8. 高维仿射与正交几何

学习目标与定义

区分点与方向，描述 $\mathbb R^n$ 中的仿射集，求直线与超平面的交点并证明距离公式。对 $u,v\in\mathbb R^n$，使用 $u\cdot v=\sum u_iv_i$、$\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$。向量子空间包含零，且对加法和数乘封闭。仿射子空间是向量子空间 $V$ 的平移 $p+V$；它不一定包含零。

直线为 $p+tv$，其中 $v\ne0$。超平面为 $H=\{x:n\cdot x=c\}$，法向量 $n\ne0$。在三维中它是平面，在二维中是直线。不同基点或法向量倍数可能描述同一集合。超平面包含所有垂直于 $n$ 的方向。

标准正交族 $e_1,\ldots,e_k$ 满足当 $i\ne j$ 时 $e_i\cdot e_j=0$，并满足 $\|e_i\|=1$。这些向量线性无关：将 $\sum a_ie_i=0$ 与 $e_j$ 作点积得到 $a_j=0$。

定理：超平面上的最近点

对 $q\in\mathbb R^n$，$H$ 上唯一最近点为

$$p=q-\frac{n\cdot q-c}{\|n\|^2}n, \qquad \operatorname{dist}(q,H)=\frac{|n\cdot q-c|}{\|n\|}.$$

证明。 直接代入得 $n\cdot p=c$，故 $p\in H$。对任意 $x\in H$，向量 $x-p$ 垂直于 $n$，而 $q-p$ 是 $n$ 的倍数。因此在下式中交叉项为零：

$$\|q-x\|^2=\|(q-p)-(x-p)\|^2=\|q-p\|^2+\|x-p\|^2.$$

距离恰在 $x=p$ 时最小。计算所示 $q-p$ 公式的长度便得到距离。非零 $n$ 保证除法有效，也保证唯一性。

更一般地，若 $V$ 有标准正交基 $e_1,\ldots,e_k$，则向 $V$ 的投影为 $\sum_j(q\cdot e_j)e_j$。从 $q$ 减去该投影得到与每个 $e_j$ 垂直的向量，因而与整个 $V$ 垂直。相同的平方距离论证证明它是 $V$ 中唯一的最近向量。对 $p+V$，先投影位移 $q-p$，再加上 $p$。

例题

高维距离。 在 $\mathbb R^4$ 中，设 $H$ 为 $x_1+x_2+x_3+x_4=2$，$q=(2,0,0,2)$。这里 $n=(1,1,1,1)$、$n\cdot q-c=2$、$\|n\|^2=4$。垂足为 $(3/2,-1/2,-1/2,3/2)$，距离为 $2/2=1$。

交点分类。 直线 $p+tv$ 与超平面相交时满足 $n\cdot p+t(n\cdot v)=c$。若 $n\cdot v\ne0$，恰有一个交点，对应 $t=(c-n\cdot p)/(n\cdot v)$。若 $n\cdot v=0$，当 $n\cdot p=c$ 时整条直线位于超平面中，否则没有交点。仅说“平行”不能区分包含与不相交。

分层练习

1. 基础。 求经过 $(1,2,3)$ 且平行于 $(2,-1,1)$ 的直线，并判断它是否经过 $(5,0,5)$。
2. 核心。 求 $(1,-1,2)$ 到 $2x-y+2z=3$ 的距离。
3. 核心。 对标准正交向量 $e_1=(1,1,0)/\sqrt2$、$e_2=(0,0,1)$，将 $q=(2,0,3)$ 投影到它们的张成空间上。
4. 证明。 证明仿射子空间 $p+V$ 包含任意两点之间的线段。反命题是否刻画仿射子空间？

详解

1. 直线为 $(1,2,3)+t(2,-1,1)$。当 $t=2$ 时到达 $(5,0,5)$，故该点在直线上。
2. 法向量为 $(2,-1,2)$，长度为 $3$。它与给定点的点积为 $7$，所以距离为 $|7-3|/3=4/3$。
3. 点积为 $\sqrt2$ 和 $3$。投影是 $\sqrt2e_1+3e_2=(1,1,3)$。余量 $(1,-1,0)$ 与两个基向量都垂直。
4. 将两点写成 $p+u,p+v$，其中 $u,v\in V$。对 $0\le t\le1$，其凸组合为 $p+((1-t)u+tv)$，仍属于 $p+V$。反命题不成立：闭球包含任意两点之间的线段，却不是仿射子空间。包含线段是凸性，条件较弱。

总结与术语

仿射集是线性空间的平移。超平面是 $n$ 个变量中的一个非平凡线性方程所定义的集合。标准正交基同时具有垂直性和单位长度。凸集包含连接任意两点的线段。正交分解可在每个有限维度证明距离结论，不需要三维叉积或图形。