1. 向量、投影与几何

学习目标与准备

在 $\mathbb R^n$ 中使用正交归一的笛卡尔坐标系，其中 $n\ge1$；在 $\mathbb R^3$ 中采用右手定向。计算向量运算、向给定方向投影，以及描述直线和平面。先修知识包括算术、平方根和初等方程。选择坐标轴后，坐标才表示向量；点与位移在几何中扮演不同角色。

定义与结构

$\mathbb R^n$ 中的向量 $u=(u_1,\ldots,u_n)$ 按分量相加并按分量乘以实标量。点积和长度为

$$u\cdot v=\sum_{j=1}^n u_jv_j,\qquad \|u\|=\sqrt{u\cdot u}.$$

两个非零向量的点积为零时互相垂直。单位向量的长度为一。对非零 $v$，$u$ 到 $v$ 张成直线上的投影为 $(u\cdot v)v/\|v\|^2$。经过点 $p$ 且方向为非零向量 $v$ 的直线是 $p+tv$，其中 $t\in\mathbb R$。在 $\mathbb R^3$ 中，经过 $p$ 且法向量 $n$ 非零的平面由满足 $n\cdot(x-p)=0$ 的点 $x$ 组成。同一方程在 $\mathbb R^n$ 中定义维数为 $n-1$ 的超平面。 为验证维数结论，取 $n_j\ne0$ 的指标 $j$。任意选定其余 $n-1$ 个坐标后，方程唯一确定 $x_j=p_j-\sum_{k\ne j}n_k(x_k-p_k)/n_j$，所以恰有 $n-1$ 个独立仿射参数。

定理：柯西–施瓦茨不等式与三角不等式

对 $u,v\in\mathbb R^n$，有 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$ 和 $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$。柯西–施瓦茨不等式取等当且仅当两向量线性相关，包括其中一个为零向量的情况。

证明。 若 $v=0$，结论显然。否则令 $a=(u\cdot v)/\|v\|^2$。展开非负的平方得

$$0\le\|u-av\|^2=\|u\|^2-\frac{(u\cdot v)^2}{\|v\|^2}.$$

整理即得第一条不等式；取等当且仅当 $u=av$。再展开 $\|u+v\|^2$，并用 $\|u\|\|v\|$ 控制 $u\cdot v$ 的上界。两边均非负，开平方得到第二条不等式。这也保证对非零向量用 $\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$ 定义夹角是有意义的。

在 $\mathbb R^3$ 中定义

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

直接代入得 $(u\times v)\cdot u=(u\times v)\cdot v=0$。展开平方得 $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$。因此叉积的模是平行四边形面积；交换顺序会反转方向。

例题

投影与距离。 设 $u=(3,1)$、$v=(1,2)$。则 $u\cdot v=5$、$\|v\|^2=5$，所以投影为 $(1,2)$。余量 $(2,-1)$ 与 $v$ 垂直，$u$ 到该直线的距离为 $\sqrt5$。投影是向量，不是标量系数 $1$。

由三点确定平面。 对 $A=(1,0,0)$、$B=(0,1,0)$、$C=(0,0,2)$，取 $B-A=(-1,1,0)$ 和 $C-A=(-1,0,2)$。它们的叉积为 $(2,2,1)$，平面方程为 $2x+2y+z=2$。非零叉积表明三点不共线，因此平面唯一。

分层练习

1. 基础。 对 $a=(2,-1,2)$ 和 $b=(1,2,0)$，求 $a\cdot b$、两个长度及夹角。
2. 核心。 求直线 $L=\{(1,1)+t(1,-1):t\in\mathbb R\}$ 上离 $q=(4,2)$ 最近的点。
3. 核心。 求顶点为 $(0,0,0),(1,2,0),(0,1,3)$ 的三角形面积。
4. 证明。 证明投影余量 $u-av$ 使 $\|u-tv\|$ 在所有实数 $t$ 中取最小值，并证明当 $v\ne0$ 时最小值点唯一。

详解

1. 点积为 $2-2=0$，长度分别为 $3$ 和 $\sqrt5$。两向量均非零，夹角为 $\pi/2$。
2. 将 $q-(1,1)=(3,1)$ 投影到 $v=(1,-1)$ 上，系数为 $(3-1)/2=1$。最近点为 $(2,0)$；余量 $(2,2)$ 与 $v$ 垂直，长度为 $2\sqrt2$。
3. 叉积为 $(6,-3,1)$，长度为 $\sqrt{46}$。三角形面积是平行四边形面积的一半，故答案为 $\sqrt{46}/2$。
4. 令 $a=(u\cdot v)/\|v\|^2$。因为 $(u-av)\cdot v=0$，展开得 $\|u-tv\|^2=\|u-av\|^2+(a-t)^2\|v\|^2$。最后一项非负，且恰在 $t=a$ 时为零，因此无需依赖图形便证明两个结论。

总结与术语

点积可以判断垂直，并支持距离估计。投影分离平行和垂直部分；叉积在三维中编码有向面积。法向量与平面内每个方向垂直；投影是指定子空间中最近的分量；两个向量线性相关指其中一个是另一个的标量倍数，或其中一个为零。不要将零向量单位化，也不要除以其长度的平方。