9. 通过方程与截面研究圆锥曲线和二次曲面

学习目标与定义

配方，分类基本圆锥曲线与二次曲面，并用截面解释高维方程。圆锥曲线是由非零二次方程定义的平面轨迹；三维二次曲面类似定义。方程可以描述退化集或空集。任意旋转形式的完整处理需要线性代数；这里明确推导平移和一个平面旋转。

对正数 $a,b$，椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 有界。双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 有两支无界分支，抛物线 $y=x^2$ 有一条轴和一个顶点。平移版本用 $x-h,y-k$ 替换 $x,y$；配方得到这些标准形式而不改变轨迹。

命题：焦点–准线抛物线

到焦点 $(0,p)$ 和准线 $y=-p$ 等距的点，其中 $p>0$，满足 $x^2=4py$。

证明。 到焦点的距离平方为 $x^2+(y-p)^2$，到准线的距离平方为 $(y+p)^2$。令二者相等并化简得到 $x^2=4py$。反过来，该方程蕴含两个非负距离的平方相等，故距离相等。它还迫使 $y\ge0$，与几何一致。由于两个距离均非负，这里平方不会引入多余点。

对中心在原点的平面二次式 $Ax^2+Bxy+Cy^2$，旋转

$$x=u\cos\theta-v\sin\theta,\qquad y=u\sin\theta+v\cos\theta$$

经直接展开后得到的混合项系数为 $(C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta$。可以选取角度使其为零。随后可通过平移消去二次系数非零方向的线性项；零系数须另行处理，配方时除以零不合法。

例题

平移与退化。 方程 $x^2+4y^2-2x+8y+1=0$ 化为 $(x-1)^2+4(y+1)^2=4$，即 $(x-1)^2/4+(y+1)^2=1$。这是以 $(1,-1)$ 为中心、半轴为 $2$ 和 $1$ 的椭圆。若右边为零，轨迹变成单点 $(1,-1)$；若右边为负，则为空集。

旋转的圆锥曲线。 对 $xy=1$，取 $x=(u-v)/\sqrt2$、$y=(u+v)/\sqrt2$，则 $xy=(u^2-v^2)/2$，所以方程变为 $u^2-v^2=2$，即旋转坐标轴中的双曲线。坐标替换可逆，不会丢失或增加点。

二次曲面的截面。 设 $a,b,c>0$。椭球 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ 有界；固定 $z$ 的截面在 $|z|<c$ 时为椭圆，$|z|=c$ 时为一点，超出时为空。曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 对每个 $z$ 都有半径 $\sqrt{1+z^2}$ 的圆形截面，是单叶双曲面。方程 $z^2-x^2-y^2=1$ 在 $|z|<1$ 时没有点，且有两个分离的叶。圆锥 $z^2=x^2+y^2$ 的两叶在奇异顶点相接。

分层练习

1. 基础。 对 $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ 配方并识别曲线。
2. 核心。 求 $x^2=12y$ 的焦点和准线。
3. 核心。 描述 $z=x^2+y^2$ 在 $z=k$、$x=0$ 和 $y=0$ 处的截面。
4. 证明。 证明在 $\mathbb R$ 上 $x^2+y^2+z^2=0$ 是单点，而 $x^2+y^2-z^2=0$ 不是。为什么二次型的符号至关重要？

详解

1. 方程为 $(x+2)^2+(y-3)^2=4$，是以 $(-2,3)$ 为中心、半径为二的圆，也是两条半轴相等的特殊椭圆。
2. 与 $x^2=4py$ 比较得 $p=3$，焦点为 $(0,3)$，准线为 $y=-3$。
3. 若 $k>0$，水平截面是半径为 $\sqrt k$ 的圆；若 $k=0$，是顶点；若 $k<0$，为空。截面 $x=0$ 和 $y=0$ 分别是抛物线 $z=y^2$、$z=x^2$。这些共同支持椭圆抛物面的名称，但截面不能代替定义方程。
4. 每个平方都非负，故其和为零只有三个坐标全为零。带负号时，对每个实数 $t$，$(t,0,t)$ 都满足第二个方程，所以它有无穷多个点，是圆锥。相反符号允许非零项抵消，而正定性阻止这种抵消。

总结与术语

圆锥曲线是二次平面轨迹；二次曲面是其高维对应对象。截面是曲面与指定平面的交集。退化轨迹是低维或以其他方式坍缩的形式，例如点或相交直线。平移改变中心；正交旋转改变坐标轴而不改变距离。应写明半轴参数的正性假设，并在赋予几何名称前检查方程是否为空。