次数归纳即证不同根数目的上界。

例题

例 1：不必猜出所有根的三次式。 令 $P(x)=x^3-2x^2-x+2$。分组得到

$$P(x)=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1).$$

根为 $-1,1,2$，分解证明没有其他根。展开可作独立代数检验；仅以数值方法找到一个根不能确定完整集合。

定义

对正整数 $m$ 和多项式 $Q$，若 $P(x)=(x-r)^mQ(x)$ 且 $Q(r)\ne0$，则根的重数为 $m$。在 $r$ 附近，非零连续因子 $Q$ 保持符号。$m$ 为奇数时 $(x-r)^m$ 变号，$m$ 为偶数时不变号。因此引入导数之前，偶重零点便可能接触坐标轴而不穿过。

证明

保号结论不需要微积分。写 $Q(x)=\sum_{k=0}^{d}b_kx^k$，固定满足 $Q(r)\ne0$ 的实数 $r$。令 $M=|r|+1$、$B=\sum_{k=1}^{d}|b_k|kM^{k-1}$。当 $|x-r|<1$ 时，由幂差恒等式，

$$|Q(x)-Q(r)|\le B|x-r|.$$

若 $B=0$，$Q$ 为常数；否则取 $0<\delta\le\min\{1,|Q(r)|/(2B)\}$。当 $|x-r|<\delta$，差的绝对值小于 $|Q(r)|/2$，所以 $Q(x)$ 与 $Q(r)$ 同号。因此，对正整数重数 $m$ 和多项式商 $Q$，局部符号变化只来自 $(x-r)^m$：奇数 $m$ 使符号反转，偶数 $m$ 保持符号。这也给出了上面定义中借助连续性所用的保号事实。

3.2 配方得到二次式

命题

对 $a\ne0$，

$$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

令表达式为零并取平方根，得到

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

实根要求判别式 $b^2-4ac\ge0$。零判别式给出一个重复实根；负判别式没有实根。若方程描述物理量，可在之后根据可行性排除部分实根。

例题

例 2：不用微积分求最小值。 校准损失 $E(s)=2s^2-8s+11$ 等于 $2(s-2)^2+3$，故在所有实输入上的唯一最小值为三，在 $s=2$ 处取得。若限制 $s\ge3$，距二最近的允许输入为三，最小值变为五。模型定义域改变答案，但平方恒等式不变。

相同改写有助于画抛物线。点 $(-b/(2a),c-b^2/(4a))$ 是顶点，$a$ 的符号决定开口方向。不必从少数样本点猜测形状。

3.3 带重根与极点的符号表

对已分解的多项式或有理函数，列出所有实零点及分母零点。它们将数轴划分为各因子不能变号的区间。确定每个区间的符号；不等式允许取等时包括分子零点，始终排除分母零点。

例题

例 3：负区间内的重零点。 解

$$\frac{(x-1)^2(x+2)}{x-3}\ge0.$$

定义域排除三。除 $x=1$ 外平方因子为正，故符号由 $(x+2)/(x-3)$ 控制：$-2$ 左侧为正，$-2$ 至三之间为负，三右侧为正。$x=-2$ 和重零点 $x=1$ 也取等，所以解为

$$(-\infty,-2]\cup\{1\}\cup(3,\infty).$$

常见错误

若除去 $(x-1)^2$ 时不单独保留零的情况，会遗漏孤立解一。

商中的公因子只可在非零处消去。对 $(x^2-1)/(x-1)$，相消给出 $x\ne1$ 时的 $x+1$ 值，但不填补原空点。相比之下 $1/(x-1)$ 在分母为零的 $x=1$ 附近函数值无界，而不是有相消因子；两种结构不能混淆。

3.4 直线、圆与距离方程

$(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 之间的距离平方为 $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$。半径 $R>0$、圆心 $(h,k)$ 的圆为

$$(x-h)^2+(y-k)^2=R^2.$$

例题

例 4：识别几何。 方程 $x^2+y^2-4x+6y+9=0$ 化为

$$(x-2)^2+(y+3)^2=4.$$

它是圆心 $(2,-3)$、半径二的圆。若配方后右边为负，实轨迹为空；若为零，则是单点而非正半径圆。

直线可写成 $Ax+By=C$，其中 $(A,B)\ne(0,0)$。这包括不能写成 $y=mx+b$ 的竖直线。对两条非竖直线，不同斜率保证一个交点；斜率相同时须检查是同一直线还是不同平行线。

求直线与圆的交点时，代入产生二次方程。正、零或负判别式分别表示两个交点、相切或没有实交点。所有候选点都必须满足两个原方程。

例题

例 5：用交点计算代替草图。 对 $x^2+y^2=5$ 和 $y=x+1$，代入得 $2x^2+2x-4=0$，故 $x=1$ 或 $-2$。点为 $(1,2)$、$(-2,-1)$。二者到原点的距离平方均为五且在直线上；只画出一个交点不完整。

3.5 由几何约束描述圆锥曲线

选读：圆锥曲线。 焦点–准线描述和圆锥曲线分类把几何与坐标方程联系起来。练习 8–9 探索这些内容。

抛物线由到焦点和准线距离相等的点组成。焦点为 $(h,k+p)$、准线为 $y=k-p$（$p\ne0$）时，令距离平方相等得到

$$(x-h)^2+(y-k-p)^2=(y-k+p)^2,$$

故 $(x-h)^2=4p(y-k)$。因为比较的两量均为非负距离，平方在这里保持等价。顶点为 $(h,k)$，$p>0$ 时向上开口，$p<0$ 时向下开口。

轴平行的椭圆方程为 $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$，其中 $a,b>0$，水平与竖直半轴分别为 $a,b$。方程 $(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1$ 描述无界且有两支的双曲线。这些是不同的几何模型；平方项外观相似不使所有圆锥曲线都是圆。

例题

例 6：缩放椭圆。 对 $x^2/9+y^2/4=1$，截距为 $(\pm3,0),(0,\pm2)$。解出上半支得 $y=2\sqrt{1-x^2/9}$，定义域为 $[-3,3]$。完整椭圆不是单个 $x$ 函数，因为大多数内部横坐标同时有正和负两个输出。选择分支是定义域和输出的决定，而不仅是图形偏好。

3.6 不使用微积分的有限几何累积

对 $r\ne1$，$1+r+\cdots+r^{n-1}=(1-r^n)/(1-r)$。从和中减去该和的 $r$ 倍即可证明。具有乘数 $r$ 的离散重复贡献 $a$，在 $n$ 项上的总量因此为 $a(1-r^n)/(1-r)$。当 $r=1$，正确总量为 $na$；不能以除零计算商式。

有限和代数为后续数列和积分作准备，但它本身不确立无穷总量的收敛性。

3.7 分级练习

基础

思考检查

练习 1

1. 分解 $x^3-3x^2-4x+12$ 并列出全部实根。

思考检查

练习 2

2. 用二次公式或配方解 $2x^2-5x+2=0$。

思考检查

练习 3

3. 将 $x^2+6x+13$ 配方并求其最小值。

核心

思考检查

练习 4

4. 解 $(x-2)^2(x+1)\le0$。

思考检查

练习 5

5. 解 $(x+1)/(x-2)\ge0$，保留定义域排除点。

思考检查

练习 6

6. 确定 $x^2+y^2+2x-8y+13=0$ 的圆心和半径。

思考检查

练习 7

7. 求 $y=x$ 与 $x^2+y^2=8$ 的交点。

思考检查

练习 8

8. 给出 $(x-1)^2=8(y+2)$ 的焦点和准线。

综合

思考检查

练习 9

9. 将 $x^2/16+y^2/9=1$ 的上半部分写成 $x$ 的函数，包括定义域和值域。解释整个椭圆为什么不通过函数检验。

思考检查

练习 10

10. 模型增加贡献 $3,3r,3r^2,\ldots,3r^{n-1}$。求 $r\ne1$ 的总量，计算 $r=2,n=4$ 的值，并给出 $r=1$ 时的单独答案。

3.8 完整解答

解答 · 练习 1

1. 分组为 $x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)$。根为 $-2,2,3$。

解答 · 练习 2

2. 判别式为 $25-16=9$，故 $x=(5\pm3)/4$，即 $2$ 和 $1/2$。

解答 · 练习 3

3. 表达式为 $(x+3)^2+4$，唯一最小值为四，在 $x=-3$ 处取得。

解答 · 练习 4

4. 除 $x=2$ 外，平方为正，故乘积非正当且仅当 $x+1\le0$。另外 $x=2$ 使乘积为零。解集为 $(-\infty,-1]\cup\{2\}$。

解答 · 练习 5

5. 临界输入是 $-1$ 和二。商在 $(-\infty,-1)$ 和 $(2,\infty)$ 上为正，在两者之间为负，在 $-1$ 为零。因此答案为 $(-\infty,-1]\cup(2,\infty)$，排除极点二。

解答 · 练习 6

6. 配方得 $(x+1)^2+(y-4)^2=4$。圆心为 $(-1,4)$，半径二。

解答 · 练习 7

7. 代入得 $2x^2=8$，故 $x=\pm2$，点为 $(2,2),(-2,-2)$。

解答 · 练习 8

8. 此处 $h=1,k=-2,4p=8$，故 $p=2$。焦点为 $(1,0)$，准线为 $y=-4$。

解答 · 练习 9

9. 上半支为 $y=3\sqrt{1-x^2/16}$，定义域 $[-4,4]$，值域 $[0,3]$。在 $x=0$，完整椭圆有两个输出 $3$ 和 $-3$，故不是 $x$ 的单值函数。

解答 · 练习 10

10. 总量为 $3(1-r^n)/(1-r)$。当 $r=2,n=4$，值为 $3(1-16)/(1-2)=45$，也等于 $3+6+12+24$。当 $r=1$，总量为 $3n$。

先构图，再判断交点

配方提供的不只是最小值答案。从顶点 $(2,3)$ 开始绘制草图。水平位移 $h$ 使惩罚值变为 $3+2h^2$，因此两侧相同位移有相同高度，因子二确定竖直尺度。这样无需依赖计算器任意选定的采样密度，就能解释对称性和形状。标出模型包含的端点，再只保留允许输入区间上的部分。绘图窗口与数学定义域不同：图像的边缘本身不会排除一个输入。

现在画出水平比较线。若它在顶点以下，则无交点；经过顶点时相切一次；在顶点以上时，不受限制的抛物线有两个交点。受限定义域可能保留两个、一个或都不保留。用代数确定交点，再将所得集合与模型定义域取交。狭窄的草图可能隐藏第二个交点，所以图像支持论证，却不能代替完整解集。

图像专题 G1

思考检查

图像题 G1

抛物线并不自动确定模型定义域

某校准采用无量纲浓度 $x=c/c_0$，其中 $c_0>0$ 是固定参考浓度，$c$ 与其单位相同。因此 $x$ 无量纲。仪器允许 $0\le x\le3$，其无量纲校准惩罚值为

$$E(x)=2(x-2)^2+3.$$

1. 读出顶点和开口方向。写出允许模型的定义域和值域，并与不受限制的代数多项式区分。
2. 从图中估计满足 $E(x)\le5$ 的所有允许输入，再给出精确集合并论证端点。
3. 观察到惩罚值为五，求所有允许输入。为什么这一观察不能唯一确定浓度？给出一种使反演唯一的输入限制，并写出反函数公式及反函数的定义域。
4. 图中虚线部分是否允许使用负浓度或大于三的输入？解释方程与模型假设各自的作用。

解答 · 图像题 G1

1. 平方项系数为正，所以抛物线开口向上，顶点为 $(2,3)$。允许的输入定义域为 $[0,3]$，最小惩罚值三在 $x=2$ 处取得。在该定义域上，$|x-2|\le2$，所以 $E(x)\le11$，且在 $x=0$ 处取等。三到十一之间的每个值都可取得：对 $e\in[3,11]$，输入 $x=2-\sqrt{(e-3)/2}$ 属于 $[0,2]$，其惩罚值为 $e$。因此允许模型的值域恰为 $[3,11]$。不受限制的多项式定义域为 $\mathbb R$，值域为 $[3,\infty)$；科学限制不能仅从多项式推断。

2. 实线曲线在两交点之间位于水平边界上或以下。代数上，

   $$E(x)\le5\iff 2(x-2)^2\le2\iff |x-2|\le1\iff1\le x\le3.$$

   与允许定义域取交仍为 $[1,3]$。两个端点的惩罚值都恰为五，且题目要求非严格不等式，因此都包含。$x=0$ 处惩罚值为十一，所以该端点不满足此容差。

3. 解 $E(x)=5$ 得 $x=1$ 或 $x=3$，两者均允许。原模型不是单射：顶点两侧的不同浓度可以有相同惩罚值。将输入限制在 $[2,3]$，惩罚值严格递增，值域为 $[3,5]$。反函数为

   $$x=2+\sqrt{\frac{e-3}{2}},\qquad 3\le e\le5.$$

   选择正分支是因为 $x\ge2$，并不是说平方根方程只有一个候选解。也可限制在 $[0,2]$，得到负分支，反函数定义域为 $[3,11]$。回到物理浓度需要使用 $c=c_0x$。

4. 虚线延伸显示的是多项式的值，并未扩大科学操作定义域。负 $x$ 违反浓度非负，$x>3$ 则超出所述仪器范围。此类输入处 $E(x)$ 有实数值，只证明代数上有定义，不证明物理上允许或校准有效。

总结

因式揭示根与符号变化，重根则需要单独考虑零的情况。配方推导二次根、极值和几何形式。有理表达式中的排除点在相消后仍存在。坐标方程描述的轨迹不一定是单值函数。有限几何和给出精确离散累积。