初等不等式：恒等式、定义域与等号条件

学习目标与策略

通过变形两边之差、非负平方与精确恒等式证明不等式，追踪分母符号，并确定等号条件。证明应解释某个量为何非负，以及哪些假设使变形可逆。

三种方法是：把两边之差写成平方和；识别 Cauchy–Schwarz 或算术–几何平均结构；引入参数并要求所得二次式非负。在不等式链中，最终取等要求每一个可能严格的步骤都取等。

1. 从恒等式和符号开始

对非负实数 $a,b$，

$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0.$$

故 $(a+b)/2\ge\sqrt{ab}$，当且仅当 $a=b$ 取等。输入非负保证根号有定义。若进一步 $a,b>0$，可除以它们的正积得到等价的倒数不等式；符号未知的分母不能这样处理。

对非零实数 $a,b$，有精确恒等式

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)-4=\frac{(a-b)^2}{ab}.$$

若 $ab>0$，左侧非负；若 $ab<0$，左侧非正。同一代数式因分母符号不同给出相反方向。正输入是充分条件；余项非负的精确条件取决于 $ab$ 的符号。

2. Cauchy–Schwarz 的完整证明与等号条件

对正整数 $n$ 和实向量 $u=(u_1,\ldots,u_n)$、$v=(v_1,\ldots,v_n)$，恒等式

$$\left(\sum_i u_i^2\right)\left(\sum_i v_i^2\right)-\left(\sum_i u_iv_i\right)^2 =\sum_{i<j}(u_iv_j-u_jv_i)^2$$

由展开得到：对角项抵消，每一对非对角项贡献 $u_i^2v_j^2+u_j^2v_i^2-2u_iu_jv_iv_j$。余项均为平方，故

$$\left|\sum_i u_iv_i\right|\le\sqrt{\sum_i u_i^2}\sqrt{\sum_i v_i^2}.$$

当且仅当每个交叉项 $u_iv_j-u_jv_i$ 均为零时取等。若 $v=0$，任意 $u$ 都取等。若某个 $v_j\ne0$，恒等式给出每个 $i$ 都满足 $u_i=(u_j/v_j)v_i$，所以 $u$ 是 $v$ 的标量倍；反之标量倍使每个交叉项为零。这样包括零向量的等号条件均得到证明。

恒等式法展示每个非负余项。参数法则从对所有实数 $t$ 有 $\sum_i(u_i-tv_i)^2\ge0$ 出发，最小化所得二次式。两法都有效；恒等式尤其便于看清等号和稳定性。

3. 带权平方揭示参数范围

对实数 $a,b$ 及实参数 $t$，

$$(1-t)a^2+tb^2-[(1-t)a+tb]^2=t(1-t)(a-b)^2.$$

当 $0\le t\le1$，右侧非负，得到凸平方不等式；$t=0$、$t=1$ 或 $a=b$ 时取等。若 $t<0$ 或 $t>1$ 且 $a\ne b$，右侧为负，不等式严格反向。使用“权重”时必须说明允许范围。

再看 $x^2+2tx+1=(x+t)^2+1-t^2$：它对所有实数 $x$ 非负，当且仅当 $|t|\le1$。充分性由两项非负得到；必要性通过在 $x=-t$ 处代入证明。反例可以依赖它所针对的参数。

4. 复数三角与反三角不等式

先回顾模的乘积恒等式：

展开可知共轭保持和与积，因此

$$|zw|^2=(zw)\overline{(zw)}=(z\overline z)(w\overline w)=|z|^2|w|^2.$$

两边的平方根均非负，故 $|zw|=|z||w|$。模是非负实数尺度，不是复数之间的次序关系。

对 $\xi=x+iy$（$x,y\in\mathbb R$），$|\xi|=\sqrt{x^2+y^2}\ge|x|\ge x=\operatorname{Re}\xi$。

对复数 $z,w$，展开得

$$|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\operatorname{Re}(z\overline w) \le |z|^2+|w|^2+2|z||w|=(|z|+|w|)^2.$$

这里使用 $\operatorname{Re}\xi\le|\xi|$ 及已证明的模乘积恒等式。待开方的两边均非负，故 $|z+w|\le|z|+|w|$。

若两个输入都非零，当且仅当 $z\overline w$ 是非负实数时取等，等价于 $z=\lambda w$ 且 $\lambda>0$。允许零输入后，可描述为处在同一非负射线上。等号条件不只是“两数都是实数”：异号实数通常使三角不等式严格。

对 $z=(z-w)+w$ 使用三角不等式，得 $|z|-|w|\le|z-w|$；交换 $z,w$ 得另一方向，故

$$\bigl||z|-|w|\bigr|\le|z-w|.$$

外层绝对值不可省略，因为较大的模可能来自任一输入。反三角界常用于直接证明模函数连续：输入接近时，大小也接近。

5. 等号条件与稳定性估计

设 $a,b\ge0$、$a+b=2$、$ab\ge1-\varepsilon$，其中 $\varepsilon\ge0$。由精确恒等式

$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=4-4ab\le4\varepsilon$$

可得 $|a-b|\le2\sqrt\varepsilon$。又 $a-1=(a-b)/2$、$b-1=(b-a)/2$，所以二者离等号值一均至多 $\sqrt\varepsilon$。积接近最大值时，输入也定量地接近彼此。

类似地，复数恒等式

$$2(|z|^2+|w|^2)-|z+w|^2=|z-w|^2$$

给出 $|z+w|\le\sqrt2\sqrt{|z|^2+|w|^2}$，当且仅当 $z=w$ 取等。这比先连接三角不等式和实 Cauchy 界再协调各步等号更直接；目标呈二次形式时，可先寻找平方距离恒等式。

例：选择证明方法

对正数 $a_j$，证明 $\sum_{j=1}^n1/a_j\ge n^2/\sum_{j=1}^na_j$ 时，直接通分并不方便。对 $u_j=\sqrt{a_j}$、$v_j=1/\sqrt{a_j}$ 用 Cauchy–Schwarz，其点积恰为 $n$，再除以正的和即得所需界。等号要求所有 $j$ 都满足 $u_j=\lambda v_j$，因此各 $a_j$ 相等。代换的目的是简化点积。

反驳不加限制的倒数不等式时，选符号更有效：一对异号数使精确余项为负。构造定理、检查定义域和寻找反例需要不同的方法。

证明与诊断练习

1. 方法选择。 对正实数证明 $(\sum a_j)(\sum1/a_j)\ge n^2$ 并刻画等号，说明根号与除法为何有定义。
2. 参数范围。 求所有实数 $t$，使 $(1-t)a^2+tb^2\ge[(1-t)a+tb]^2$ 对每对实数 $a,b$ 成立。
3. 全称量词。 求所有实数 $t$，使 $x^2+2tx+1\ge0$ 对所有实数 $x$ 成立，并说明何时可取等。
4. 符号检查。 分析未经符号检查就将有理不等式两边乘以 $ab$ 的证明；用精确倒数恒等式给出 $ab>0$ 和 $ab<0$ 时的正确结论。
5. 复数等号。 用平方距离恒等式证明 $|z+w|^2\le2(|z|^2+|w|^2)$，并给出包括零输入的完整等号条件。
6. 定量加强。 若 $a,b\ge0$、$a+b=S>0$、$ab\ge S^2/4-\delta$ 且 $\delta\ge0$，给出每个数到 $S/2$ 的距离界，说明为何这是稳定性结论而不只是等号结论。

完整解答

1. 令 $u_j=\sqrt{a_j}$、$v_j=1/\sqrt{a_j}$，正性使所有式子有定义。点积为 $n$，Cauchy–Schwarz 给出 $n^2\le(\sum a_j)(\sum1/a_j)$。当且仅当每个 $j$ 都满足 $\sqrt{a_j}=\lambda/\sqrt{a_j}$ 时取等，即每个 $a_j=\lambda$；反之正数都相等时取等。没有除以零，也没有复数平方根分支。
2. 差为 $t(1-t)(a-b)^2$。若 $0\le t\le1$，它对所有数对非负；若 $t$ 在该区间外，取 $a=0,b=1$ 即使差严格为负。因此恰好闭区间 $[0,1]$ 可行。
3. 配方得 $(x+t)^2+1-t^2$。若 $|t|\le1$，它对所有 $x$ 非负；若 $|t|>1$，取 $x=-t$ 得负数，证明必要性。只有 $|t|=1$ 且 $x=-t$ 时取等；当 $|t|<1$，处处严格为正。
4. 正分母保持不等式方向，负分母反转方向，零分母使原倒数无定义。与四之差为 $(a-b)^2/(ab)$，故 $ab>0$ 时乘积至少为四，当 $a=b$ 取等；$ab<0$ 时严格小于四，因为异号非零输入不可能相等，分子为正。未经核实的符号是第一处错误推论。
5. 展开 $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2\operatorname{Re}(z\overline w)$，并从 $2(|z|^2+|w|^2)$ 中减去 $|z+w|^2$，得 $|z-w|^2\ge0$。当且仅当 $z-w=0$、即 $z=w$ 时取等，包括两数都为零。
6. 由 $(a-b)^2=S^2-4ab\le4\delta$ 得 $|a-b|\le2\sqrt\delta$。恒等式 $a-S/2=(a-b)/2$、$b-S/2=(b-a)/2$ 表明两个距离均至多 $\sqrt\delta$。$\delta=0$ 恢复精确等号；正 $\delta$ 控制近等号情形能偏离多少，这就是稳定性的额外内容。

总结与术语

不等式恒等式先精确表达两边之差，再判断符号。等号条件记录所有非负余项何时消失。稳定性界量化余项较小时的接近程度。定义域条件保证根号、倒数和依赖符号的乘法有效。完整证明包括这些条件和等号描述，而不止最后的不等号。