8. 选读补充：Jordan 型

零维情形取空链基底即可。余下设 $V\ne0$。选一个有序基并写 $A=[T]$，故 $\chi_T(t)=\det(tI-A)$。先建立多项式关系与直和分解，整个论证不预先假设 Jordan 型存在。

全章中，$V$ 是域 $F$ 上的非零有限维向量空间，且 $T\in\operatorname{End}_F(V)$。除非另有说明，不假设代数闭性。

对 $p(t)=\sum_{j=0}^dc_jt^j$，定义 $p(T)=\sum c_jT^j$，其中 $T^0=I$。同一算子的各次幂可交换，所以 $(pq)(T)=p(T)q(T)$，代入是环同态 $F[t]\to\operatorname{End}(V)$。这不允许在任意矩阵系数恒等式中，用不交换的矩阵随意替换变量。

定理。 $\chi_T(T)=0$。

证明。 令 $\chi_A(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k$ 且 $c_n=1$。交换多项式环 $F[t]$ 上的伴随矩阵恒等式给出

设 $B_{-1}=B_n=0$。比较系数得到对 $0\le k\le n$，$B_{k-1}-AB_k=c_kI$。将第 $k$ 个等式左乘 $A^k$ 并求和，各项相消：

这就是 $\chi_A(A)=0$。这里仅使用系数恒等式和结合律，没有未经说明地对可能含不交换系数的矩阵多项式作代入。∎

凯莱–哈密顿定理提供了非零零化多项式；选择次数最小的首一零化多项式，称为 $m_T$。多项式除法证明

事实上写 $p=qm_T+r$，其中 $\deg r<\deg m_T$。若 $p(T)=0$，则 $r(T)=0$；由最小性 $r=0$。同一论证给出唯一性，特别有 $m_T\mid\chi_T$。非零常数多项式不能零化非零空间，所以 $m_T$ 的次数为正。

双因式分解。 若 $f,g\in F[t]$ 互素且 $f(T)g(T)=0$，则

证明。 多项式欧几里得算法给出 $af+bg=1$。对任意 $v$，

第一个项属于 $\ker g(T)$，第二个属于 $\ker f(T)$，因为多项式算子可交换且 $f(T)g(T)=0$。若 $v$ 同时属于两个核，相同恒等式给出 $v=0$。∎

将这一论证反复应用于不同首一不可约因式的分解

得到主分解

每个直和项都不变。在 $m_T$ 分解为线性因式的域上，它们是广义特征空间。在 $\mathbb R$ 上可能保留不可约二次式，不能把它重新称为实特征空间。最小多项式为 $m=t^2+1$ 的实旋转矩阵体现了这一障碍。

因为 $m_T\mid\chi_T$，且 $\chi_T$ 在 $F$ 上完全分解，可写 $m_T=\prod_\lambda(t-\lambda)^{s_\lambda}$。上述主分解给出 $V=\bigoplus_\lambda\ker(T-\lambda I)^{s_\lambda}$。每个直和项都不变，$T-\lambda I$ 在其中的限制为幂零算子。以下对像子空间归纳，完整证明所需的链基底定理。

若某个正整数 $s$ 满足 $N^s=0$，算子 $N$ 是幂零的。在非零空间上，满足条件的最小指数称为幂零指数。

定理。 有限维空间上的幂零算子有由链组成的基。

对 $\dim V$ 归纳证明。 零空间有空基。设 $V\ne0$，令 $W=NV$。幂零性说明 $W$ 是真子空间：若 $N$ 满射，则其每次幂都满射，这与非零 $V$ 上某次幂为零矛盾。$N$ 在 $W$ 上的限制幂零，由归纳法选其链基

当 $W=0$ 时没有这样的链，故 $k=0$。链顶 $w_{i,r_i}$ 模 $NW$ 后构成 $W/NW$ 的基：在链基中，$NW$ 由各链除顶端之外的所有项张成。

每个链顶位于 $W=NV$，所以可选 $v_i\in V$ 使 $Nv_i=w_{i,r_i}$。于是扩充后的链 $w_{i,1},\ldots,w_{i,r_i},v_i$ 合起来线性无关。事实上，若 $\sum_i a_iv_i+w=0$、$w\in W$，作用 $N$ 得 $\sum_i a_iw_{i,r_i}+Nw=0$。其商空间基性质使所有 $a_i=0$，随后由 $W$ 的基线性无关得 $w=0$。

令 $E$ 为扩充链的张成空间。我们有 $W\subseteq E$、$NE=W$ 和 $\dim E=\dim W+k$，所以对 $N|_E$ 使用秩–零度定理得到 $\dim(E\cap\ker N)=k$。将该交集的一个基扩充为 $\ker N$ 的基，并将额外向量作为长度为一的链接在扩充链之后。根据在 $\ker N$ 中取补空间的定义，它们与 $E$ 线性无关。向量总数为

这里对 $V$ 上的 $N$ 使用秩–零度定理。因此它们构成所需的完整链基。∎

证明也说明为何任意选择各次核的基不够：链顶必须可以提升且彼此相容。构造链不仅是知道核的维数。

在每个主分量上应用此定理，再把 $\lambda I$ 加回相应的幂零限制。合并各直和项的链基底，就在整个 $V$ 上证明了 Jordan 存在性。这里使用像空间归纳；后面的核滤过章节另外证明兼容商空间代表元的构造方法，两种方法不能混称。

为证唯一性及计数，长度 $r$ 的 $\lambda$ 区块对 $d_k$ 贡献 $\min(k,r)$。对另一个特征值 $\mu\ne\lambda$ 的区块，令 $a=\mu-\lambda\ne0$，其幂零部分满足 $R^r=0$。有限恒等式

可直接相乘验证：中间各次幂相消，余下的 $R^r$ 项为零。因此该区块不贡献任何核维数。于是 $d_k=\sum_r b_r\min(k,r)$，其中 $b_r$ 是大小 $r$ 的 $\lambda$ 区块数。取一次差得 $d_k-d_{k-1}=\sum_{r\ge k}b_r$，再取差得 $2d_k-d_{k-1}-d_{k+1}=b_k$。这些内在核维数确定所有区块大小，证明除次序外的唯一性。