3. 特征结构与对角化

定义

特征值与特征空间

对域 $F$ 上的 $T:V\to V$，若有非零 $v$ 满足 $Tv=\lambda v$，则 $\lambda\in F$ 是特征值。其特征空间为 $E_\lambda=\ker(T-\lambda I)$。对矩阵 $A$，$\lambda$ 是特征值当且仅当 $\chi_A(\lambda)=0$，其中 $\chi_A(t)=\det(tI-A)$。

定理

线性独立与对角化

属于不同特征值的特征向量线性独立。$n$ 维空间的自映射可在 $F$ 上对角化，当且仅当其不同特征空间的维数之和为 $n$。每个特征值的几何重数 $\dim E_\lambda$ 至多等于它作为 $\chi_A$ 根的代数重数。

证明

不同特征值为何给出线性独立

假设最短非平凡关系为 $\sum_{i=1}^k c_iv_i=0$，特征值各异。施以 $T-\lambda_k I$ 得 $\sum_{i=1}^{k-1}c_i(\lambda_i-\lambda_k)v_i=0$，是更短的非平凡关系，矛盾。因此各特征空间的基底合并后线性独立，其长度为 $n$ 时恰为特征基底。为证重数上界，将 $E_\lambda$ 的基底扩充成 $V$ 的基底；所得矩阵左上角为 $\lambda I$ 区块，下方是零区块，故特征多项式含因子 $(t-\lambda)^{\dim E_\lambda}$。

实用判别法：在指定域中分解 $\chi_A$，求各特征空间基底，检查维数总和是否为 $n$。等价地，多项式须完全分解，且每个根的几何重数等于代数重数。重根本身不会阻止对角化；在 $F$ 上不完全分解则不能在 $F$ 上对角化。

例题

缺少特征向量的重特征值

对 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$，$\chi_A(t)=(t-2)^2$。解 $(A-2I)v=0$ 得 $v=(s,0)$，故 $\dim E_2=1<2$，不可对角化。相比之下 $2I$ 的特征多项式相同，但特征空间为二维。

若 $A=PDP^{-1}$，$P$ 的列是特征向量，且对非负整数 $k$ 有 $A^k=PD^kP^{-1}$；这并不表示所有矩阵都可对角化。须指明域：实旋转矩阵 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb C$ 上有特征值 $\pm i$，但没有实特征值。

练习

1. 对角化 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 并求 $A^3$。
2. 判断 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 上是否可对角化。
3. 证明：$n\times n$ 矩阵若在 $F$ 中有 $n$ 个不同特征值，便可在 $F$ 上对角化。

完整解答

1. 对 $1$ 的特征向量可取 $(1,0)$，对 $2$ 可取 $(1,1)$。故 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$D=\operatorname{diag}(1,2)$，且 $A=PDP^{-1}$。因此 $A^3=\begin{pmatrix}1&7\\0&8\end{pmatrix}$。
2. 特征多项式为 $t^2+1$，没有实根，故不可在 $\mathbb R$ 上对角化。在 $\mathbb C$ 上有不同根 $i,-i$，故可对角化；相应特征向量可取 $(1,-i)$ 和 $(1,i)$。
3. 每个特征值各选一个非零特征向量。不同特征值的线性独立性给出 $n$ 个独立向量，因而为基底；在此基底下矩阵为对角矩阵。

连系

内积为特征结构加上几何。根据谱定理，正规或对称结构可提供正交归一特征基底，而不只是一般特征基底。