1. 空间、映射与维数

除非另有说明，$F$ 是域，每个维数公式中的空间均为有限维。

除非另有说明，$F$ 是域，向量空间均为有限维。熟悉的列向量空间 $F^n$ 只是向量空间的一个模型：多项式、矩阵及函数也可以是向量。关键是运用它们的运算，而非外观。

定义

子空间与直和

向量空间 $V$ 的非空子集 $U$ 是子空间，若对所有 $u,v\in U$ 及 $a,b\in F$，均有 $au+bv\in U$。子空间 $U,W$ 的和为 $U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}$。若每个元素的这种分解唯一，称其为直和，记作 $U\oplus W$；这等价于 $U\cap W=\{0\}$。

把两个分解相减便得出等价性；反过来，交集中非零向量会有两个分解。串接 $U,W$ 的基底可张成其和；该串接列表线性独立当且仅当和为直和。

对两个子空间 $U,W$，其和为 $U+W=\{u+w\}$。当且仅当 $U\cap W=\{0\}$ 时它是直和，记作 $U\oplus W$；等价地，和中每个向量有唯一分解。将 $U\cap W$ 的基分别扩充为 $U$ 和 $W$ 的基，合并扩充后的列表给出

$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).$$

为检查线性无关性，把 $U$ 和 $W$ 的线性组合移到等式两边：共同向量位于交集中，因此额外基向量的系数为零，随后交集基向量的系数也为零。有限维空间的每个子空间都可由基扩充得到补空间，但补空间通常不唯一，也不具有规范性。

定义

核与像

若 $T:V\to W$ 满足 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$，则称为线性映射。其核为 $\ker T=\{v:T(v)=0\}$，像为 $\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}$；两者均为子空间。$T$ 单射当且仅当 $\ker T=\{0\}$，满射当且仅当 $\operatorname{im}T=W$。

映射 $T:V\to W$ 若满足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$，则为线性。其核与像都是子空间。选取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$，并以 $v_1,\ldots,v_s$ 扩充为基，则 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 构成 $\operatorname{im}T$ 的基：展开任意输入可证明张成性；若这些像线性相关，相应输入组合落入核，而扩充基的线性无关性迫使所有系数为零。因此

$$\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.$$

这就是秩–零度定理。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。

例题

多项式微分

令 $P_2$ 为次数至多二的实多项式空间，$D:P_2\to P_2$ 为微分。若 $p=a+bx+cx^2$，则 $Dp=b+2cx$。故 $\ker D=\operatorname{span}\{1\}$，$\operatorname{im}D=\operatorname{span}\{1,x\}$；维数 $1+2=3$ 符合秩–零化度定理。以 $P_2$ 为陪域时，$D$ 既非单射亦非满射。

选择方法与常见错误

用子空间判别法证明封闭性，用基底证明维数；当核或像其中之一较易求时用秩–零化度。用交集检查分解是否唯一；和不一定是直和。不要未经证明把核当成零向量，或把像当成陪域。有限维空间的自映射中单射等价于满射，但任意不同维数的定义域与陪域并非如此。

练习

1. 在 $P_2$ 中令 $U=\operatorname{span}\{1,x\}$、$W=\operatorname{span}\{x,x^2\}$。求 $U\cap W$ 及 $\dim(U+W)$。
2. 令 $T:P_2\to\mathbb R^2$ 把 $p$ 映至 $(p(0),p(1))$。求核的基底，并判断是否满射。
3. 证明：有限维 $V$ 上的线性自映射若单射，则满射。

完整解答

1. 同时在两个张成空间内的多项式没有常数项及二次项，故 $U\cap W=\operatorname{span}\{x\}$。其和为 $P_2$，维数为 $2+2-1=3$。
2. 设 $p=a+bx+cx^2$，条件为 $a=0$ 及 $b+c=0$。故 $p=c(x^2-x)$，核的基底为 $\{x^2-x\}$。秩–零化度给出像的维数 $3-1=2$，所以像是整个 $\mathbb R^2$。
3. 单射给出零核。秩–零化度得 $\dim\operatorname{im}T=\dim V$；有限维空间中同维子空间等于全空间，故满射。

连系

选取基底后，这些结构命题变成矩阵命题。核与像的维数不依赖基底的选择。