1. 命题、逻辑与量词次序

学习目标与数学语言

区分命题与开放谓词，追踪每个变量的范围，并区分蕴含、逆命题和等价。命题具有真值。$x^2>1$ 这样的开放谓词，只有在指定 $x$ 或在声明的定义域上量化之后才具有真值。同一公式在不同定义域上可以有不同真值。

对命题 $P,Q$，合取 $P\land Q$ 在两者都为真时为真；$P\lor Q$ 是包含性的“或”，至少一个为真时便为真。否定 $\neg P$ 反转真值。蕴含 $P\Rightarrow Q$ 仅在 $P$ 为真而 $Q$ 为假时为假。因此假前提使蕴含为真，但不证明结论本身为真。等价 $P\Leftrightarrow Q$ 包含两个方向的蕴含。

全称命题 $\forall x\in A\ P(x)$ 断言每个元素都满足谓词；存在命题 $\exists x\in A\ P(x)$ 断言至少有一个见证。空集上的全称命题为真，空集上的存在命题为假；这与不存在反例或见证的情况一致。

定理：否定量词与蕴含

以下等价关系成立：

$$\neg(\forall x\in A\ P(x))\ \Leftrightarrow\ \exists x\in A\ \neg P(x),$$ $$\neg(\exists x\in A\ P(x))\ \Leftrightarrow\ \forall x\in A\ \neg P(x), \qquad \neg(P\Rightarrow Q)\ \Leftrightarrow\ P\land\neg Q.$$

此外 $P\Rightarrow Q$ 等价于其逆否命题 $\neg Q\Rightarrow\neg P$，但一般不等价于逆命题 $Q\Rightarrow P$。

证明。 全称断言不成立恰当且仅当存在反例，得到第一个等价式。存在性不成立恰当且仅当每个候选对象都不满足条件，得到第二个。蕴含为假的唯一情况是前提真、结论假，得到第三个。蕴含及其逆否命题恰在同一真值赋值下不成立；逆命题不成立则对应 $P$ 假、$Q$ 真，因此不具有同样的等价性。

量词次序与例题

依赖输入的见证。 在 $\mathbb R$ 上，$\forall x\exists y\ (y>x)$ 为真：选定 $x$ 后取 $y=x+1$。但 $\exists y\forall x\ (y>x)$ 为假：对任何提议的固定 $y$，取 $x=y+1$ 便反驳它。写成 $y=y(x)$ 可以提醒我们允许的依赖关系，但不能代替证明。

否定最终有界条件。 断言

$$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\ge N: |a_n-L|<\varepsilon$$

的否定为 $\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\in\mathbb N\ \exists n\ge N:|a_n-L|\ge\varepsilon_0$。一个早期的坏项不足以否定最终收敛；每个提议的阈值之后都必须出现坏指标。

受限全称命题。 “每个被六整除的整数都是偶数”写作 $\forall n\in\mathbb Z\,[6\mid n\Rightarrow2\mid n]$。其否定需要一个被六整除却不被二整除的整数。不能用不被六整除的奇数作反例，因为前提为假。

分层练习

1. 基础。 否定“每个实数的平方都是正数”，并判断原命题真假。
2. 核心。 在整数范围内，写出“若 $n$ 被四整除，则 $n$ 是偶数”的逆命题与逆否命题，判断各自真假。
3. 核心。 比较 $\forall x\in\mathbb R\exists y\in\mathbb R:x+y=0$ 与 $\exists y\in\mathbb R\forall x\in\mathbb R:x+y=0$。
4. 证明。 否定 $\exists M>0\forall n\in\mathbb N:|a_n|\le M$，并解释为何结果表示无界。

详解

1. 否定为“存在实数 $x$ 使 $x^2\le0$”。见证 $x=0$ 证明否定为真，所以原全称断言为假。
2. 逆命题是“若 $n$ 是偶数，则四整除 $n$”，在 $n=2$ 时为假。逆否命题是“若 $n$ 不是偶数，则四不整除 $n$”，它为真，因为四的倍数是某个整数的两倍。原命题也为真。
3. 第一个为真：指定 $x$ 后取 $y=-x$。第二个为假：固定的 $y$ 不能同时满足 $0+y=0$ 与 $1+y=0$。
4. 否定为 $\forall M>0\exists n\in\mathbb N:|a_n|>M$。每个提议的正上界都会在某个指标处失效；指标可以依赖 $M$。这正是不存在有限绝对界。

总结与术语

谓词含有自由变量；量词说明变量如何取值。反例满足全称断言的前提，却违反其结论。逆命题交换蕴含两端，逆否命题交换并否定两端。量词次序记录依赖关系；应逐层否定并保留声明的定义域。