三角函数：定义域、反函数分支与有理参数化

证明

我们采用旋转的几何事实：绕原点的旋转保持距离与平面定向（顺、逆时针次序），并且对坐标分量是线性的。令 $R_\alpha$ 表示逆时针旋转 $\alpha$。由单位圆，两个坐标基向量分别旋转为

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由线性性，它对角为 $\beta$ 的点的作用为

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

从几何上看，连续旋转的角度相加，所以同一点也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比较坐标即证明两个恒等式，而无需预先使用它们。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恒等式对定义域内每个输入成立；方程询问哪些输入使特定等式成立。

三角方程与分支

三角方程不仅是在代数表达式中插入正弦与余弦。周期性产生重复解，反函数选择受限分支，而除法可能删去有效点或产生无定义处。下面整理这些问题，再应用圆的有理参数化。所需基础包括单位圆定义、加法与倍角恒等式、实反三角函数主分支约定以及二次方程。

1. 记录等价与单向变形

若新旧方程在固定的允许定义域 $D$ 中有完全相同的解，则变形是等价的。两边加上同一实表达式 $h(x)$，须先保证 $h$ 在 $D$ 的每一点都有定义，才是等价变形。两边乘以 $h(x)$ 时，还须保证它在 $D$ 上处处非零。若一个有定义的乘数可能为零，乘法会引入候选解；除法则必须限制到它非零的点，可能丢失解。将实数方程平方会保留 $D$ 中所有原解，但可能增加其他解，因为相反数的平方相等。这些规则并不允许在某个允许输入上进行无定义的运算：例如，在 $\mathbb R$ 上给 $x=0$ 两边加 $1/x$，会删掉其唯一解。

例：诊断平方。 在 $[0,2\pi]$ 上求解 $\sin x+\cos x=1$。平方得到 $1+\sin2x=1$，所以候选值为 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi$。代回原方程保留 $0,\pi/2,2\pi$，排除左边等于 $-1$ 的两个值。候选方程是必要条件，却不是充分条件。也可以写成 $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$，在正确平移后的区间上求解。检查后两种方法应一致。

相关表达式 $\sqrt{1-\sin^2x}$ 等于 $|\cos x|$，不总是 $\cos x$。平方根表示非负分支；丢掉绝对值便暗中加入了符号条件。

2. 反函数复合形成折叠图像

对于 $x\in[0,2\pi]$，

$$\arcsin(\sin x)= \begin{cases} x,&0\le x\le\pi/2,\\ \pi-x,&\pi/2\le x\le3\pi/2,\\ x-2\pi,&3\pi/2\le x\le2\pi. \end{cases}$$

每个分支的正弦值都与 $x$ 相同，而且落在反正弦的值域内；该值域内的唯一性证明了这个公式。重合端点处的各式一致，因此没有歧义。同理，$\arccos(\cos x)=x$ 在 $[0,\pi]$ 上成立，在 $[\pi,2\pi]$ 上则等于 $2\pi-x$。

例：反函数方程。 要在 $[0,2\pi]$ 上解 $\arcsin(\sin x)=\arccos(\cos x)$，比较分支公式。在 $[0,\pi/2]$ 上两者都等于 $x$。在 $[\pi/2,\pi]$ 上，等式 $\pi-x=x$ 只给出公共端点 $\pi/2$。在 $[\pi,3\pi/2]$ 上，反正弦值非正，反余弦值为正。在 $[3\pi/2,2\pi]$ 上，等式 $x-2\pi=2\pi-x$ 给出 $2\pi$。因此完整解集是 $[0,\pi/2]\cup\{2\pi\}$。若假定两个复合式都能直接消去，就会错误地得到整个区间。

证明：反函数分支与全部周期解

我们使用正弦、余弦的单位圆几何定义及已经证明的加法公式。基本几何约定为：沿单位圆逆时针走一周的角度为 $2\pi$；每个点的角度模 $2\pi$ 唯一，而指定半圆上的每个点都有位于所述半周区间的对应角度。坐标正负按通常的象限规则确定。这些是几何先修事实，不是导数公式。

严格单调性。 将加法公式相减，得到

$$\sin y-\sin x=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2},\qquad \cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}.$$

若 $-\pi/2\le x<y\le\pi/2$，第一式中的余弦因子和正弦因子均为正，所以正弦在该区间严格递增。若 $0\le x<y\le\pi$，第二式中的两个正弦因子均为正，所以余弦严格递减。若 $-\pi/2<x<y<\pi/2$，则

$$\tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0,$$

因为 $0<y-x<\pi$ 且两个余弦均为正。因此正切在该开区间严格递增。正弦、余弦的论证包括有限端点，而且没有除以可能为零的因子。

满射性与精确值域。 对任意 $c\in[-1,1]$，单位圆点 $(\sqrt{1-c^2},c)$ 位于右半圆，所以有角度落在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 且正弦为 $c$。点 $(c,\sqrt{1-c^2})$ 位于上半圆，所以有角度落在 $[0,\pi]$ 且余弦为 $c$。由于点位于单位圆，正弦、余弦的值都不可能超出 $[-1,1]$。对任意实数 $t$，点 $(1,t)/\sqrt{1+t^2}$ 位于去掉两端点的右半圆，其角度 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 满足 $\tan\theta=t$。因此三个限制函数分别双射到 $[-1,1]$、$[-1,1]$ 和 $\mathbb R$；其反函数正是具有这些定义域和分支值域的 $\arcsin$、$\arccos$ 与 $\arctan$。

全部解，而非只有主值。 若 $|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，纵坐标为 $c$ 的圆上点，其横坐标只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或 $-\sqrt{1-c^2}$。它们对应角度 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$。由角度模一整周的唯一性，全部解恰为 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。当 $c=\pm1$ 时，两族解重合，不会增加额外解；当 $|c|>1$ 时无解。同理，设 $\beta=\arccos c$，则 $\cos\theta=c$ 的全部解为 $\theta=\pm\beta+2k\pi$。对实数 $t$，设 $\gamma=\arctan t$，斜率为 $t$ 的圆上点是对径点 $\pm(1,t)/\sqrt{1+t^2}$，所以 $\tan\theta=t$ 的全部解为 $\theta=\gamma+k\pi$；正切的极点始终不允许取入。这在不使用微积分的情况下证明了分支限制与各周期解族的完整性。

3. 正切加法需要判断分支

设 $\alpha=\arctan u$、$\beta=\arctan v$，两者均位于 $(-\pi/2,\pi/2)$。当 $1-uv\ne0$ 时，正切加法公式给出 $\tan(\alpha+\beta)=(u+v)/(1-uv)$。应用 $\arctan$ 返回的是主值区间内的代表，并不自动等于实际的角度之和。

对于 $u,v>0$，有 $\alpha+\beta\in(0,\pi)$。因为 $\cos\alpha\cos\beta>0$，角度和的余弦与 $1-uv$ 同号。因此

$$\arctan u+\arctan v= \begin{cases} \arctan\frac{u+v}{1-uv},&uv<1,\\ \pi/2,&uv=1,\\ \pi+\arctan\frac{u+v}{1-uv},&uv>1. \end{cases}$$

这是一项推导出的分情况结论，而不是无条件套用的恒等式。当 $uv=1$ 时，商式无定义，但角度之和存在。对单个非零实数 $x$，同样的分支分析得到：若 $x>0$，则 $\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2$；若 $x<0$，则 $-\pi/2$。

4. 推导正切半角参数化

经过圆上固定点 $(-1,0)$ 的直线斜率为 $t$，方程为 $y=t(x+1)$。代入 $x^2+y^2=1$ 得

$$x^2+t^2(x+1)^2-1=(x+1)[(1+t^2)x+t^2-1]=0.$$

一个交点是固定点，另一个是

$$x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t\in\mathbb R.$$

分母恒正。反过来，除 $(-1,0)$ 外每个圆上点都具有有限参数 $t=y/(1+x)$，代入可恢复它的坐标。因此该公式恰好描述除去一个点的圆，而不是毫无例外地描述整个圆。

对于圆上点 $(\cos\theta,\sin\theta)$，若 $\theta\not\equiv\pi\pmod{2\pi}$，由倍角恒等式得到

$$t=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan(\theta/2), \quad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}.$$

推导解释了为何漏掉 $\pi$ 的奇数倍，并给出逆变换，因此也说明了何时将三角方程换成有理方程才穷尽所有解。

例：有理变换。 在 $[0,2\pi)$ 上求解 $\cos\theta+2\sin\theta=2$。先检查遗漏点：当 $\theta=\pi$ 时左边为 $-1$，不等于 2。对于其他点，代入有理公式：

$$1-t^2+4t=2(1+t^2),\qquad 3t^2-4t+1=0.$$

因此 $t=1$ 或 $1/3$。对应的圆上点为 $(0,1)$ 和 $(4/5,3/5)$，给出 $\theta=\pi/2$ 和 $\theta=2\arctan(1/3)$。第一个点在正 $y$ 轴上，第二个点在第一象限；两者都满足原方程。遗漏点已单独检查，故没有漏掉分支。

5. 根据问题选择方法

对于单个正弦或余弦方程，先写出完整周期解族，再与指定区间取交集。对于反函数复合方程，推导相关的分段折叠式。对于线性组合 $A\sin x+B\cos x$，振幅与相位揭示其值域和解的个数。对于正弦余弦的有理表达式，半角代换可以将问题化为代数，但必须检查遗漏点和原分母。平方后的方程给出候选值，必须回到原符号条件检验。

对于不等式，整个分支区间都重要，而不仅是孤立的根。例如，在 $[0,2\pi]$ 上的 $\sin x+\cos x>1$，在平移区间 $[\pi/4,9\pi/4]$ 上变为 $\sin(x+\pi/4)>1/\sqrt2$。唯一解区间是 $0<x<\pi/2$；满足等号的端点排除。图像可以提示该区间，而平移后的正弦不等式证明它。

分层综合与诊断

1. 反函数定义域。 求满足 $\arcsin(\sin x)=x$ 的所有实数 $x$，不用有限角度试验，而证明两个包含方向。
2. 原分母。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $\sin x/(1+\cos x)=1$。解释为什么展开乘法所得方程可能含无效的额外点。
3. 分支修正。 用主值 $\arctan(4/3)$ 和适当的 $\pi$ 倍数表示 $2\arctan2$。
4. 绝对值。 求 $\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x$ 的完整实数解集。
5. 有理几何。 证明每个满足 $x^2+y^2=1$ 且 $(x,y)\ne(-1,0)$ 的有理圆点 $(x,y)$ 都能由半角公式中的有理参数 $t$ 得到，反向也成立。
6. 参数分类。 对实数 $A,B,C$，分类方程 $A\sin x+B\cos x=C$ 在模 $2\pi$ 意义下解的个数，包括 $A=B=0$ 和相切情况。

完整解答

1. 若 $x\in[-\pi/2,\pi/2]$，正弦在该区间上一一对应到 $[-1,1]$，其反函数返回 $x$。反过来，反正弦的输出总在此区间，故相等迫使 $x$ 位于其中。因此该区间恰是解集，没有其他周期副本，因为右边是真正的实数 $x$。
2. 原分母在 $x=\pi$ 处为零，故该点排除。有效的半角关系将方程化为 $t=1$，在指定区间得到 $x=\pi/2$。乘开得到 $\sin x=1+\cos x$，它也在 $\pi$ 成立，因为两边均为零，但该点不在原定义域。回查原分母即可排除。
3. 取 $u=v=2$，乘积满足 $uv=4>1$。加法公式给出 $2\arctan2=\pi+\arctan(-4/3)=\pi-\arctan(4/3)$。角度和位于 $(\pi/2,\pi)$；单独的主值负反正切不能表示它。
4. 左边等于 $|\cos x|$，故当且仅当 $\cos x\ge0$ 时成立。完整解集为 $\bigcup_{k\in\mathbb Z}[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$。端点包含在内，因为两边均为零。
5. 有理参数给出有理坐标，因为两个公式只使用有理运算且 $1+t^2\ne0$；直接代入可得圆的恒等式。反过来，对不是遗漏点的有理点，$1+x\ne0$ 且 $t=y/(1+x)$ 为有理数。前面的逆变换恢复该点。遗漏点本身也是有理点，但在这个参数化中从它自身出发没有有限斜率；必须单独列出。
6. 若 $A=B=0$，则当 $C=0$ 时每个角都是解，当 $C\ne0$ 时没有解。否则令 $R=\sqrt{A^2+B^2}>0$，并选取 $\phi$ 使 $\cos\phi=A/R$、$\sin\phi=B/R$。方程为 $R\sin(x+\phi)=C$。若 $|C|>R$，没有解；若 $|C|=R$，在模 $2\pi$ 意义下有一个解类，位于正弦的顶部或底部；若 $|C|<R$，有两个不同解类。按周期取模，或在长度为 $2\pi$ 的半开区间计数，可避免重复计算端点。

总结与术语

等价变形在声明的定义域上保留完整解集。候选方程只给出必要条件。反函数复合的折叠将值反射到主值范围。有理参数化用一个参数的有理函数表示坐标，并需要检查遗漏点。选择合适的方法可以揭示结构，定义域和分支记录则保证结构在数学上有效。