3. 集合、像与原像

学习目标与定义

操作并集、交集、补集和笛卡尔积；区分像与原像；用量词证明函数性质。所有补集均相对于固定全集 $U$。相等 $A=B$ 意味着 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

并集 $A\cup B$ 包含至少属于其中一个集合的元素；交集 $A\cap B$ 包含同时属于两者的元素；$A\setminus B$ 包含属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素。幂集 $\mathcal P(A)$ 是 $A$ 的所有子集组成的集合。笛卡尔积 $A\times B$ 是满足 $a\in A,b\in B$ 的有序对 $(a,b)$ 的集合；一般有 $A\times B\ne B\times A$。

对函数 $f:X\to Y$ 和子集 $A\subseteq X$、$B\subseteq Y$，定义 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ 和 $f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}$。无论反函数是否存在，后者都有定义。

定理：原像保持集合运算

对 $B,C\subseteq Y$，

$$f^{-1}(B\cup C)=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(C),\quad f^{-1}(B\cap C)=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(C),$$

且 $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$。

证明。 对 $x\in X$，属于第一式左边意味着 $f(x)\in B$ 或 $f(x)\in C$，恰等于属于右边。将“或”换成“且”得到交集恒等式。属于补集的原像意味着 $f(x)\notin B$，恰是 $X$ 中的 $x\notin f^{-1}(B)$。每个逻辑等价都同时证明两个包含关系。

像保持并集，但对交集只有 $f(A\cap D)\subseteq f(A)\cap f(D)$ 自动成立：来自同时属于两集合的输入的输出位于两个像中。反方向不一定成立，因为相同输出可能来自不同输入。

定理：单射与像的交集

函数 $f:X\to Y$ 是单射，当且仅当对每个 $A,D\subseteq X$ 都有 $f(A\cap D)=f(A)\cap f(D)$。

证明。 若 $f$ 单射且 $y$ 位于两个像中，写 $y=f(a)=f(d)$，其中 $a\in A,d\in D$。单射性给出 $a=d\in A\cap D$，得到缺失的包含方向。反过来，若 $f(a)=f(d)$ 且 $a\ne d$，取 $A=\{a\}$、$D=\{d\}$。它们交集为空，但像有交集，与所假设的等式矛盾。因此不同输入不会有相同输出。

例题

集合恒等式显示非单射性。 对 $\mathbb R$ 上的 $f(x)=x^2$，$A=\{-2\}$ 与 $D=\{2\}$ 交集为空，但两者的像都是 $\{4\}$。原像的表现不同：$f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$。

任意指标集的德摩根律。 对子集 $A_i\subseteq U$，元素不属于 $\bigcup_iA_i$，当且仅当它不属于其中任何集合，等价于它属于每个补集。因此 $U\setminus\bigcup_iA_i=\bigcap_i(U\setminus A_i)$。若指标集为空，并集为空集，交集为 $U$，约定仍一致。

分层练习

1. 基础。 用元素关系证明 $A\setminus B=A\cap B^c$。
2. 核心。 对 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^2-1$，求 $f([-2,1])$ 和 $f^{-1}((-1,3])$。
3. 核心。 证明 $A\subseteq f^{-1}(f(A))$。何时对每个子集 $A$ 都取等？
4. 证明。 证明 $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$，并推出满射性的一个刻画。

详解

1. 对 $x\in U$，$x\in A\setminus B$ 意味着 $x\in A$ 且 $x\notin B$，恰是 $x\in A\cap B^c$。
2. 在 $[-2,1]$ 上，$x^2$ 取遍 $[0,4]$，故像为 $[-1,3]$。原像条件为 $-1<x^2-1\le3$，即 $0<x^2\le4$，得到 $[-2,0)\cup(0,2]$。
3. 若 $x\in A$，则 $f(x)\in f(A)$，证明包含关系。若 $f$ 单射，右边的任意 $x$ 满足 $f(x)=f(a)$、其中 $a\in A$，故 $x=a\in A$。反过来，对单元素集 $A=\{a\}$ 取等可排除另一个输入有相同输出。因此该条件恰为单射性。
4. 属于左边意味着存在 $x$ 使 $y=f(x)$ 且 $f(x)\in B$，恰等价于 $y\in B$ 且 $y\in f(X)$。因此对每个 $B\subseteq Y$ 都等于 $B$，当且仅当 $f(X)=Y$，即满射（反向蕴含可取 $B=Y$）。

总结与术语

像追踪指定输入集合的输出；原像收集输出落入指定目标集合的全部输入。幂集以子集为元素。双重包含分别证明集合相等的两个方向。写出元素条件可防止无效地约去函数，并精确显示何处需要单射或满射。