2. 函数、定义域与反映射

学习目标

确定定义域，按正确次序复合函数，解释图像变换，并论证反函数是否存在。单靠公式不能指定一个函数：定义域和陪域也是函数资料的一部分。

函数及其运算

函数 $f:A\to B$ 为 $A$ 中每个输入指定 $B$ 中唯一的值。其值域为 $f(A)=\{f(x):x\in A\}$，可以小于陪域 $B$。若 $f(x)=f(y)$ 蕴含 $x=y$，函数是单射；若 $f(A)=B$，函数是满射。双射同时满足两者。

实数公式中，平方根要求被开方数非负，实对数要求真数为正，分母不得为零。这些条件须同时满足。对函数 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，复合函数 $g\circ f:A\to C$ 为 $x\mapsto g(f(x))$。若实数公式只在部分输入上有定义，其复合的定义域由 $f$ 的定义域中那些输出落在 $g$ 定义域内的输入组成。

当 $a\ne0$，$f(a(x-h))+k$ 的图像通过调整输入和输出得到。输入关系 $u=a(x-h)$ 表明原图像上的点 $(u,f(u))$ 变为 $(h+u/a,k+f(u))$。使用这个等式比记忆含糊的伸缩规则更稳妥。

定理：反函数判据

函数 $f:A\to B$ 有双侧反函数 $g:B\to A$，满足 $g\circ f=\operatorname{id}_A$ 和 $f\circ g=\operatorname{id}_B$，当且仅当 $f$ 是双射。反函数唯一。

证明。 若反函数存在，且 $f(x)=f(y)$，应用 $g$ 可得 $x=y$。对 $b\in B$，有 $b=f(g(b))$，故 $f$ 是满射。反之，满射保证每个 $b$ 至少有一个原像，单射保证原像唯一；定义 $g(b)$ 为该原像，两条恒等式随之成立。任何反函数都必须将 $b$ 映到其唯一原像，因此反函数唯一。

严格递增的实函数是单射：$x<y$ 蕴含 $f(x)<f(y)$。单调性本身并不能确定值域。例如把 $e^x$ 看作映入 $\mathbb R$ 的函数时，它不是到 $\mathbb R$ 的满射。

例题

限制定义域后的反函数。 映射 $f:[2,\infty)\to[0,\infty)$、$f(x)=(x-2)^2$ 严格递增且为满射。在 $x\ge2$ 下解 $y=(x-2)^2$，得 $x=2+\sqrt y$，因此 $f^{-1}(y)=2+\sqrt y$。同一二次式在整个 $\mathbb R$ 上不是单射；保留平方根的正负号也不能产生反函数。

复合函数的定义域。 设 $f(x)=\sqrt{x-1}$、$g(t)=1/(t-2)$ 分别取自然实定义域。则 $(g\circ f)(x)=1/(\sqrt{x-1}-2)$ 的定义域是 $[1,\infty)\setminus\{5\}$。反过来，$(f\circ g)(x)=\sqrt{1/(x-2)-1}$ 要求 $(3-x)/(x-2)\ge0$，恰在 $(2,3]$ 上成立。不同定义域反映的是不同函数。

分层练习

1. 基础。 求 $h(x)=\sqrt{4-x^2}/(x-1)$ 的自然实定义域。
2. 核心。 对 $f(x)=2x-3$ 和 $g(x)=x^2$，求两种复合并解 $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$。
3. 核心。 求 $f:(-1,\infty)\to\mathbb R$、$f(x)=\log(x+1)$ 的值域和反函数。
4. 证明。 假设 $g\circ f$ 是单射，证明 $f$ 是单射。$g$ 是否必须在整个定义域上为单射？

详解

1. 被开方数条件为 $-2\le x\le2$，分母排除 $1$，故定义域为 $[-2,1)\cup(1,2]$。
2. 两种复合分别为 $2x^2-3$ 和 $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$。令它们相等得 $x^2-6x+6=0$，故 $x=3\pm\sqrt3$。
3. 这里 $\log$ 表示自然对数，即实指数函数的反函数。对每个 $y\in\mathbb R$，令 $x=e^y-1>-1$，则 $\log(x+1)=\log(e^y)=y$，证明值域为 $\mathbb R$。反过来，对每个 $x>-1$，有 $e^{\log(x+1)}-1=x$。两条恒等式直接验证反函数为定义在 $\mathbb R$ 上的 $f^{-1}(y)=e^y-1$，无需仅凭单调性与端点行为推断满射性。
4. 若 $f(x)=f(y)$，则 $g(f(x))=g(f(y))$；复合函数为单射，故 $x=y$。对 $f(A)$ 之外的 $g$ 不能作出同样结论。例如令 $f:(0,\infty)\to\mathbb R$ 为包含映射，$g:\mathbb R\to[0,\infty)$ 为 $g(t)=t^2$。其复合函数是单射，但 $g$ 不是。

总结与术语

定义域是允许的输入集合，陪域是指定的目标集合，值域是实际输出集合。限制是在较小定义域上使用同一规则。复合将一个函数的输出送入另一函数。双射有反函数，而解一个方程可能得到多个分支。化简之前先检查定义域，并写出所有分支限制。