6. 谱定理

所有空间均为 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限维空间。

复数情形的存在性论证使用代数基本定理：每个非常数复多项式都有复根。本章不重证这个独立的先备定理。零维空间取空基即得结论；以下特征向量步骤只用于正维数。

若 $S$ 正规，则 $\|Sv\|=\|S^\dagger v\|$，因为两个平方由 $S^\dagger S=SS^\dagger$ 决定。若 $T$ 正规，$S=T-\lambda I$ 也正规，因此

$$Tv=\lambda v\quad\Longrightarrow\quad T^\dagger v=\bar\lambda v.$$

若 $v$ 为特征向量，由伴随恒等式，其正交补在 $T$ 和 $T^\dagger$ 下都不变。它们在该正交补上的限制仍互为伴随且可交换，因此仍正规。

复谱定理。 复空间自映射正规当且仅当它有标准正交特征基。

证明。 非零维空间的特征多项式有复根，选取并单位化一个特征向量。上述正交补论证将问题化为维数少一的正规算子；归纳得到标准正交特征基。反过来，标准正交基下的对角矩阵与其共轭转置交换，故正规。∎

自伴算子的特征值为实数：由 $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ 得 $\lambda\|v\|^2=\bar\lambda\|v\|^2$。酉算子保持范数，故其特征值模为一。这些是必要的谱性质，但任意矩阵满足它们并不足以保证自伴或酉。

实对称谱定理。 实自伴映射有实的标准正交特征基。为证明实特征值存在，将实对称矩阵复化；由前述计算，任何复特征值都是实数。复特征向量的实部或虚部至少有一个非零，且是对应实特征值的实特征向量。将其单位化，再对其不变的实正交补归纳。实正规算子不一定有实特征值；平面旋转是标准反例。

实正规条件本身不足以保证实特征基底：非平凡平面旋转可为实正交及正规，但可能没有实特征向量。复数域上正规算子的特征值未必为实数；自伴性是使其为实数的额外条件。

这里共享正文的 $T^\dagger$ 与前一单元的 $T^*$ 是同一 Hermitian 伴随。正交归一特征基底的列矩阵 $U$ 是酉矩阵，所以对角化写成 $A=UDU^*$。实数情形为 $A=QDQ^{\mathsf T}$，其中 $Q$ 正交而 $D$ 是实对角矩阵。

例题

正交对角化

令 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。正交归一特征向量 $q_1=(1,1)/\sqrt2$、$q_2=(1,-1)/\sqrt2$ 的特征值分别为 $3,1$。令 $Q=(q_1\ q_2)$，则 $A=Q\operatorname{diag}(3,1)Q^{\mathsf T}$。例如对每个非负整数 $k$，$A^k=Q\operatorname{diag}(3^k,1)Q^{\mathsf T}$。

选择方法与常见错误

先检查域和结构。对实对称矩阵，求各特征空间，在每个重特征值空间内选正交归一基底，再合并；不同特征空间已经正交。仅可对角化的矩阵未必有正交归一特征基底。$Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$ 只适用于正交 $Q$；复数情形用 $U^*$。

练习

1. 正交对角化 $\begin{pmatrix}4&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 并求其平方。
2. 对例题的矩阵，求实单位向量 $x$ 上 $x^{\mathsf T}Ax$ 的最大值及所有最大化向量。
3. 举一个不能在 $\mathbb R$ 上对角化的实正规矩阵，并解释为何不违反复谱定理。

完整解答

1. 已为对角矩阵：取 $Q=I$、$D=\operatorname{diag}(4,-1)$，其平方为 $\operatorname{diag}(16,1)$。
2. 写 $x=a q_1+b q_2$，其中 $a^2+b^2=1$。则 $x^{\mathsf T}Ax=3a^2+b^2=1+2a^2\le3$。等号恰在 $b=0$ 成立，故最大化向量为 $\pm q_1$。
3. 四分之一圈旋转矩阵 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 正交，因此正规，但其特征多项式 $t^2+1$ 没有实根。在 $\mathbb C$ 上它有正交归一特征基底，正如复谱定理所述。

连系

同样的正交坐标变换可分类实二次型。二次型与 Jordan 型在此均为选读补充，并不表示任何特定现行考试的范围。