10. 复数、极坐标形式与根

在完备有序实数域中，对 $b>0$ 和整数 $m\ge1$，令 $S=\{t\ge0:t^m\le b\}$。它包含 $\min\{1,b\}>0$，且以 $\max\{1,b\}$ 为上界，故存在 $r=\sup S>0$。有限因式分解给出：对非负的 $t,r\le M$，

$$t^m-r^m=(t-r)\sum_{j=0}^{m-1}t^{m-1-j}r^j,\qquad |t^m-r^m|\le mM^{m-1}|t-r|.$$

取 $M=r+1$。若 $r^m<b$，选 $0<h<1$ 使 $mM^{m-1}h<b-r^m$，则 $(r+h)^m<b$，与上界 $r$ 矛盾。若 $r^m>b$，选 $0<h<\min\{1,r\}$ 使 $mM^{m-1}h<r^m-b$，则 $(r-h)^m>b$；由非负数整数幂的单调性，$r-h$ 是 $S$ 的上界，与上确界矛盾。因此 $r^m=b$。当 $b=0$，唯一非负根为零。同一因式分解说明 $t>s\ge0$ 时 $t^m>s^m$，故正根唯一。

证明

我们采用旋转的几何事实：绕原点的旋转保持距离与平面定向（顺、逆时针次序），并且对坐标分量是线性的。令 $R_\alpha$ 表示逆时针旋转 $\alpha$。由单位圆，两个坐标基向量分别旋转为

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由线性性，它对角为 $\beta$ 的点的作用为

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

从几何上看，连续旋转的角度相加，所以同一点也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比较坐标即证明两个恒等式，而无需预先使用它们。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恒等式对定义域内每个输入成立；方程询问哪些输入使特定等式成立。

学习目标与定义

计算复数，使用共轭与模，以极形式相乘，并求根而不遗漏分支。复数写作 $z=a+bi$，其中 $a,b\in\mathbb R$、$i^2=-1$。加法按分量进行；乘法按分配律并使用 $i^2=-1$。复数相等要求实部和虚部分别相等。

共轭为 $\overline z=a-bi$，模为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。直接相乘得 $z\overline z=|z|^2$。因此对 $z\ne0$，$z^{-1}=\overline z/|z|^2$。展开模的平方或使用共轭可得 $|zw|=|z||w|$。在复平面中，$|z-w|$ 是通常的欧几里得距离。

对 $z\ne0$，极形式为 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|>0$。辐角 $\theta$ 只在模 $2\pi$ 意义下确定；零没有辐角。主辐角采用一种约定，这里取 $-\pi<\operatorname{Arg}z\le\pi$。即使复数运算连续，商的辐角也可能跨越该分支割线。

定理：极形式乘法与De Moivre（棣莫弗）公式

对 $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$，

$$\operatorname{cis}\alpha\operatorname{cis}\beta=\operatorname{cis}(\alpha+\beta),\qquad (r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)$$

其中 $r>0$、$n$ 为非负整数；当 $n\ge1$ 时，幂恒等式对 $r=0$ 也成立。

证明。 展开乘积并使用正弦、余弦加法公式得到第一个恒等式。反复相乘以归纳法证明第二个；底数非零时也包含 $n=0$。底数为零时只在 $n\ge1$ 使用幂恒等式，避免无定义的 $0^0$。

若 $w=R\operatorname{cis}\phi\ne0$ 且 $n\ge1$，$z^n=w$ 的所有解为

$$z_k=R^{1/n}\operatorname{cis}\left(\frac{\phi+2k\pi}{n}\right),\qquad k=0,\ldots,n-1.$$

事实上模要求 $|z|^n=R$，辐角要求 $n\theta=\phi+2k\pi$。这 $n$ 个辐角模 $2\pi$ 互不相同，任何整数 $k$ 对模 $n$ 都归到其中之一。若 $w=0$，唯一根为零。单个实根式不能列出所有复根。

例题

除法。 将 $(2+3i)/(1-i)$ 的分子分母乘以 $1+i$，得到 $(-1+5i)/2=-1/2+(5/2)i$。可将结果乘以 $1-i$，检查是否得到 $2+3i$。

立方根。 由于 $-8=8\operatorname{cis}\pi$，其立方根的模为 $2$，辐角为 $\pi/3,\pi,5\pi/3$；根为 $1+\sqrt3i,-2,1-\sqrt3i$。负实根只是其中一个。

轨迹。 方程 $|z-1|=|z+1|$ 表示一点到 $1$ 和 $-1$ 等距。写 $z=x+iy$ 并平方，得 $(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$，故 $x=0$。轨迹是虚轴，包括零；无需使用辐角。

分层练习

1. 基础。 计算 $(1+2i)(3-i)$ 及其模。
2. 核心。 求 $16$ 的所有四次方根。
3. 核心。 在 $\mathbb C$ 上解 $z^2-2z+5=0$ 并验证两个根。
4. 证明。 证明实系数多项式的根成共轭对：若 $p(z)=0$，则 $p(\overline z)=0$。解释实系数假设为何重要。

详解

1. 乘积为 $5+5i$，模为 $\sqrt{25+25}=5\sqrt2$。另外，两因子的模分别为 $\sqrt5$、$\sqrt{10}$，乘积也是 $5\sqrt2$。
2. 根的模为 $2$，辐角为 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2$，即 $2,2i,-2,-2i$。各自的四次方都是 $16$，求根公式证明没有遗漏。
3. 配方得 $(z-1)^2=-4$，所以 $z=1\pm2i$。两种符号都满足 $(z-1)^2+4=0$，故代入验证原方程。
4. 共轭保持和与积。若每个系数 $a_j$ 为实数，则 $p(\overline z)=\sum a_j\overline z^j=\overline{\sum a_jz^j}=\overline{p(z)}=0$。系数非实时结论可能不成立：$p(z)=z-i$ 以 $i$ 为根，却不以 $-i$ 为根。

总结与术语

共轭是关于实轴的反射；模是到零的距离；辐角是模 $2\pi$ 的角。主辐角是选择的一个代表值，不是代数上可加的实函数。极形式乘法将角度相加；求根时必须先加入所有 $2k\pi$ 分支再除以根指数。求和、商和距离轨迹通常用直角坐标形式更简单。