2. 坐标与基底变换

除非另有说明，$F$ 是域，每个维数公式中的空间均为有限维。

坐标以有序基底描述向量；更换基底时坐标会变，向量和线性映射本身却不变。

定义

映射的矩阵

给定 $V$ 的有序基底 $B=(v_1,\ldots,v_n)$ 与 $W$ 的有序基底 $C=(w_1,\ldots,w_m)$，矩阵 $[T]_{C\leftarrow B}$ 的第 $j$ 列为 $[T(v_j)]_C$，故 $[T(v)]_C=[T]_{C\leftarrow B}[v]_B$。若 $S:W\to X$ 且 $D$ 是 $X$ 的有序基底，则 $[ST]_{D\leftarrow B}=[S]_{D\leftarrow C}[T]_{C\leftarrow B}$。

基 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ 通过坐标同构将 $V$ 与 $F^n$ 对应。对基 $B,C$，矩阵 $[T]_{C\leftarrow B}$ 的各列为 $[Tb_j]_C$。对自映射，按 $[v]_B=P[v]_{B'}$ 换基得到

$$[T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP.$$

这是相似变换，定义域与陪域采用同一换基。一般映射在定义域和陪域独立换基会得到 $Q^{-1}AP$，是不同的等价问题。

证明

追踪坐标

对每个 $v$，旧输出坐标为 $AP[v]_{B'}$，亦等于 $Q[T(v)]_{C'}$。基底变换矩阵可逆，解出新输出坐标即得 $Q^{-1}AP$；自映射时 $Q=P$。

例题

非标准多项式基底

在次数至多一的实多项式空间 $P_1$ 上令 $T(p)=p'$，$B'=(1+x,1)$。$1+x$ 的导数是 $1=0(1+x)+1(1)$，而 $1$ 的导数是零，因此 $[T]_{B'\leftarrow B'}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$。相对 $B=(1,x)$，矩阵为 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$；$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$，确有 $P^{-1}AP$ 等于上述矩阵。

相似保持特征多项式、行列式、迹、秩及特征值，因为它表示同一自映射在另一基底下的矩阵。行列式和迹相等并不足以推出相似。行运算不一定是相似变换，一般会改变所表示的自映射。决定变换矩阵方向时，先写出坐标等式再相乘。

练习

1. $T(x,y)=(x+2y,y)$ 作用于 $\mathbb R^2$，$B'=((1,0),(1,1))$。求 $[T]_{B'\leftarrow B'}$。
2. 用 $\chi_A(t)=\det(tI-A)$ 证明相似矩阵有相同特征多项式。
3. $I_2$ 与 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 是否相似？说明理由。

完整解答

1. $T(1,0)=(1,0)$ 在 $B'$ 下坐标为 $(1,0)$；$T(1,1)=(3,1)=2(1,0)+(1,1)$ 的坐标为 $(2,1)$。矩阵是 $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$。
2. 若 $B=P^{-1}AP$，则 $tI-B=P^{-1}(tI-A)P$。行列式乘法给出 $\det(tI-B)=\det(P^{-1})\det(tI-A)\det(P)=\det(tI-A)$。
3. 不相似：对每个可逆 $P$，$P^{-1}I_2P=I_2$，不同于第二个矩阵。特征多项式相同并不足够。

连系

特征基底使自映射的矩阵成为对角矩阵；下一单元研究这样的基底何时存在。