Cayley–Hamilton 与最小多项式应用：诊断及完整练习

全章中，$V$ 是域 $F$ 上的非零有限维向量空间，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$。除非另有说明，不假设代数闭性。

选择一个有序基，写 $A=[T]$ 及 $n=\dim V$，采用首一约定 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。

1. 为什么仅凭特征值不能证明一般定理

对有特征向量基 $v_j$ 的可对角化算子，多项式代入满足 $p(T)v_j=p(\lambda_j)v_j$。每个特征值都是 $\chi_T$ 的根，因此在此情形下立即得到 $\chi_T(T)=0$。但有缺陷的算子没有特征向量基；只在已有特征向量上检验算子，可能只检验了真子空间，并非在整个 $V$ 上的证明。

一般的 Cayley–Hamilton 定理即使对有缺陷的算子也提供多项式关系，因而可用于化简高次幂、在可逆时构造逆，以及区分特征多项式相同但结构不同的算子。

对 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$，定义 $p(T)=\sum c_jT^j$，其中 $T^0=I$。同一算子的各次幂可交换，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$，代入是环同态 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$。这不允许在任意矩阵系数恒等式中，用不交换的矩阵随意替换变量。

2. 一般 Cayley–Hamilton 定理的完整证明

特征多项式在任意基下定义为 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。相似变换保持它，因为 $tI-P^{-1}AP=P^{-1}(tI-A)P$。它是次数为 $n=\dim V$ 的首一多项式。标量 $\lambda\in F$ 是特征值当且仅当 $\chi_T(\lambda)=0$，因为方阵奇异当且仅当它有非零核。

定理。 $\chi_T(T)=0$。

证明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$。交换多项式环 $F[t]$ 上的伴随矩阵恒等式给出

$$(tI-A)B(t)=\chi_A(t)I,\qquad B(t)=\operatorname{adj}(tI-A)=\sum_{k=0}^{n-1}B_kt^k.$$

设 $B_{-1}=B_n=0$。比较系数得到对 $0\le k\le n$，$B_{k-1}-AB_k=c_kI$。将第 $k$ 个等式左乘 $A^k$ 并求和，各项相消：

$$\sum_{k=0}^nc_kA^k=\sum_{k=0}^n\left(A^kB_{k-1}-A^{k+1}B_k\right)=0.$$

这就是 $\chi_A(A)=0$。这里仅使用系数恒等式和结合律，没有未经说明地对可能含不交换系数的矩阵多项式作代入。∎

3. 最小多项式与对角化判据

凯莱–哈密顿定理提供了非零零化多项式；选择次数最小的首一零化多项式，称为 $m_T$。多项式除法证明

$$p(T)=0\quad\Longleftrightarrow\quad m_T\mid p.$$

事实上写 $p=qm_T+r$，其中 $\deg r<\deg m_T$。若 $p(T)=0$，则 $r(T)=0$；由最小性 $r=0$。同一论证给出唯一性，特别有 $m_T\mid\chi_T$。非零常数多项式不能零化非零空间，所以 $m_T$ 的次数为正。

标量 $\lambda\in F$ 是 $m_T$ 的根当且仅当它是特征值。若对 $v\ne0$ 有 $Tv=\lambda v$，则 $0=m_T(T)v=m_T(\lambda)v$，故 $m_T(\lambda)=0$。反过来，若 $m_T=(t-\lambda)q$ 且 $T-\lambda I$ 可逆，则对 $0=(T-\lambda I)q(T)$ 作用其逆可得 $q(T)=0$，与最小次数矛盾。

特征多项式记录总代数重数；最小多项式记录在任一向量上所需的最强多项式关系。对 $n$ 维空间上的 $\lambda I$，有 $\chi=(t-\lambda)^n$ 但 $m=t-\lambda$。对 $\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$，有 $(T-\lambda I)^2=0$ 但 $T-\lambda I\ne0$，故 $m=(t-\lambda)^2$。

双因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$，则

$$V=\ker f(T)\oplus\ker g(T).$$

证明。 多项式欧几里得算法给出 $af+bg=1$。对任意 $v$，

$$v=a(T)f(T)v+b(T)g(T)v.$$

第一个项属于 $\ker g(T)$，第二个属于 $\ker f(T)$，因为多项式算子可交换且 $f(T)g(T)=0$。若 $v$ 同时属于两个核，相同恒等式给出 $v=0$。∎

将这一论证反复应用于不同首一不可约因式的分解

$$m_T=p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}$$

得到主分解

$$V=\bigoplus_{j=1}^s\ker p_j(T)^{r_j}.$$

每个直和项都不变。在 $m_T$ 分解为线性因式的域上，它们是广义特征空间。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可约二次式，不能把它重新称为实特征空间。最小多项式为 $m=t^2+1$ 的实旋转矩阵体现了这一障碍。

对角化判据。 $T$ 在 $F$ 上可对角化，当且仅当其最小多项式是 $F[t]$ 中互不相同的线性因式之积。

若因式是互不相同的线性因式，主分解给出普通特征空间的直和，其基合并为特征基。反过来，若一个特征基中出现的不同特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$，乘积 $\prod(t-\lambda_j)$ 零化每个基向量，所以 $m_T$ 整除这个分裂且无重复因子的多项式。每个特征值都必须是 $m_T$ 的根，故 $m_T$ 恰好等于该乘积。仅在扩域上没有重根，若它不在原域上分裂，仍不能推出原域上的可对角化性。

4. 幂与逆的计算

对 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$，由 Cayley–Hamilton 得 $A^2-3A+2I=0$。其特征值互异，故两个投影分别为 $P_1=2I-A$ 和 $P_2=A-I$；它们满足 $P_1+P_2=I$，并分别投影到两个特征空间。因此

$$A^k=P_1+2^kP_2=\begin{pmatrix}1&2^k-1\\0&2^k\end{pmatrix},\qquad k\ge0.$$

若有缺陷矩阵 $J=2I+N$ 满足 $N^2=0$，二项式恒等式给出 $J^k=2^kI+k2^{k-1}N$（$k\ge1$）。额外因子 $k$ 反映了仅凭特征值看不到的幂零部分。

算子可逆，当且仅当 $m_T(0)\ne0$。若常数项非零，由 Euclid 算法存在多项式 $u,v$ 满足 $ut+vm_T=1$，故 $u(T)T=I$。反之，若 $m_T=tq$ 且 $T$ 可逆，则 $Tq(T)=0$ 蕴含 $q(T)=0$，与最小性矛盾。因此非奇异算子的逆本身是该算子的多项式。

5. 综合分级练习

P01 — 基础。 在任意域 $F$ 上，令 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$，其中整数表示它们在 $F$ 中的像。计算 $\chi_A$，通过乘法验证 Cayley–Hamilton，准确判断何时可逆，并在可逆时用 $A$ 表示 $A^{-1}$。

P02 — 核心。 对 $\mathbb R$ 上的 $A=\operatorname{diag}(1,1,4)$，求 $m_A$ 与 $\chi_A$。

P03 — 核心。 证明 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 不可对角化，并求其 $k$ 次幂（$k\ge0$）。

P04 — 证明。 若实算子满足 $T^2=4I$，证明它可对角化，允许某个特征空间为零空间。

P05 — 诊断。 两个矩阵具有相同的特征多项式，是否必有相同的最小多项式？给出反例。

P06 — 证明。 证明 $m_T$ 在相似变换下不变。

P07 — 核心。 一个实矩阵的最小多项式为 $t^2+1$。它在 $\mathbb R$ 上可对角化吗？在 $\mathbb C$ 上呢？

P08 — 证明。 若 $T$ 是有限维实内积空间上的自伴算子，解释其最小多项式为何没有重因式，并写出所用定理。

P09 — 扩展。 假设实算子满足 $(T-I)(T-3I)=0$，写出到两个特征空间的显式投影，并用它们求 $T^{-1}$。

P10 — 证明诊断。 有证明对每个特征向量验证 $\chi_T(T)v=0$ 后就断言 $\chi_T(T)=0$。给出使该证明成立的充分假设，并指出为什么一般定理还需要更多论证。

6. 完整解答

P01. 在每种特征下，$\chi_A=t^2-5t+6$，直接相乘得 $A^2=\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}=5A-6I$。由于 $\det A=6$，矩阵可逆当且仅当 $\operatorname{char}F\notin\{2,3\}$。在此情形，$A(5I-A)=(5I-A)A=6I$，故 $A^{-1}=(5I-A)/6=\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\0&1/3\end{pmatrix}$。在特征二或三时，行列式为零，不存在逆；不能除以六。但特征多项式恒等式在这两种奇异情形仍成立。

P02. 特征多项式为 $(t-1)^2(t-4)$。最小多项式为 $(t-1)(t-4)$，因为多项式作用于该对角矩阵为零，当且仅当它在两个不同对角值处都为零。 题目明确在 $\mathbb R$ 上，所以两个值不同。同一个写出的对角矩阵若改在一般域上，则要注意边界：特征三时 $4=1$，于是 $A=I_3$，$m_A=t-1$，$\chi_A=(t-1)^3$。这不改变原题实数域上的答案。

P03. 唯一特征值为一，特征空间是 $\operatorname{span}(e_1)$，所以不存在两个向量组成的特征向量基。令 $N=A-I$，则 $N^2=0$，故 $A^k=I+kN=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$，其中也包括 $k=0$。

P04. 最小多项式整除 $t^2-4=(t-2)(t+2)$，后者是互异实线性因式的乘积，因此可用对角化判据。最小多项式也可能只有 $t-2$ 或只有 $t+2$，对应标量算子；缺少一个特征值并不妨碍对角化。

P05. $I_2$ 与 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的特征多项式均为 $(t-1)^2$，但其最小多项式分别为 $t-1$ 与 $(t-1)^2$。

P06. 若 $S=P^{-1}TP$，则对任意多项式有 $p(S)=P^{-1}p(T)P$，故使 $S$ 与 $T$ 归零的多项式完全相同；它们唯一的首一最小次数零化多项式因此相同。

P07. 在 $\mathbb R$ 上，多项式不能分解成实线性因式，因此不可对角化；在 $\mathbb C$ 上它为 $(t-i)(t+i)$，根互异，因此矩阵可对角化。该多项式在扩域上无重根，但原域上的分裂条件仍然重要。

P08. 实对称谱定理给出标准正交特征向量基。在基上对不同特征值因式之积求值，可知该乘积零化 $T$。最小多项式整除该乘积，因此没有重因式。这个结论使用自伴性及谱定理，而不只依赖“所有特征值都是实数”。

P09. $P_1=(3I-T)/2$ 与 $P_3=(T-I)/2$ 之和为 $I$，像分别在 $E_1,E_3$ 中。特征空间的直和给出 $T^{-1}=P_1+\tfrac13P_3=(4I-T)/3$。将它乘以 $T$ 并使用 $T^2=4T-3I$，可直接验证这个逆。

P10. 可对角化是充分条件：此时特征向量中包含一组完整的基，而线性算子若在一组基上为零，就在整个空间为零。有缺陷的算子可能只由特征向量张成真子空间。第 2 节的系数证明不要求特征向量基，可处理所有向量。

7. 总结

一般的 Cayley–Hamilton 证明填补了只检验特征向量留下的缺口。最小多项式区分最短算子关系与特征多项式的重数；它的分裂及重因式决定可对角化性。多项式化简统一了逆、幂和特征空间投影，并要求明确基本域。