3. 多项式与有理函数

学习目标

用除法算法寻找多项式的根，解有理不等式时避免错误改变符号，并区分可去空点与真正的渐近线。除非另有说明，系数均为实数。

多项式代数

当 $a_n\ne0$，非零多项式 $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ 的次数为 $n$。按这里的约定，零多项式没有次数。对非零除式多项式 $d$，多项式长除法给出唯一的 $q,r$，满足 $p=dq+r$，且 $r=0$ 或 $\deg r<\deg d$。

除法算法的证明。 若当前余式的次数至少为 $\deg d$，减去 $d$ 的适当倍数以消去最高次项。每次相减都严格降低次数，所以过程会停止。若有两种表示，则 $d(q_1-q_2)=r_2-r_1$。若左边非零，其次数至少为 $\deg d$；右边次数却更小。因此两边均为零，证明唯一性。

定理：因式与根数上界

对每个实数 $a$，$p(a)=0$ 当且仅当 $x-a$ 整除 $p$。次数为 $n$ 的非零多项式至多有 $n$ 个不同实根。

证明。 除以 $x-a$，余式是常数 $r$；代入 $a$ 得 $r=p(a)$。若 $p(x)=(x-a)s(x)$，而 $b\ne a$ 是另一个根，则 $0=p(b)=(b-a)s(b)$ 且 $b-a\ne0$，所以 $s(b)=0$。因此除去一个根对应的因式后，其余不同的根仍然保留，可以继续除去。除去 $k$ 个不同因式后，剩余次数为 $n-k$，故 $k$ 不能超过 $n$。这是上界，不表示所有根都是实数。

若 $p(x)=(x-a)^m s(x)$ 且 $s(a)\ne0$，则根 $a$ 的重数为 $m$。当 $m$ 为奇数时，符号在 $a$ 处改变；当 $m$ 为偶数时符号不变，因为在充分接近 $a$ 的地方 $s$ 符号固定。

有理函数与不等式

对 $R=p/q$，原定义域排除 $q$ 的每个零点。约去公因子只保证在原定义域上值相等，并不能恢复被排除的输入。在没有被约去的分母根处，若分子非零，附近的模会无界增大。长除法描述无穷远行为：若 $R=s+r/q$ 且 $\deg r<\deg q$，则当 $|x|\to\infty$ 时 $R-s\to0$。常数 $s$ 是水平渐近线，线性 $s$ 是斜渐近线，更高次的 $s$ 描述多项式渐近线。

解有理不等式时，标出分子及分母的所有零点，检查各区间的符号；只在非严格不等式中包含分子零点，绝不包含分母零点。未经分类便乘以符号未知的表达式是无效的。

证明桥梁：多项式符号与有理式极限

设 $f(x)=\sum_{j=0}^d c_jx^j$ 的系数为实数。在 $|x-a|\le1$ 时，有限恒等式 $x^j-a^j=(x-a)\sum_{\ell=0}^{j-1}x^{j-1-\ell}a^\ell$ 给出

$$|f(x)-f(a)|\le C_a|x-a|,\qquad C_a=\sum_{j=1}^d j|c_j|(|a|+1)^{j-1}.$$

若 $C_a=0$，则 $f$ 为常数。否则，当 $f(a)\ne0$ 时，取 $|x-a|<\min(1,|f(a)|/(2C_a))$，就使 $f(x)$ 与 $f(a)$ 同号，且 $|f(x)|>|f(a)|/2$。这证明重数论证中使用的局部同号结论，无需暗中假设连续性定理。

若 $p(a)\ne0$，非零多项式 $q$ 满足 $q(a)=0$，则上述估计保证在 $a$ 附近 $|p(x)|>|p(a)|/2$，而 $|q(x)|\le C_q|x-a|$，其中 $C_q$ 是有限正常数。所以在附近商有定义之处，$|p(x)/q(x)|\ge |p(a)|/(2C_q|x-a|)$。对任意 $M>0$，充分小的非零 $|x-a|$ 使它大于 $M$。根数上界保证可取一个区间，其中 $q$ 没有其他零点，所以商在该去心区间处处有定义。这证明所述分子非零情况下的竖直渐近线结论。

在无穷远，设 $q(x)=b_dx^d+\cdots+b_0$，其中 $b_d\ne0$，并设 $r=0$ 或 $\deg r=k<d$。当 $|x|\ge1$，

$$\left|\frac{q(x)}{x^d}-b_d\right|\le\frac{\sum_{j<d}|b_j|}{|x|}.$$

因此当 $|x|$ 充分大时，$|q(x)/x^d|\ge|b_d|/2$。若 $r\ne0$，令 $C_r$ 为其系数绝对值之和，则在 $|x|\ge1$ 时 $|r(x)|\le C_r|x|^k$。所以 $|r(x)/q(x)|\le 2C_r/(|b_d||x|^{d-k})\to0$。$r=0$ 时结论显然。所有估计均在原分母非零的定义域上进行；约去因式不会补入原本排除的点。

例题

约分后保留空点。 对 $R(x)=(x^2-1)/(x^2-x)$，原定义域排除 $0$ 和 $1$。在该定义域上 $R=(x+1)/x=1+1/x$。故 $x=0$ 是竖直渐近线，$y=1$ 是水平渐近线，$(1,2)$ 是缺失点。称 $x=1$ 为竖直渐近线是错误的。

符号表。 解 $(x-1)/(x+2)\ge0$。关键值为 $-2$ 和 $1$；商在 $(-\infty,-2)$ 和 $(1,\infty)$ 上为正，在 $(-2,1)$ 上为负，在 $1$ 处为零。解为 $(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$。

分层练习

1. 基础。 用 $x-2$ 除 $x^3-2x^2+4$，并判断 $2$ 是否为根。
2. 核心。 解 $(x-2)^2(x+1)/(x-3)<0$。
3. 核心。 求 $(x^2+2x-3)/(x-1)$ 的定义域、空点和渐近线。
4. 证明。 若两个次数至多为 $n$ 的多项式在 $n+1$ 个不同实数处相等，证明它们相同，并解释为什么不必要求“次数恰为 $n$”。

详解

1. 长除法给出商 $x^2$、余数 $4$：$x^3-2x^2+4=(x-2)x^2+4$。在 $2$ 处的值为 $4$，所以 $2$ 不是根。
2. 在 $2$ 以外，平方因子为正，符号由 $(x+1)/(x-3)$ 决定；它在 $-1<x<3$ 上为负。严格不等式排除零点 $-1,2$ 和极点 $3$，答案为 $(-1,2)\cup(2,3)$。
3. 分子分解为 $(x+3)(x-1)$。定义域是 $\mathbb R\setminus\{1\}$；图像为直线 $y=x+3$ 去掉点 $(1,4)$。没有竖直渐近线；$y=x+3$ 是斜渐近线（事实上在定义域上公式处处与它相同）。
4. 两多项式之差若非零，其次数至多为 $n$，却有 $n+1$ 个不同的根，与根数上界矛盾。因此差为零。允许较低次数不可或缺，因为相减时最高次项的系数可能抵消。

总结与术语

因式整除多项式且余数为零；重数记录线性因式重复的次数。有理函数是在分母非零的定义域上定义的商。空点是极限有限但缺失的点，不是无界分支。渐近线描述靠近某点或无穷远时的极限行为。画图或解不等式之前，应先精确分解因式并记录定义域。