4.4 隱函數與局部反函數

固定整數 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用歐幾里得範數。集合若包含在某個有限半徑的球內，就稱為有界；若補集是開集，就稱為閉集；若它的每個由 $\mathbb R^n$ 中開集組成的覆蓋都有有限子覆蓋，就稱為緊集。我們使用實數完備性，包括閉區間套性質。

有限維歐幾里得空間的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，當且僅當它閉且有界。空集具有這三種性質。

緊致推出有界。 開球 $B(0,m)$（整數 $m\ge1$）覆蓋 $K$。取有限子覆蓋後，$K$ 包含在其中最大的球內。

緊致推出閉。 設 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。開球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆蓋 $K$。取中心為 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆蓋，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 為中心的所選球內，三角不等式給出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不與 $K$ 相交，補集是開集。

閉且有界推出緊致。 設非空的 $K$ 閉且有界，把它包含在閉立方體 $Q_0=[-M,M]^n$ 內，其中 $M>0$。假設 $K$ 的某個開覆蓋沒有有限子覆蓋。把每個坐標區間分成兩個閉半區間，所得 $2^n$ 個閉子立方體覆蓋 $Q_0$。至少一個子立方體與 $K$ 的交集不能由給定覆蓋族有限覆蓋；否則把有限多個有限子覆蓋合併，就能覆蓋 $K$。選取這樣的子立方體並重複，得到閉立方體套 $Q_j$，其邊長為 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆蓋，因而非空。

對每個坐標使用閉區間套性質，得到公共坐標值；合起來得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意兩點的距離不超過 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。選取 $x_j\in K\cap Q_j$，則 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。閉集包含這種極限：若 $p$ 在開補集中，$p$ 周圍某個開球就會使最終的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆蓋中有一個成員 $O$ 含 $p$，由開放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。當 $j$ 足夠大時，$Q_j$ 的每點到 $p$ 的距離都小於 $\varepsilon$，於是單個 $O$ 就覆蓋 $K\cap Q_j$，與 $Q_j$ 的選取矛盾。因此每個開覆蓋都有有限子覆蓋。這裏 $2^n$ 是有限數；若改成無限多個子塊，這個論證就不再成立。

連續像與極值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相對於 $K$ 連續，則 $F(K)$ 緊致。特別地，非空緊集 $K$ 上的連續函數 $f:K\to\mathbb R$ 有界，並達到最大值和最小值。

證明。 $F(K)$ 的開覆蓋 $(O_i)$ 的原像是相對開集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中開。這些 $U_i$ 覆蓋 $K$，所以有限多個足夠。對應的 $O_i$ 覆蓋 $F(K)$，證明了像的緊致性。對標量函數 $f$，由已證明定理的一維情形，其像非空、閉且有界。令 $a=\sup f(K)$。對每個 $j\ge1$，由上確界定義，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。於是 $y_j\to a$，閉性使 $a$ 屬於像，所以最大值可達。對 $-f$ 使用同一論證即得最小值。該結論證明存在性，而不提供極大點的計算公式。

唯一性所需的實零導數引理

已選的有限歐氏緊致性與極值證明，保證連續實函數在 $[a,b]$ 上取得極值。內部可微極值點的左右差商迫使導數為零。連續函數 $g$ 若兩端值相同，則或者恆定，或者有內部最大值或最小值；故內部可微時有一點導數為零，這就是 Rolle 論證。對實可微函數 $f$，減去端點割線並應用該論證，得到某個 $c\in(a,b)$ 滿足 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。因此區間上導數為零的實函數恆定。對實參數複值函數的實部與虛部分別應用該結論，得到相同的恆定結論；這裏沒有假設複中值等式。

實內積、誘導範數與所需不等式

實向量空間上的內積是取值於實數的映射 $\langle u,v\rangle$，它對稱、對每個變量線性，並且正定：$v\ne0$ 時 $\langle v,v\rangle>0$。線性性給出 $\langle0,v\rangle=0$。定義 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，則範數恰在零向量處為零，且 $\|cv\|=|c|\|v\|$。$\mathbb R^m$ 上的標準例子是 $\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^mu_iv_i$。內積為零的向量稱為正交；不同成員互相正交且每個成員範數為一的列表稱為正交規範列表。

若 $v\ne0$，將 $t=\langle u,v\rangle/\|v\|^2$ 代入非負平方 $\|u-tv\|^2$，以雙線性展開得 $\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2/\|v\|^2\ge0$，故 $|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|$。若 $v=0$，該不等式直接成立。對 $v\ne0$，等號意味着 $\|u-tv\|=0$，等價於 $u=tv$；零向量情形也取等。最後展開 $\|u+v\|^2$ 並對交叉項使用該界，得到 $\|u+v\|^2\le(\|u\|+\|v\|)^2$。待開方的兩邊非負，因此得到三角不等式。這確實定義了範數，任何非零向量的歸一化都只除以正實數；這裏不使用複雙線性的約定。

交換環上的 Leibniz 行列式與交錯性

設 $R$ 為含單位的交換環，$n\ge1$，且 $A\in M_n(R)$。定義

符號為 $(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$，在 $R$ 中解釋。交換排列中相鄰的兩項，會使逆序數的奇偶性改變。以相鄰逆序交換排序，便將其符號表示為這些交換符號的乘積。把 $\tau$ 的相鄰交換分解應用於 $\sigma$ 的位置，得到 $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$；一個對換的符號為 $-1$。這些先是整數奇偶性事實，之後才將符號映入 $R$。

有限公式對每行及每列多重線性。若兩行相同，把每個排列項與交換這兩行所選列後的項配對。兩項不同，乘積相同而符號相反，故任何特徵下兩項之和均為零。因此重複行使行列式為零；重複列同理。這是成對抵消，不是從 $2\det A=0$ 推出零。交換行或列，由相同的排列替換得到變號。另有 $\det I=1$；在和式中以 $\sigma^{-1}$ 替換 $\sigma$ 得 $\det A^{\mathsf T}=\det A$。

所需唯一性原理即使有零因子也成立。若 $D$ 是 $R^n$ 中 $n$ 個列向量的交錯多重線性函數，在標準基中展開每個輸入。含重複基向量的項為零；其餘指標列為排列。交換兩位置使 $D$ 變號，因為展開 $D(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots)=0$ 得 $D(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)+D(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)=0$。故整個展開等於 $D(e_1,\ldots,e_n)$ 乘以輸入列的 Leibniz 行列式。這裏沒有除法，也沒有域假設。

乘法性、三角分塊與伴隨矩陣

固定 $A$，函數 $D(v_1,\ldots,v_n)=\det(Av_1,\ldots,Av_n)$ 交錯且多重線性，並滿足 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$。將前述唯一性原理用於 $B$ 的各列，得到

對方塊大小為 $p,q$ 的 $\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}$，非零 Leibniz 項必須把最後 $q$ 行全配到最後 $q$ 列，否則含一個左下零元素。這些行用盡那些列，故前 $p$ 行只能使用前 $p$ 列。剩餘排列恰為兩塊內部排列的組合，符號與單項式均為兩塊對應量的乘積。求和得 $\det B\det D$，也包括以空行列式為一的空塊。該論證允許某些項因其他原因變零，不要求無零因子。

記 $A_{ij}^{\widehat{\ } }$ 為刪去第 $i$ 行和第 $j$ 列的矩陣，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}^{\widehat{\ } }$。按 $\sigma(i)=j$ 將 Leibniz 和分組，得到行餘子式展開 $\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}$。把第 $i$ 行、第 $j$ 列移到首位，共作 $i+j-2$ 次相鄰交換，剩餘排列作用於未刪除指標，這就給出符號因子。轉置給出列展開。定義 $\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}$。$A\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i,j)$ 元素為 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$，它是將第 $j$ 行替換為第 $i$ 行後矩陣的餘子式展開。當 $i=j$ 時為 $\det A$；否則由重複行抵消為零。列論證給出另一乘積。因此

當 $n=1$，空餘子式行列式為一，故伴隨矩陣為 $[1]$，恆等式仍成立。當 $n=0$，定義伴隨矩陣為空矩陣；恆等式是唯一空矩陣之間的等式，而行列式仍為一。本節全部結果適用於 $R=F[t]$，從未除以行列式。

向量空間是在域 $F$ 上配備加法和數乘，並滿足通常的阿貝爾群及分配律公理的集合。欄向量只是一個模型。次數至多為 $d$ 的多項式空間 $P_d(F)$ 和空間之間的線性映射也是模型。零多項式屬於 $P_d(F)$，雖然其次數通常不定義。

子空間包含零，且對加法和數乘封閉。若每個向量都是某列表中向量的線性組合，該列表張成空間；若只有零系數組合能得到零，它線性無關。基同時滿足兩者。有限生成列表可通過刪除相關項縮減成基；線性無關列表可通過添加其張成空間外的向量擴充成基，直到張成給定的有限生成列表。

交換引理。 若 $r$ 個向量的線性無關列表位於 $s$ 個向量的張成空間中，則 $r\le s$。理由是：用生成列表表示第一個無關向量，利用某個非零系數，以它替換一個生成向量，再重複。每一步的線性無關性保證下一個無關向量對尚未被替換的某個生成向量有非零系數，因此至少需要 $r$ 個位置。對兩個基雙向比較得到長度相等；共同長度為 $\dim V$。

因此在 $n$ 維空間中，任意 $n$ 個線性無關向量構成基，任意 $n$ 個張成向量也構成基。只有在證明線性無關性或張成性之後，計數列表才有用。

映射 $T:V\to W$ 若滿足 $T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu$，則為線性。其核與像都是子空間。選取 $\ker T$ 的基 $k_1,\ldots,k_r$，並以 $v_1,\ldots,v_s$ 擴充為基，則 $Tv_1,\ldots,Tv_s$ 構成 $\operatorname{im}T$ 的基：展開任意輸入可證明張成性；若這些像線性相關，相應輸入組合落入核，而擴充基的線性無關性迫使所有系數為零。因此

這就是秩–零度定理。有限維且維數相等時，單射與滿射等價；無限維空間中該等價可能失效。

域上的橋樑：奇異性與特徵多項式

現在令 $R=F$ 為域。若 $\det A\ne0$，伴隨恆等式給出逆矩陣 $\operatorname{adj}(A)/\det A$。若 $A$ 可逆，由乘法性 $\det A\det A^{-1}=1$，故 $\det A\ne0$。C01 已證的秩—零度定理說明有限方陣線性映射的核為零當且僅當可逆。因此 $\det A=0$ 當且僅當有非零核。

對固定 $A\in M_n(F)$，將交換環構造用於 $tI-A\in M_n(F[t])$。其行列式是首一 $n$ 次多項式：恆等排列的乘積貢獻 $t^n$，其餘排列均用到一個非對角常數元素，故其乘積或者為零，或者次數小於 $n$。乘法性證明可逆常數矩陣 $P$ 下 $A\mapsto P^{-1}AP$ 的不變性；分塊三角公式證明限制—商空間的因式分解。最後，伴隨矩陣各元素或者為零，或者次數至多為 $n-1$，所以 C02 的凱萊—哈密頓證明可以合法比較係數。在零維情形，特徵多項式為空行列式一；代入後得到零空間上的恆等算子，它就是零算子，所以凱萊—哈密頓定理單獨直接成立。這給出實際的交換環行列式先修證明，沒有擴張任何僅適用實數的行列式 authority。

對子空間 $U\subseteq V$，當 $v-w\in U$ 時定義 $v\sim w$，這是等價關係。其等價類是陪集 $v+U$，商空間 $V/U$ 的運算為

改變代表元只會加上 $U$ 中元素，所以運算良定義。投影 $\pi:V\to V/U$ 是線性滿射，核為 $U$。若 $u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s$ 如上構成擴充基，則 $v_1+U,\ldots,v_s+U$ 構成商空間的基，證明

商空間是等價類的空間，不是某個選定補空間，雖然任一選定補空間都同構地映到它。

因式分解定理。 線性映射 $T:V\to W$ 當且僅當 $U\subseteq\ker T$ 時可下降為滿足 $T=\widetilde T\pi$ 的映射 $\widetilde T:V/U\to W$。此時 $\widetilde T(v+U)=Tv$ 良定義且唯一。當 $U=\ker T$ 時，該映射單射且映滿 $\operatorname{im}T$，得到第一同構定理

公式本身證明所有斷言：代表元之差被 $T$ 消去；商類映到零當且僅當其代表元屬於核。

對偶空間 $V^*$ 由線性函數 $\varphi:V\to F$ 組成。對基 $b_1,\ldots,b_n$，對偶基 $b^1,\ldots,b^n$ 由 $b^i(b_j)=\delta_{ij}$ 定義。每個泛函可唯一表示為 $\sum_i\varphi(b_i)b^i$，故 $\dim V^*=n$。

$T:V\to W$ 的對偶映射為 $T^*:W^*\to V^*$，定義為 $T^*\psi=\psi\circ T$。在對偶基下，其矩陣是普通轉置 $A^{\mathsf T}$，包括在 $\mathbb C$ 上也如此；這裡沒有複共軛，這是代數對偶而非 Hermitian 伴隨。複合次序反轉：

對任意泛函及向量計算兩邊即得。

對 $U\subseteq V$，其零化子為

適配基說明 $\dim U^\circ=\dim V-\dim U$。商空間的對偶自然地與零化子對應：$\eta\mapsto\eta\circ\pi$ 是同構 $(V/U)^*\to U^\circ$，因為恰好消去 $U$ 的泛函可下降通過商映射。

對線性映射，

第一式由取值直接得到。第二式的包含關係來自：只要 $Tv=0$，就有 $\psi(Tv)=0$。為證明反向包含，若 $\varphi$ 消去 $\ker T$，在 $\operatorname{im}T$ 上定義泛函 $Tv\mapsto\varphi(v)$；它良定義，並可通過基擴充延伸至整個 $W$。該延拓 $\psi$ 滿足 $T^*\psi=\varphi$。比較維數便得到行秩等於欄秩，無需選定行化簡算法。

前置基礎

以實數完備性（上確界公理）、基本次序及絕對值不等式、歐幾里得範數性質和基礎線性代數為基礎。連續和 Fréchet 可微分別採用 epsilon-delta 與線性餘項定義。這裏的證明不依賴逆函數或隱函數定理。

介值定理

設 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 連續且 $f(a)<y<f(b)$。集合 $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le y\}$ 非空且有上界，令 $c=\sup S$。端點處的連續性表明 $a<c<b$。若 $f(c)<y$，連續性給出一點 $c+\delta\le b$ 滿足 $f(c+\delta)<y$，與 $c$ 是上界矛盾。若 $f(c)>y$，連續性給出 $\delta>0$，使 $|x-c|<\delta$ 時 $f(x)>y$；但上確界性質給出 $x\in S$，滿足 $c-\delta<x\le c$，矛盾。因此 $f(c)=y$。端點等號情形顯然；端點值次序相反時將 $f$ 和 $y$ 同時取負即可。此定理證明存在，不保證唯一。

範圍和前置知識

全程在有限維實歐幾里得空間工作。前置知識是實數介值定理、中值定理、完備性、矩陣乘法及行列式的連續性、Fréchet 導數的鏈式法則和費馬駐點定理；這裏不聲稱證明這些前置結果。$C^1$ 映射定義在開集上且導數連續。參數維數容許 $p=0$；方程個數 $k$ 為正整數，局部逆部分取 $n\ge1$。以下結論均為局部結論，不保證全局唯一或全局可逆。

一個方程

設 $H:U\subset\mathbb R^{p+1}\to\mathbb R$ 為 $C^1$，$H(a,c)=0$ 且 $H_t(a,c)\ne0$。必要時把 $H$ 換成 $-H$；由連續性可取乘積盒 $P\times[c-r,c+r]\subset U$，其中 $P$ 為開盒，並可取 $m>0$，使其上 $H_t\ge m$。適當縮小 $r$，再縮小 $a$ 附近的 $P$，就有每個 $x\in P$ 均滿足 $H(x,c-r)<0<H(x,c+r)$：這是對 $x=a$ 用中值定理，再對兩個端點用連續性得到的。介值定理給出區間內部的零點 $t=\phi(x)$，中值定理保證它唯一，並給出

固定 $x_0\in P$，連續性及上式表明 $|\phi(x)-\phi(x_0)|\le |H(x,\phi(x_0))|/m\to0$。在 $(x_0,\phi(x_0))$ 周圍足夠小的凸盒上，$x$ 方向導數有上界 $M$；沿線段用一元中值定理得 $|H(x,\phi(x_0))-H(x_0,\phi(x_0))|\le M\|x-x_0\|$。因此局部有 $|\phi(x)-\phi(x_0)|\le(M/m)\|x-x_0\|$。令 $h\to0$、$k=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)=O(\|h\|)$。由 $H$ 可微，

於是 $D\phi=-H_t^{-1}D_xH$。右側連續，故 $\phi\in C^1$。此乘積盒保證所給區間內所有零點的唯一性，而不僅是某條選定分支唯一。

消元證明多個方程

設 $G:U\subset\mathbb R^{p+k}\to\mathbb R^k$ 為 $C^1$，$G(a,c)=0$，且 $D_yG(a,c)$ 可逆。對 $k$ 歸納證明局部結論。$k=1$ 即上節。$k>1$ 時令 $A=D_yG(a,c)$，把 $G$ 換成 $A^{-1}G$；零點和正則性不變，而基點的 $y$ 雅可比矩陣成為 $I_k$。將 $y=(t,z)$，其中 $z\in\mathbb R^{k-1}$。第一方程的 $t$ 偏導非零，故局部唯一解為 $t=\psi(x,z)$，且 $\psi$ 為 $C^1$。對歸一化系統定義 $K(x,z)=(G_2,\ldots,G_k)(x,\psi(x,z),z)$。在基點，$D_z\psi=-G_{1t}^{-1}G_{1z}=0$，同時 $D_z(G_2,\ldots,G_k)=I_{k-1}$，$D_t(G_2,\ldots,G_k)=0$，故 $D_zK=I_{k-1}$。歸納假設給出唯一局部解 $z=\zeta(x)$，從而 $y=(\psi(x,\zeta(x)),\zeta(x))$。單方程定理給出 $(x,z)$ 的開定義域；將它縮小為 $P_x\times Z$，並記標量零點區間為 $T$。縮小歸納所得鄰域，使所有 $x\in P_x$ 都滿足 $\zeta(P_x)\subset Z$ 及 $\psi(x,\zeta(x))\in T$。$P_x\times T\times Z$ 中的每個零點滿足第一方程，故 $t=\psi(x,z)$，進而滿足 $K=0$；兩次唯一性因此證明所述局部唯一。對 $G(x,\phi(x))=0$ 用鏈式法則得到

行列式連續且在基點非零，所以縮小鄰域後逆矩陣始終存在。有限代數公式 $B^{-1}=\operatorname{adj}(B)/\det B$ 亦表明逆矩陣各項在該鄰域連續。這證明存在、局部唯一和 $C^1$ 正則性，不保證所選鄰域以外的唯一性。

局部逆

設 $F:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 為 $C^1$，且 $DF(a)$ 可逆。對 $G(y,x)=F(x)-y$ 在 $(F(a),a)$ 使用上面的定理。存在 $F(a)$ 的開鄰域 $V$ 和 $a$ 的開鄰域 $X$，對每個 $y\in V$，$F(x)=y$ 在 $X$ 內恰有一個解 $x=H(y)$。令 $W=X\cap F^{-1}(V)$；它是包含 $a$ 的開集，且 $F:W\to V$ 為雙射，逆 $H$ 是 $C^1$，滿足 $DH(y)=[DF(H(y))]^{-1}$。這是局部結果。

正則等式約束

開集上的可微實值函數若有局部極值，則限制到每條坐標直線後仍有局部極值。由一元費馬定理，每個坐標偏導為零，故其 Fréchet 導數為零。$d=0$ 時這一結論按唯一零線性映射理解。

設 $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$ 與 $g=(g_1,\ldots,g_k):U\to\mathbb R^k$ 為 $C^1$，$0\le k\le n$。設 $a$ 是約束 $g(x)=g(a)$ 下 $f$ 的局部極值點，且 $Dg(a)$ 的秩為 $k$。當 $0<k\le n$，選出 $k$ 個線性無關列，重排座標為 $(u,v)\in\mathbb R^{n-k}\times\mathbb R^k$。隱函數定理給出所有局部可行點構成的圖 $v=\phi(u)$。費馬定理和鏈式法則給出

定義行向量 $\lambda^T=D_v f[D_vg]^{-1}$，則 $D_u f=\lambda^T D_ug$ 且 $D_v f=\lambda^T D_vg$，所以 $Df(a)=\lambda^T Dg(a)$，即 $\nabla f(a)=\sum_i\lambda_i\nabla g_i(a)$。當 $k=n$，$Dg$ 可逆，直接取 $\lambda^T=Df[Dg]^{-1}$；局部可行點孤立。當 $k=0$，結論是普通費馬條件 $Df(a)=0$，右側為空和。秩不足時本證明失效，結論亦未必成立；乘數條件一般只必要而非充分。

例子與檢查

在 $(0,1)$ 附近，$x^2+y^2=1$ 的 $g_y=2$，局部分支為 $y=\sqrt{1-x^2}$，故 $y'(0)=0$。對 $F(s,t)=(s+t^2,t)$，原點附近的逆為 $(u-v^2,v)$，在原點的導數是恆等矩陣。對圓 $x^2+y^2=1$ 上的 $f=x+y$，全圓正則，$(1,1)=\lambda(2x,2y)$ 給出候選點 $(\pm1/\sqrt2,\pm1/\sqrt2)$，符號相同，函數值為 $\pm\sqrt2$。由緊性和連續性才得到它們分別為全局最大及最小值；這一步與必要乘數條件不同。

先假設 $F_y(a,b)>0$；如有需要可把 $F$ 換成 $-F$。由連續性，在 $(a,b)$ 周圍某個小矩形上有 $F_y>m>0$。由一元中值定理，可選充分接近 $b$ 的水平邊界，使 $F(a,b-\varepsilon)<0<F(a,b+\varepsilon)$。由連續性，當 $x$ 充分接近 $a$ 時，兩個嚴格符號仍保持。對每個這樣的 $x$，介值定理給出兩邊界之間的一個根；$F$ 對 $y$ 嚴格遞增保證根唯一。

要證根 $\varphi(x)$ 在附近任意 $x_0$ 連續，利用 $F_y\ge m$ 和對 $y$ 的中值定理得到

要證可微，令 $\Delta y=\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)$。由 $F$ 可微及中值估計，局部有 $\Delta y=O(|\Delta x|)$。把兩個增量代入 $F(x+\Delta x,\varphi(x)+\Delta y)-F(x,\varphi(x))=0$，除以 $\Delta x$ 並令 $\Delta x\to0$，得到 $F_x+F_y\varphi'=0$。因 $F_x,F_y,\varphi$ 均連續且分母保持非零，商的公式連續。在矩形內的唯一性來自 $y$ 方向的嚴格單調性。