4. 三角函数与反函数分支

学习目标与几何定义

用弧度量度角，从旋转推导加法公式，解周期方程，并区分三角函数的倒数与反函数。弧度角等于弧长除以半径。在单位圆上，有向角 $\theta$ 对应的点坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，因此 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

正弦和余弦的周期为 $2\pi$。在 $\cos\theta\ne0$ 处定义 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$；正切的周期为 $\pi$。由反射可知，负角满足 $\cos(-\theta)=\cos\theta$ 和 $\sin(-\theta)=-\sin\theta$。记号 $\sin^{-1}x$ 通常表示反正弦，而不是 $1/\sin x$；可用 $\arcsin$ 和 $\csc$ 避免歧义。

定理：加法公式

对所有实数 $a,b$，

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

证明

我们采用旋转的几何事实：绕原点的旋转保持距离与平面定向（顺、逆时针次序），并且对坐标分量是线性的。令 $R_\alpha$ 表示逆时针旋转 $\alpha$。由单位圆，两个坐标基向量分别旋转为

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由线性性，它对角为 $\beta$ 的点的作用为

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

从几何上看，连续旋转的角度相加，所以同一点也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比较坐标即证明两个恒等式，而无需预先使用它们。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恒等式对定义域内每个输入成立；方程询问哪些输入使特定等式成立。

反函数与方程求解

将正弦限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$，它在该区间递增并映满 $[-1,1]$；其反函数为 $\arcsin$。分别将余弦限制在 $[0,\pi]$、正切限制在 $(-\pi/2,\pi/2)$，定义 $\arccos$ 和 $\arctan$。因此在选定分支之外，$\arcsin(\sin\theta)$ 不一定等于 $\theta$；相反，对每个 $x\in[-1,1]$，$\sin(\arcsin x)=x$。

若 $\sin\theta=c$、$|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，全部解为 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。恒等式在两边都有定义的地方成立；方程只在特定值处成立。平方或乘以可能为零的三角因子都可能改变解集。

证明：反函数分支与全部周期解

我们使用正弦、余弦的单位圆几何定义及已经证明的加法公式。基本几何约定为：沿单位圆逆时针走一周的角度为 $2\pi$；每个点的角度模 $2\pi$ 唯一，而指定半圆上的每个点都有位于所述半周区间的对应角度。坐标正负按通常的象限规则确定。这些是几何先修事实，不是导数公式。

严格单调性。 将加法公式相减，得到

$$\sin y-\sin x=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2},\qquad \cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}.$$

若 $-\pi/2\le x<y\le\pi/2$，第一式中的余弦因子和正弦因子均为正，所以正弦在该区间严格递增。若 $0\le x<y\le\pi$，第二式中的两个正弦因子均为正，所以余弦严格递减。若 $-\pi/2<x<y<\pi/2$，则

$$\tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0,$$

因为 $0<y-x<\pi$ 且两个余弦均为正。因此正切在该开区间严格递增。正弦、余弦的论证包括有限端点，而且没有除以可能为零的因子。

满射性与精确值域。 对任意 $c\in[-1,1]$，单位圆点 $(\sqrt{1-c^2},c)$ 位于右半圆，所以有角度落在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 且正弦为 $c$。点 $(c,\sqrt{1-c^2})$ 位于上半圆，所以有角度落在 $[0,\pi]$ 且余弦为 $c$。由于点位于单位圆，正弦、余弦的值都不可能超出 $[-1,1]$。对任意实数 $t$，点 $(1,t)/\sqrt{1+t^2}$ 位于去掉两端点的右半圆，其角度 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 满足 $\tan\theta=t$。因此三个限制函数分别双射到 $[-1,1]$、$[-1,1]$ 和 $\mathbb R$；其反函数正是具有这些定义域和分支值域的 $\arcsin$、$\arccos$ 与 $\arctan$。

全部解，而非只有主值。 若 $|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，纵坐标为 $c$ 的圆上点，其横坐标只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或 $-\sqrt{1-c^2}$。它们对应角度 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$。由角度模一整周的唯一性，全部解恰为 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。当 $c=\pm1$ 时，两族解重合，不会增加额外解；当 $|c|>1$ 时无解。同理，设 $\beta=\arccos c$，则 $\cos\theta=c$ 的全部解为 $\theta=\pm\beta+2k\pi$。对实数 $t$，设 $\gamma=\arctan t$，斜率为 $t$ 的圆上点是对径点 $\pm(1,t)/\sqrt{1+t^2}$，所以 $\tan\theta=t$ 的全部解为 $\theta=\gamma+k\pi$；正切的极点始终不允许取入。这在不使用微积分的情况下证明了分支限制与各周期解族的完整性。

例题

可能丢失分支的方程。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $\sin(2x)=\sin x$。分解得 $\sin x(2\cos x-1)=0$。第一个因子给 $x=0,\pi$，第二个给 $x=\pi/3,5\pi/3$。若除以 $\sin x$，便会丢失前两个解。

振幅与相位。 将 $3\sin x+4\cos x$ 写成 $5\sin(x+\phi)$，其中 $\cos\phi=3/5$、$\sin\phi=4/5$ 且 $0<\phi<\pi/2$。加法公式验证该表达式。它的值域为 $[-5,5]$；这是精确界，而不是分别估计两项所得的 $[-7,7]$。

分层练习

1. 基础。 将 $150^\circ$ 转成弧度，并求其正弦和余弦。
2. 核心。 求 $\arcsin(\sin(5\pi/6))$ 和 $\arccos(\cos(5\pi/3))$。
3. 核心。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $2\cos^2 x-3\cos x+1=0$。
4. 证明；需要积分的选读拓展。 推导 $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$，并用它证明 $\sin^2x$ 在一个周期上的平均值为 $1/2$。恒等式只需本章知识；平均值计算需要初等定积分，并非预备微积分核心内容的先修要求。

详解

1. 角度乘以 $\pi/180$，得到 $5\pi/6$。由于位于第二象限，正弦为 $1/2$，余弦为 $-\sqrt3/2$。
2. 第一个是 $\pi/6$，即反正弦分支中正弦为 $1/2$ 的唯一角；第二个是 $\pi/3$，即 $[0,\pi]$ 中余弦为 $1/2$ 的唯一角。
3. 分解得 $(2\cos x-1)(\cos x-1)=0$。所以 $\cos x=1/2$ 或 $1$，得到 $x=\pi/3,5\pi/3,0$；端点 $2\pi$ 不包含在内。
4. 余弦倍角公式为 $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x$，整理得到恒等式。进而 $(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=(2\pi)^{-1}[x/2-\sin(2x)/4]_0^{2\pi}=1/2$。

总结与术语

周期性表示输入作固定平移后取值重复。主值分支是使三角函数可逆的限制区间。振幅是正弦型振荡的非负大小，相位使角度平移。弧度使后续导数公式更自然。变形正切或倒数之前先检查定义域，并列出指定区间中的所有解。