5. 伴随算子与特殊算子

所有空间均为 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限维空间。

本单元中 $V$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限维内积空间，内积对第一变数线性；所有算子都是 $V$ 的自映射。

共享证明用 $T^\dagger$ 表示 Hermitian 伴随；本章的 $T^*$ 表示完全相同的算子，并把共享证明中的映射限制为 $V$ 的自映射。它不是矩阵只作普通转置的代数对偶映射。

每个线性泛函 $\varphi$ 都可唯一写成 $\varphi(v)=\langle v,w\rangle$，其中 $w$ 是一个向量。在标准正交基 $q_j$ 下，取 $w=\sum_j\overline{\varphi(q_j)}q_j$，并在基向量上验证。这个表示依赖内积。在 $\mathbb C$ 上，对应 $w\mapsto\langle\cdot,w\rangle$ 是共轭线性的，不是与代数对偶的复线性对应。

对 $T:V\to W$，其伴随 $T^\dagger:W\to V$ 由下式唯一定义：

$$\langle Tv,w\rangle_W=\langle v,T^\dagger w\rangle_V.$$

对每个 $w$，泛函表示证明存在性与唯一性；本约定下的共轭关系表明 $T^\dagger$ 线性。在标准正交基下其矩阵为 $A^*=\bar A^{\mathsf T}$。相比之下，C01 的代数对偶映射在对偶基下采用普通转置，且方向为 $W^*\to V^*$。二者相关，但定义不同。

在定义恒等式中取值可得

$$(ST)^\dagger=T^\dagger S^\dagger,\quad (T^\dagger)^\dagger=T,\quad (\alpha T)^\dagger=\bar\alpha T^\dagger.$$

此外，

$$(\operatorname{im}T)^\perp=\ker T^\dagger,\qquad \operatorname{im}T^\dagger=(\ker T)^\perp.$$

第一式来自：$w$ 与每个 $Tv$ 正交当且仅当 $T^\dagger w=0$。对 $T^\dagger$ 使用第一式并取正交补，便得到有限维中的第二式。

自映射若 $T=T^\dagger$ 是自伴的；若 $T^\dagger T=TT^\dagger=I$ 是酉的（在 $\mathbb R$ 上称正交）；若 $T^\dagger T=TT^\dagger$ 是正规的。自伴和酉映射均正规，但正规映射可以两者都不是。

选正交归一基底。若 $T$ 的矩阵为 $A$，则 $T^*$ 的矩阵为共轭转置 $A^*=\overline{A}^{\mathsf T}$。此式亦证明伴随存在且唯一：直接代入可验证，而正交归一坐标决定它。此外 $(ST)^*=T^*S^*$ 及 $(T^*)^*=T$。酉算子保持内积与范数；有限维时保持范数亦推出酉性（由极化与单射性）。

在正交归一列坐标中，第一变数线性的惯例写成 $\langle x,y\rangle=y^*x$，故

$$\langle Ax,y\rangle=y^*Ax=(A^*y)^*x=\langle x,A^*y\rangle.$$

若两个候选伴随均满足定义，其差 $B$ 对所有 $v,w$ 满足 $\langle v,Bw\rangle=0$；取 $v=Bw$ 即得 $Bw=0$，证明唯一性。此外，

$$\langle STv,w\rangle=\langle Tv,S^*w\rangle=\langle v,T^*S^*w\rangle,$$

所以 $(ST)^*=T^*S^*$；共轭对称性同样给出 $(T^*)^*=T$。

从范数恢复内积的步骤也可写全。在本惯例下，复数域上有

$$4\langle v,w\rangle=\|v+w\|^2-\|v-w\|^2 +i\bigl(\|v+iw\|^2-\|v-iw\|^2\bigr).$$

实数域上省去虚部。保持范数的线性映射保持右边四个范数，所以保持内积。因此对所有 $v,w$，$\langle v,T^*Tw\rangle=\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle$，由此 $T^*T=I$。保持范数使 $T$ 单射，有限维秩–零化度再使它可逆，故 $T^*=T^{-1}$，也有 $TT^*=I$。这里没有使用无限维的满射结论。

若 $S$ 正规，则 $\|Sv\|=\|S^\dagger v\|$，因为两个平方由 $S^\dagger S=SS^\dagger$ 决定。若 $T$ 正规，$S=T-\lambda I$ 也正规，因此

$$Tv=\lambda v\quad\Longrightarrow\quad T^\dagger v=\bar\lambda v.$$

若 $v$ 为特征向量，由伴随恒等式，其正交补在 $T$ 和 $T^\dagger$ 下都不变。它们在该正交补上的限制仍互为伴随且可交换，因此仍正规。

自伴算子的特征值为实数：由 $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ 得 $\lambda\|v\|^2=\bar\lambda\|v\|^2$。酉算子保持范数，故其特征值模为一。这些是必要的谱性质，但任意矩阵满足它们并不足以保证自伴或酉。

证明

范数与特征向量

由 $\|Tv\|^2=\langle T^*Tv,v\rangle$ 及 $\|T^*v\|^2=\langle TT^*v,v\rangle$ 得范数等式。$T-\lambda I$ 亦正规，故其范数等式表明 $(T-\lambda I)v=0$ 蕴含 $(T^*-\overline\lambda I)v=0$。若 $T=T^*$ 且 $Tv=\lambda v$、$v\ne0$，前述结果给出 $\lambda=\overline\lambda$。若 $Tu=\lambda u$、$Tv=\mu v$ 且 $T$ 自伴，则 $\lambda\langle u,v\rangle=\langle Tu,v\rangle=\langle u,Tv\rangle=\overline\mu\langle u,v\rangle$；不同的实特征值迫使内积为零。

例题

正规算子未必自伴

在 $\mathbb C^2$ 上，$A=\operatorname{diag}(i,1)$ 的 $A^*=\operatorname{diag}(-i,1)$，且 $AA^*=A^*A=I$。它是酉及正规的，但并非自伴。因此正规性弱于自伴性。

选择方法与常见错误

对正交归一基底下的矩阵，计算 $A^*$ 并比较乘积；概念论证则用定义中的内积等式。复数域上单用转置是错误的。非正交归一基底下，共轭转置一般不是伴随的矩阵。不同特征值的特征向量正交，若没有正交归一特征基底张成全空间，仍不足以证明正规。

练习

1. 判断 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 上是否自伴、正规、正交。
2. 令 $P$ 为到 $U$ 的正交投影，证明 $P=P^*$ 及 $P^2=P$。
3. 证明酉算子的特征值绝对值为 $1$。

完整解答

1. $A^*=A^{\mathsf T}=-A\ne A$。由 $A^{\mathsf T}A=AA^{\mathsf T}=I$ 知它正交，因此正规，但不自伴。
2. 在 $U\oplus U^\perp$ 中写 $v=u+u_\perp$、$w=z+z_\perp$。则 $Pv=u$、$Pw=z$，且 $\langle Pv,w\rangle=\langle u,z\rangle=\langle v,Pw\rangle$。伴随唯一，故 $P=P^*$；再次投影 $u$ 得 $P^2v=Pv$。
3. 若非零 $v$ 满足 $Tv=\lambda v$，保持范数给出 $\|v\|=\|Tv\|=|\lambda|\|v\|$；除以正数 $\|v\|$ 即得。

连系

谱定理刻画具有正交归一特征基底的复算子：恰为正规算子。实数域上，对称算子则有这样的基底。